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2021-2022学年广东省东莞市八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年广东省东莞市八年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省东莞市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）由下列长度的三条线段，能组成一个三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，3，6 C．1，5，5 D．4，5，10
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
5．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE C．∠A＝∠D D．AC＝DC
6．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DF
B．BO＝EO
C．AB＝EF
D．l是线段AD的垂直平分线
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SSS） B．（SAS） C．（ASA） D．（AAS）
8．（3分）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．（3分）小张在操场从原地右转40°前行至十米的地方，再右转40°前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
10．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为 ．
12．（4分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是 ．
13．（4分）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
14．（4分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 ．
15．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝ °．
16．（4分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为 ．
17．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）如图，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
19．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
20．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．
求证：∠B＝∠C．
四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
22．（8分）尺规作图，如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，作BC的垂直平分线DE，分别交AB于D、交BC于E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结CD，若BE＝5，△ACD的周长为12，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD．
五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）若将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你直接写出AD，DE，BE三者之间的数量关系是 ．
25．（10分）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年广东省东莞市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）由下列长度的三条线段，能组成一个三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，3，6 C．1，5，5 D．4，5，10
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，满足此关系的可组成三角形，由此判断选项．
【解答】解：A.1+2＝3，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；
B.3+3＝6，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；
C.1+5＞5，满足任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，故可组成三角形；
D.4+5＜10，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形，
故选：C．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
4．（3分）下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：由四边形组成的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，
而A、C、D选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE C．∠A＝∠D D．AC＝DC
【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴添加条件BC＝EC时，△ABC≌△DEC（SAS），故选项A不符合题意；
添加条件BC＝EC时，则∠BCA＝∠ECD，故△ABC≌△DEC（AAS），故选项B不符合题意；
添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEC（ASA），故选项C不符合题意；
添加条件AC＝DC时，不能判定△ABC和△DEC全等，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DF
B．BO＝EO
C．AB＝EF
D．l是线段AD的垂直平分线
【分析】利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，AB＝DE，
∵直线l垂直平分线段AD，直线l垂直平分线段BE，
∴BO＝OE，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SSS） B．（SAS） C．（ASA） D．（AAS）
【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：易得OC＝O′C'，OD＝O′D'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选：A．
8．（3分）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
9．（3分）小张在操场从原地右转40°前行至十米的地方，再右转40°前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
【分析】每次右转40°前进10米，这样回到原地他所走的路经是一个正多边形．而这个40°就是多边形的一个外角．根据外角和定理可以确定多边形的边数．
【解答】解：因为每次右转40°行10米，周而复始．
所以当他回到原地时所走的路经是一个正多边形．
因为正多边形外角和为360°，
所以多边形的边数为：360°÷40°＝9，
所以所走路经是一个正九边形．
9边之和为：9×10＝90（米）．
故选：C．
10．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
【分析】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝73°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．
【解答】解：如图，设C′D与AC交于点O，
∵∠C＝35°，
∴∠C′＝∠C＝35°，
∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝108°，
∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝108°﹣35°＝73°，
∵∠DOC＝∠2+∠C′，
∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．
故选：D．
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
12．（4分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是 10 ．
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则36°n＝360°，
解得n＝10．
故正多边形的边数是10．
13．（4分）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 15 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
14．（4分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 105° ．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：由三角形的外角性质可得：∠1＝（90°﹣45°）+60°＝105°，
故答案为：105°．
15．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝ 135 °．
【分析】利用角平分线的性质，用∠CAB、∠CBA表示∠OAB、∠OBA，再利用三角形的内角和定理，用含C的代数式表示出∠O，求值即可．
【解答】解：∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA．
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA
＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C．
当∠ACB＝90°时，
∠AOB＝90°+×90°
＝135°．
故答案为：135．
16．（4分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为 360° ．
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故答案为360°．
17．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 5 cm2．
【分析】过P作PG⊥AB于点G，依据角平分线的性质，即可得到PG的长，再根据三角形面积计算公式，即可得到△APB的面积．
【解答】解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD∥BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2（cm），
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝AB•PG＝×5×2＝5（cm2）．
故答案为：5．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）如图，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A．B．C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）S△ABC＝×2×3＝3．
19．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
【分析】首先根据∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，求出∠BAD的度数是多少；然后根据CE是△ABC的高，求出∠B＝50°；最后根据三角形的外角的性质，求出∠ADC的度数是多少即可
【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝60°÷2＝30°，
∵CE是△ABC的高．
∴∠CEB＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝30°+50°＝80°，即∠ADC的度数是80°
20．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．
求证：∠B＝∠C．
【分析】先证BF＝CE，再证Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），即可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B＝∠C．
四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，根据周长列方程得到x+2x+2x＝20，然后解方程求出x，从而得到三角形的底边与腰长；
（2）当腰为5cm时，底边长为10cm，不符合三角形三边的关系，故舍去；当底边长为5cm，腰长为7.5cm．
【解答】解：（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，
根据题意得x+2x+2x＝20，
解得x＝4，
当x＝4时，2x＝8，
所以三角形的腰长为8cm、8cm，底边长为4cm；
（2）能．
当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm），
而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当底边长为5cm，腰长为×（20﹣5）＝7.5（cm），
综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形．
22．（8分）尺规作图，如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，作BC的垂直平分线DE，分别交AB于D、交BC于E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结CD，若BE＝5，△ACD的周长为12，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用基本作图作出BC的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得BE＝CE＝5，DB＝DC，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到AC+AB＝12，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE＝5，DB＝DC，
∵△ACD的周长为12，
即AC+AD+CD＝12，
∴AC+AD+BD＝12，
即AC+AD＝12，
∴AB+AC+BC＝12+10＝22，
∴△ABC的周长为22．
23．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得OB＝OD，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD；
（2）由（1）得：△AOB≌△COD，
∴OB＝OD，
∵OE平分∠BOD，
∴OE垂直平分BD．
五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）若将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你直接写出AD，DE，BE三者之间的数量关系是 AD+BE＝DE ．
【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC即可；
（2）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS）；
（2）∵△CEB≌△ADC，
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm；
（3）AD+BE＝DE，理由如下：
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
故答案为：AD+BE＝DE．
25．（10分）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 1＜BD＜9 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，先判断出CD＝AD，即可得出结论；
②由①知，△CED≌△ABD，得出CE＝AB＝10，再由三角形的三边关系得出2＜BE＜18，即可求出答案；
（2）延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，则BE＝2BD，同（1）①的方法得，△ADE≌△CDB（SAS），得出∠DAE＝∠DCB，进而判断出AE＝BN，∠MBN＝∠BAE，进而判断出△ABE≌△BMN（SAS），得出BE＝MN，即可得出结论．
【解答】（1）①证明：如图1，延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
在△CED和△ABD中，
，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②解：由①知，△CED≌△ABD，
∴CE＝AB＝10，
在△BCE中，BC＝8，
∴10﹣8＜BE＜10+8，
∴2＜BE＜18，
∴BD＝DE，
∴BE＝2BD，
∴2＜2BD＜18，
∴1＜BD＜9，
故答案为：1＜BD＜9；
（2）解：MN＝2BD，理由如下：如图2，延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，则BE＝2BD，
同（1）①的方法得，△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE＝∠DCB，AE＝CB，
∵BC＝BN，
∴AE＝BN，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠MBN+∠ABC＝90°，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠MBN＝∠BAC+∠ACB＝∠BAC+∠DAE＝∠BAE，
∵AB＝BM，
∴△ABE≌△BMN（SAS），
∴BE＝MN，
∴MN＝2BD．
2021-2022学年广东省东莞市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）由下列长度的三条线段，能组成一个三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，3，6 C．1，5，5 D．4，5，10
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
5．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE C．∠A＝∠D D．AC＝DC
6．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DF
B．BO＝EO
C．AB＝EF
D．l是线段AD的垂直平分线
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SSS） B．（SAS） C．（ASA） D．（AAS）
8．（3分）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．（3分）小张在操场从原地右转40°前行至十米的地方，再右转40°前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
10．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为 ．
12．（4分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是 ．
13．（4分）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
14．（4分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 ．
15．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝ °．
16．（4分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为 ．
17．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）如图，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
19．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
20．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．
求证：∠B＝∠C．
四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
22．（8分）尺规作图，如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，作BC的垂直平分线DE，分别交AB于D、交BC于E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结CD，若BE＝5，△ACD的周长为12，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD．
五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）若将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你直接写出AD，DE，BE三者之间的数量关系是 ．
25．（10分）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年广东省东莞市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）由下列长度的三条线段，能组成一个三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，3，6 C．1，5，5 D．4，5，10
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，满足此关系的可组成三角形，由此判断选项．
【解答】解：A.1+2＝3，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；
B.3+3＝6，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；
C.1+5＞5，满足任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，故可组成三角形；
D.4+5＜10，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形，
故选：C．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
4．（3分）下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：由四边形组成的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，
而A、C、D选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE C．∠A＝∠D D．AC＝DC
【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴添加条件BC＝EC时，△ABC≌△DEC（SAS），故选项A不符合题意；
添加条件BC＝EC时，则∠BCA＝∠ECD，故△ABC≌△DEC（AAS），故选项B不符合题意；
添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEC（ASA），故选项C不符合题意；
添加条件AC＝DC时，不能判定△ABC和△DEC全等，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DF
B．BO＝EO
C．AB＝EF
D．l是线段AD的垂直平分线
【分析】利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，AB＝DE，
∵直线l垂直平分线段AD，直线l垂直平分线段BE，
∴BO＝OE，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SSS） B．（SAS） C．（ASA） D．（AAS）
【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：易得OC＝O′C'，OD＝O′D'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选：A．
8．（3分）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
9．（3分）小张在操场从原地右转40°前行至十米的地方，再右转40°前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
【分析】每次右转40°前进10米，这样回到原地他所走的路经是一个正多边形．而这个40°就是多边形的一个外角．根据外角和定理可以确定多边形的边数．
【解答】解：因为每次右转40°行10米，周而复始．
所以当他回到原地时所走的路经是一个正多边形．
因为正多边形外角和为360°，
所以多边形的边数为：360°÷40°＝9，
所以所走路经是一个正九边形．
9边之和为：9×10＝90（米）．
故选：C．
10．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
【分析】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝73°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．
【解答】解：如图，设C′D与AC交于点O，
∵∠C＝35°，
∴∠C′＝∠C＝35°，
∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝108°，
∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝108°﹣35°＝73°，
∵∠DOC＝∠2+∠C′，
∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．
故选：D．
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
12．（4分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是 10 ．
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则36°n＝360°，
解得n＝10．
故正多边形的边数是10．
13．（4分）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 15 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
14．（4分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 105° ．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：由三角形的外角性质可得：∠1＝（90°﹣45°）+60°＝105°，
故答案为：105°．
15．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝ 135 °．
【分析】利用角平分线的性质，用∠CAB、∠CBA表示∠OAB、∠OBA，再利用三角形的内角和定理，用含C的代数式表示出∠O，求值即可．
【解答】解：∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA．
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA
＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C．
当∠ACB＝90°时，
∠AOB＝90°+×90°
＝135°．
故答案为：135．
16．（4分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为 360° ．
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故答案为360°．
17．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 5 cm2．
【分析】过P作PG⊥AB于点G，依据角平分线的性质，即可得到PG的长，再根据三角形面积计算公式，即可得到△APB的面积．
【解答】解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD∥BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2（cm），
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝AB•PG＝×5×2＝5（cm2）．
故答案为：5．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）如图，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A．B．C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）S△ABC＝×2×3＝3．
19．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
【分析】首先根据∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，求出∠BAD的度数是多少；然后根据CE是△ABC的高，求出∠B＝50°；最后根据三角形的外角的性质，求出∠ADC的度数是多少即可
【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝60°÷2＝30°，
∵CE是△ABC的高．
∴∠CEB＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝30°+50°＝80°，即∠ADC的度数是80°
20．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．
求证：∠B＝∠C．
【分析】先证BF＝CE，再证Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），即可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B＝∠C．
四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，根据周长列方程得到x+2x+2x＝20，然后解方程求出x，从而得到三角形的底边与腰长；
（2）当腰为5cm时，底边长为10cm，不符合三角形三边的关系，故舍去；当底边长为5cm，腰长为7.5cm．
【解答】解：（1）设底长为xcm，则腰边长为 2xcm，
根据题意得x+2x+2x＝20，
解得x＝4，
当x＝4时，2x＝8，
所以三角形的腰长为8cm、8cm，底边长为4cm；
（2）能．
当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm），
而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当底边长为5cm，腰长为×（20﹣5）＝7.5（cm），
综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形．
22．（8分）尺规作图，如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，作BC的垂直平分线DE，分别交AB于D、交BC于E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结CD，若BE＝5，△ACD的周长为12，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用基本作图作出BC的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得BE＝CE＝5，DB＝DC，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到AC+AB＝12，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE＝5，DB＝DC，
∵△ACD的周长为12，
即AC+AD+CD＝12，
∴AC+AD+BD＝12，
即AC+AD＝12，
∴AB+AC+BC＝12+10＝22，
∴△ABC的周长为22．
23．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得OB＝OD，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD；
（2）由（1）得：△AOB≌△COD，
∴OB＝OD，
∵OE平分∠BOD，
∴OE垂直平分BD．
五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）若将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你直接写出AD，DE，BE三者之间的数量关系是 AD+BE＝DE ．
【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC即可；
（2）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS）；
（2）∵△CEB≌△ADC，
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm；
（3）AD+BE＝DE，理由如下：
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
故答案为：AD+BE＝DE．
25．（10分）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 1＜BD＜9 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，先判断出CD＝AD，即可得出结论；
②由①知，△CED≌△ABD，得出CE＝AB＝10，再由三角形的三边关系得出2＜BE＜18，即可求出答案；
（2）延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，则BE＝2BD，同（1）①的方法得，△ADE≌△CDB（SAS），得出∠DAE＝∠DCB，进而判断出AE＝BN，∠MBN＝∠BAE，进而判断出△ABE≌△BMN（SAS），得出BE＝MN，即可得出结论．
【解答】（1）①证明：如图1，延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
在△CED和△ABD中，
，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②解：由①知，△CED≌△ABD，
∴CE＝AB＝10，
在△BCE中，BC＝8，
∴10﹣8＜BE＜10+8，
∴2＜BE＜18，
∴BD＝DE，
∴BE＝2BD，
∴2＜2BD＜18，
∴1＜BD＜9，
故答案为：1＜BD＜9；
（2）解：MN＝2BD，理由如下：如图2，延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，则BE＝2BD，
同（1）①的方法得，△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE＝∠DCB，AE＝CB，
∵BC＝BN，
∴AE＝BN，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠MBN+∠ABC＝90°，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠MBN＝∠BAC+∠ACB＝∠BAC+∠DAE＝∠BAE，
∵AB＝BM，
∴△ABE≌△BMN（SAS），
∴BE＝MN，
∴MN＝2BD．
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