2021-2022学年北京市附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年北京市朝阳学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分．每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．x9÷x3＝x3 D．（x3）2＝x6
4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（3分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
7．（3分）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE
8．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
9．（3分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（　　）

A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
10．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（　　）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长
②长方形ABCD的长宽之比可能为2
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）计算：（3a2+2a）÷a＝　 　．
12．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是　 　．
13．（3分）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，D为AC中点，则BD＝　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝　 　°．

16．（3分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是　 　；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：　 　．
三、解答题（17题8分，18题4分，19-21每题5分，22-24每题6分，25题7分，共52分）
17．（8分）计算：
①a3⋅a+（﹣a2）3÷a2．
②．
18．（4分）分解因式：x2y﹣4xy+4y．
19．（5分）化简求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝6．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 　 　．

21．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．

22．（6分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．
作法：如图2．
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：证明：
∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝　 　．
∵OQ＝　 　，∠POQ＝∠AOB．
∴△POQ≌△AOB（SAS）．
∴　 　＝　 　．
∴PQ∥l（ 　 　）（填推理的依据）．

23．（6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED＝30°．
（1）求证：DB＝DE．
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝3，求△ABC的周长．

24．（6分）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
B＝x2﹣2x+2
10
5
2
1
　 　
5
A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2
17
10
5
　 　
　 　
　 　
（1）完成上表；
（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式ax2﹣10x+b 参照代数式3x2﹣4x+c 取值延后，请直接写出b﹣c的值：　 　．
25．（7分）已知，如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C的直线CH和AC的夹角∠ACH＝α，请按要求完成下列各题：

（1）请按要求作图：作出点A关于直线CH的轴对称点D，连接AD、BD、CD，其中BD交直线CH于点E，连接AE；
（2）请问∠ADB的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示∠ADB；如果不变，请求出∠ADB的大小．
（3）请证明△ACE的面积和△BCE的面积满足：．

26．（10分）选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2．根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出二次三项式x2﹣2x+2配方的过程和结果．
（2）已知a2﹣4a+20＝8b﹣b2，求a，b的值．（写出过程）
（3）如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足（2）的结论，连接AB，如图2，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM关系，并证明你的结论；
（4）如图3，在（3）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，QH的长度是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

2021-2022学年北京市朝阳学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分．每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．（3分）下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：A、三角形具有稳定性，故此选项符合题意；
B、四边形不具有稳定性，故此选项不合题意；
C、五边形不具有稳定性，故此选项不合题意；
D、六边形具有不稳定性，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．x9÷x3＝x3 D．（x3）2＝x6
【分析】运用同底数幂的乘法，除法，幂的乘方的运算法则运算即可．
【解答】解：A．x与x2不能合并同类项，所以此选项错误；
B．x2•x3＝x5，所以此选项错误；
C．x9÷x3＝x6，所以此选项错误；
D．（x3）2＝x6，所以此选项正确；
故选：D．
4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．
【解答】解：A、2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6，
所以，这个多边形是六边形．
故选：D．
6．（3分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故A正确；
B．∵∠2是△AOD的外角，
∴∠2＞∠3，
故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，
故C错误；
D．∵∠2是△BOC的外角，
∴∠2＞∠5；
故D错误；
故选：A．
7．（3分）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BD＝CE，可证明AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
故选：B．
8．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
9．（3分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（　　）

A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
【分析】由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等边三角形，△OAC是等腰三角形，即可判断选项．
【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，正确．
故选：D．
10．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（　　）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长
②长方形ABCD的长宽之比可能为2
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除②，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长；
②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b）
解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60
整理，得a+b＝10
所以四边形GHWD的面积为100．
故当长方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确．
综上正确的是①③．
故选：B．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）计算：（3a2+2a）÷a＝　3a+2　．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
12．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是　20　．
【分析】解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
【解答】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，
∴此题有两种情况：
①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8＝20，
②8底边，那么4是腰，4+4＝8，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为20，
故答案为：20
13．（3分）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝　　．
【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．
【解答】解：∵ax＝5，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝5÷3＝．
故答案为：
14．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，D为AC中点，则BD＝　3　．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据等腰三角形的性质求出BD⊥AC，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝BA，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵BA＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
即∠BDA＝90°，
∴BD＝BA，
∵BA＝6，
∴BD＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝　36　°．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案为：36
16．（3分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是　SAS　；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：　∠ACB＝2∠ABC　．
【分析】（1）根据已知条件即可得到结论．
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1））∵AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，所以判定△ABD与△AED全等的依据是SAS．
故答案为：SAS．

（2）∵△ABD≌△AED，
∴∠B＝∠E，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∴∠ACB＝2∠E，
∴∠ACB＝2∠ABC．
故答案为：SAS，∠ACB＝2∠ABC．
三、解答题（17题8分，18题4分，19-21每题5分，22-24每题6分，25题7分，共52分）
17．（8分）计算：
①a3⋅a+（﹣a2）3÷a2．
②．
【分析】①直接利用同底数幂的乘除法运算法则计算，再利用合并同类项法则计算得出答案；
②直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别计算，再利用有理数的加减计算得出答案．
【解答】解：①a3⋅a+（﹣a2）3÷a2
＝a4﹣a6÷a2
＝a4﹣a4
＝0；

②
＝+4﹣1
＝3．
18．（4分）分解因式：x2y﹣4xy+4y．
【分析】首先提取公因式y，再把余下的式子用完全平方公式：（a2﹣2ab+b2）＝（a﹣b）2进行二次分解即可．
【解答】解：x2y﹣4xy+4y，
＝y（x2﹣4x+4），
＝y（x﹣2）2．
19．（5分）化简求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝6．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1）
＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x
＝x2﹣3，
当x＝6时，原式＝62﹣3＝33．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 　（1，0）　．

【分析】（1）根据轴对称的性质，找出对应点的位置即可；
（2）根据两点之间，线段最短可知：作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，可得点P的坐标．
【解答】解（1）如图所示，即为所求，

由图形知，A1（1，2），B1（﹣2，1）；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，

由图形知，点P即为所求，点P的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
21．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．

【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
22．（6分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．
作法：如图2．
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：证明：
∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝　OA　．
∵OQ＝　OB　，∠POQ＝∠AOB．
∴△POQ≌△AOB（SAS）．
∴　∠QPO　＝　∠BAO　．
∴PQ∥l（ 　内错角相等，两直线平行　）（填推理的依据）．

【分析】（1）直接用作法，作出图形，即可得出结论；
（2）利用SAS判断出△POQ≌△AOB，得出∠QPO＝∠BAO，即可得出结论．
【解答】解：（1）用直尺和圆规，补全图形如图2所示：

（2）证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，
∵OQ＝OB，∠POQ＝∠AOB，
∴△POQ≌△AOB（SAS），
∴∠QPO＝∠BAO，
∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行），
故答案为：AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行．
23．（6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED＝30°．
（1）求证：DB＝DE．
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝3，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
（2）由DF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵∠CED＝30°，
∴DB＝DE（等角对等边）；
（2）过D作DF⊥BE交BE于F，
∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝CD，
∴AC＝12，
∴△ABC的周长＝3AC＝36．
24．（6分）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
B＝x2﹣2x+2
10
5
2
1
　2　
5
A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2
17
10
5
　2　
　1　
　2　
（1）完成上表；
（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式ax2﹣10x+b 参照代数式3x2﹣4x+c 取值延后，请直接写出b﹣c的值：　7　．
【分析】（1）分别将x代入即可求得；
（2）①D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；
②由①可得a＝3，3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）x2﹣10（x﹣m）+b，则﹣6m﹣10＝﹣4，c＝b+3m2﹣10，则可求b﹣c＝7．
【解答】解：（1）将x＝2代入B＝x2﹣2x+2中，得B＝4﹣4+2＝2；
将x＝1代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，
将x＝2代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝1，
将x＝3代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，
故答案为2，2，1，2；
（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，
∴D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；
②由①可得a＝3，
3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）2﹣10（x﹣m）+b，
∴﹣6m﹣10＝﹣4，
∴m＝﹣1，
∵c＝b+3﹣10，
∴b﹣c＝7，
故答案为7．
25．（7分）已知，如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C的直线CH和AC的夹角∠ACH＝α，请按要求完成下列各题：

（1）请按要求作图：作出点A关于直线CH的轴对称点D，连接AD、BD、CD，其中BD交直线CH于点E，连接AE；
（2）请问∠ADB的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示∠ADB；如果不变，请求出∠ADB的大小．
（3）请证明△ACE的面积和△BCE的面积满足：．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△ADE是等腰直角三角形，可得结论；
（3）过点C作CE⊥BD于点H．由S△ACE﹣S△CEB＝S△DCE﹣S△ECB＝•DE•CH﹣•EB•CH＝•CH•（DE﹣BE）＝•CH•（DH+EH﹣BH+EH）＝CH•EH＝CH2，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：


（2）解：结论：∠ADB＝45°，是定值．
理由：设AE交BC于点O．
∵A，D关于CH对称，
∴CA＝CD，EA＝ED，∠AEH＝∠DEH，
∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EDC，
∵CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴∠CAO＝∠EBO，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠ACO＝∠BEO＝90°，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴∠ADB＝45°．

（3）证明：过点C作CE⊥BD于点H．
∵CD＝CB，
∴DH＝BH，
∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH，EC＝CH，
由对称的性质可知，△ACE≌△DCE，
∴S△ACE＝S△DCE，
∴S△ACE﹣S△CEB＝S△DCE﹣S△ECB＝•DE•CH﹣•EB•CH＝•CH•（DE﹣BE）＝•CH•（DH+EH﹣BH+EH）＝CH•EH＝CH2＝EC2．
26．（10分）选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2．根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出二次三项式x2﹣2x+2配方的过程和结果．
（2）已知a2﹣4a+20＝8b﹣b2，求a，b的值．（写出过程）
（3）如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足（2）的结论，连接AB，如图2，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM关系，并证明你的结论；
（4）如图3，在（3）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，QH的长度是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）利用完全平方公式配方可求解；
（2）利用完全平方公式配方，由非负性可求解；
（3）结论：AC＝AM，AC⊥AM．由已知条件得到AD＝BC，推出△CAB≌△AMD，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，由于∠ACO+∠CAO＝90°，得到∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°即可得到结论；
（4）过P作PG⊥y轴于G，证得△PAG≌△NDH，根据全等三角形的性质得到PG＝HN，AG＝HD，证得△PQG≌△NHQ，得到QG＝QH＝GH＝4即可得到结论．
【解答】解：（1）x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1﹣1+2＝（x﹣1）2+1；
（2）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，
∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝2，b＝4；
（3）AC＝AM，AC⊥AM．理由如下：
∵A（0，2），B（4，0），D（0，﹣6），
∴OA＝2，OD＝6，OB＝4，
∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，
∴AD＝BC，
在△CAB与△AMD中，
，
∴△CAB≌△AMD（SAS），
∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，
∴AC＝AM，AC⊥AM；
（3）是定值，定值为4．理由如下：

由（2）知，AM＝AC＝AB＝DM，
∴∠ADM＝∠DAM，
∵∠DAM＝∠PAG，
∴∠PAG＝∠ADM
过P作PG⊥y轴于G，
在△PAG与△NDH中，
，
∴△PAG≌△NDH（AAS），
∴PG＝HN，AG＝HD，
∴AD＝GH＝8，
在△PQG与△NQH中，
，
∴△PQG≌△NHQ（AAS），
∴QH＝QG＝GH＝4，