人教版七年级下册第六章 实数6.3 实数一课一练

专题6.3实数

典例体系(本专题共41题12页)

一、知识点

1.有理数和无理数统称为实数

2.实数的相关概念：

(1)在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

(2)有理数的运算及运算律对实数仍然适用.

(3)实数与数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

二、考点点拨与训练

考点1：实数的性质

典例：(2020·北京北师大实验中学初一期中)绝对值是__________，的相反数是___________．

【答案】       

【解析】解：绝对值是，

的相反数是：，

故答案为：；.

方法或规律点拨

本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键.

巩固练习

1．(2020·湖北房县初二期末)1﹣的相反数是(　　)

A．1﹣ B．﹣1 C． D．﹣1

【答案】B

【解析】根据a的相反数为-a即可得，1﹣的相反数是﹣1.

故选B.

2．(2020·内蒙古鄂尔多斯中考真题)实数﹣的绝对值是(    )

A． B．﹣ C．﹣ D．

【答案】A

【解析】解：实数﹣的绝对值是：．

故选：A．

3．(2020·昆明市官渡区第一中学初三月考)的绝对值是     ．

【答案】．

【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是．

4．(2020·金昌市金川总校第五中学初一期末)的相反数是______．

【答案】

【解析】解：的相反数是.

故答案为：.

5．(2020·枣阳市吴店镇清潭第一中学初一期末)计算_________．

【答案】

【解析】解：∵<0，

∴-()=，

故答案为：．

考点2：实数与数轴

典例：(2020·广西贵港初二期末)如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点，则点在数轴上表示的数为_______．

【答案】

【解析】解：由勾股定理得：，

，

点表示的数是．

故答案为：．

方法或规律点拨

本题主要考查了勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得的长是解题的关键．

巩固练习

1．(2020·山东临朐初二期末)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：由题意得：，，

∴，，，，

∴选项A、B、D是错误的，选项C是正确的．

故选：C．

2．(2020·宁夏平罗初一期末)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式表示正确的是(    )

A．b﹣a＜0 B．1﹣a＜0 C．b﹣1＞0 D．﹣1﹣b＜0

【答案】A

【解析】解：由题意，可得b＜a＜0，

则b﹣a＜0，1﹣a＞0，b﹣1＜0，﹣1﹣b与0无法比较，

表示正确的是A；

故选：A．

3．(2020·福建省泉州第一中学初三其他)如图，实数-2，2，x，y轴上的对应点分别为E、F、M、N，以这四个数中绝对值最大的数对应的点是 (   )

A．点E B．点F C．点M D．点N

【答案】D

【解析】解：实数-2，2，x，y在数轴上的对应点分别为E、F、M、N，

则原点在EF的中点处，所以点N离原点的距离最远，

∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点N，

故选：D．

4．(2020·山西文水初一期末)为证明数轴上的点可以表示无理数，老师给同学们设计了如下方案：如图，直径为1个单位长度的圆形纸片从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点(记为点O)到达点A，点A对应的数是多少？同学们很快想到OA的长就是这个圆的周长，所以点A对应的数是，这样无理数就可以用数轴上的点表示出来了，上述方案中体现的数学思想是(   )

A．数形结合思想 B．分类讨论思想

C．方程思想 D．整体思想

【答案】A

【解析】数形结合思想：是指数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合．

故选：A．

5．(2020·莆田第二十五中学初一期末)若将，，表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．

A． B． C． D．都不可能

【答案】A

【解析】解：由，
得，
故选：A．

6．(2020·上海松江初一期末)一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于，则这个数为_____．

【答案】

【解析】解：∵一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于，

∴这个数为：．

故答案为：．

7．(2020·广东韶关初一期末)如图所示，直径为个单位长度的圆从原点沿着数轴负半轴方向无滑动的滚动一周到达点，则点表示的数是_________．

【答案】-

【解析】由题意可得：圆的周长为π，

∵直径为单位1的硬币从原点处沿着数轴负半轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，

∴A点表示的数是：-π．

故答案为：-π．

考点3：实数比较大小

典例：(2020·山东寿光初二期末)比较大小：__________0.5．(填“>”“<”或“=”)

【答案】＞

【解析】∵，
∵-2＞0，
∴＞0．
故＞0.5．

故答案为：＞.

方法或规律点拨

此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．

巩固练习

1．(2020·南宁市新民中学初一期末)在这四个数中，最大的数是(    )

A． B．0 C．4 D．

【答案】C

【解析】由题意，得-3，0，4，4最大

∵

∴

故选：C.

2．(2020·吉林长岭初一期末)在四个实数﹣2，0，，5中，最小的实数是( )

A．﹣2 B．0 C． D．5

【答案】A

【解析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

根据实数比较大小的方法，可得﹣2＜＜0＜5，故在四个实数﹣2，0，，5中，最小的实数是﹣2．

故选A．

3．(2020·湖北广水初三其他)下列实数中最大的是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：，

所给的几个数中，最大的数是．

故选：．

4．(2020·山东寿光初二期末)在实数，，，中，最小的数是(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：；

因此根据题意可得-3是最小的

故选B.

5．(2020·上海松江初一期末)比较大小：__2(填“＞”或“＜”或“=”)

【答案】＞

【解析】∵2=＜，

∴＞2.

考点4：与实数有关的计算

典例：(2020·南宁市新民中学初一期末)计算：

【答案】

【解析】解：

=

=

方法或规律点拨

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

巩固练习

1．(2020·金昌市金川总校第五中学初一期中)规定一种新的运算“*”：对于任意实数x，y，满足x*y＝x﹣y+xy．如3*2＝3﹣2+3×2＝7，则2*1＝(   )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】∵x*y=x﹣y+xy，

∴2*1=2﹣1+2×1=1+2=3，

故选B．

2．(2020·山东莘县初二期末)有一个数值转换器，流程如下：

当输入的值为64时，输出的值是(   )

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】∵=8，是有理数，

∴继续转换，

∵=2，是有理数，

∴继续转换，

∵2的算术平方根是，是无理数，

∴输出y=，

故选：C.

3．(2020·金昌市金川总校第五中学初一期末)下面是一个简单的数值运算程序，当输入的值为16时，输出的数值为________．

【答案】3

【解析】解：由题图可得代数式为÷2+1，

当x=16时，原式=÷2+1=4÷2+1=2+1=3．

故答案为：3．

4．(2020·金昌市金川总校第五中学初一期末)(1)计算：；

(2)已知 ，求x的值．

【答案】(1)-1；(2)

【解析】解：(1)原式=2+-2= -1；

(2)∵，

∴，

∴x-1=-,

∴．

5．(2020·湖北房县初一期末)计算：

【答案】0．

【解析】原式=.

6．(2020·湖北房县初二期末)计算：

【答案】0．

【解析】

解：原式=－1－(2－4)÷2=－1－(－2)÷2=－1+1=0

7．(2020·广西玉州初一期末)计算：|-2|+++.

【答案】4

【解析】解：原式=2+3+2-3

=4．

8．(2020·广东惠州初一期末)计算：．

【答案】

【解析】解：

=2+0﹣3+(3﹣)+1

=3﹣．

9．(2020·山西文水初一期末)对于实数，规定了一种新的运算“※”：

※= ，

例如：4※3==5，2※3＝2×3＝6

若x，y满足方程组 ，求y※(x※y)的值．

【答案】65

【解析】

解：解方程组得，，

∴※(※)＝5※(12※5)＝5※＝5※＝5※13＝65．

考点5：无理数的估算

典例：(2020·山西文水初一期末)已知：实数为的小数部分，是9的平方根，求式子的值．

【答案】或

【解析】解：∵  

∴  

∴的小数部分为

即

∵是9的平方根      

∴       

①当， 时           

＝＝

②当， 时 

＝＝

∴的值为或

方法或规律点拨

本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．

巩固练习

1．(2020·江苏如皋初一期末)与的值最接近的整数是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】解：∵3＝，4＝，且9＜10＜16，

∴3＜＜4，

∵与最接近，

∴与的值最接近的整数是3．

故选：B．

2．(2020·四川自贡初二期末)实数的值在(  )

A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间

【答案】D

【解析】解：，

∵＜＜，

∴4＜＜5，

故选：D．

3．(2020·河南巩义初一期末)下列关于的说法中，错误的是(  )

A．是无理数 B． C．10的平方根是 D．是10的算术平方根

【答案】C

【解析】解：A、是无理数，说法正确；
B、3＜＜4，说法正确；
C、10的平方根是±，故原题说法错误；
D、是10的算术平方根，说法正确；
故选C．

4．(2019·右玉县二中初一期末)实数的值在(    )

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

【答案】B

【解析】根据无理数的估算，可知2＜＜3，所以可知其在2与3之间.

故选B.

5．(2020·内蒙古海勃湾初一期末)如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示﹣1的点是(　　)

A．点M B．点N C．点P D．点Q

【答案】D

【解析】解：∵

∴

∴表示的点是Q点，

故选D．

6．(2020·北京中关村中学初一期末)已知 为两个连续的整数，且，则_____．

【答案】9

【解析】∵16<19<25，

∴，

∵m、n为两个连续的整数，

∴m=4，n=5，

∴m+n=9，

故答案为：9.

7．(2020·河南太康初二期末)若，为连续整数，且，则__________．

【答案】7

【解析】解：∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：7.

8．(2020·昆明市官渡区第一中学初一月考)比2大比3小的无理数是______．

【答案】

【解析】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．

9．(2020·安徽濉溪初一期末)已知是的整数部分，是的小数部分，计算的值．

【答案】

【解析】∵25＜26＜36，

∴，

∴，，

∴．