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2021-2022学年广东省广州市海珠区三校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省广州市海珠区三校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市海珠区三校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．（3分）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（3分）如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．AC∥DF D．∠A＝∠D
6．（3分）在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（ ）
A．70° B．35° C．110°或35° D．110°
7．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法不正确的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BE＝AC，BC＝8cm，DC＝3cm，则AE＝ ，∠BFC＝ ．
14．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
15．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 ．
16．（3分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）求图中x的值．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：1：3，求证：△ABC是直角三角形．
19．（6分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE＝BF．求证：AB∥CD．
20．（6分）如图，已知∠AOB和两点M、N，试确定一点P，使得P到射线OA、OB的距离相等，并且到点M、N的距离也相等．（尺规作图：不写作法）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）若点D在图中所给网格中的格点上，且以A，B，D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ＝4，PE＝1，求AD的长．
24．（12分）两个三角形有两组边对应相等，并且其中一组相等的边所对的角也相等，如果这两个三角形不全等，我们称它们互为“伴生三角形”，相等的边所对的相等的角称为“伴生角”．如图，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B'，但△ABC和△A′B′C′不全等，则称△ABC和△A′B′C′互为“伴生三角形”，∠B与∠B'称为“伴生角”．
（1）若某三角形的两个内角为30°和50°，请直接写出这个三角形的伴生三角形的三个内角的度数；
（2）若互为伴生三角形的两个三角形都是等腰三角形，求伴生角的度数．
25．（12分）如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上．
（1）如图1，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB＝110°，求∠APB的度数；
（2）如图2，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H，试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年广东省广州市海珠区三校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜11，因此只有选项C符合．
【解答】解：设第三边长为xcm，
则8﹣3＜x＜3+8，
5＜x＜11，
故选：C．
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等
a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
∴∠α＝50°
故选：D．
4．（3分）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先依据轴对称图形的性质可求得∠E、∠D的度数，再用五边形的内角和减去∠A、∠B、∠E、∠D的度数即可．
【解答】解：∵直线m是多边形ABCDE的对称轴，∠A＝130°，∠B＝110°，
∴∠A＝∠E＝130°，∠B＝∠D＝110°，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E＝（5﹣2）180°＝540°，
∴∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B+∠D+∠E）＝540°﹣130°×2﹣110°×2＝60°．
故选：C．
5．（3分）如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．AC∥DF D．∠A＝∠D
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，然后再利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
B、添加AC＝DF可利用SSS判定△ABC≌△DEF，故此选项正确；
C、添加AC∥DF可得∠ACB＝∠F，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
D、添加∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（ ）
A．70° B．35° C．110°或35° D．110°
【分析】根据内角与相邻的外角的和等于180°求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等解答．
【解答】解：∵∠A的相邻外角是70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝（180°﹣110°）＝35°．
故选：B．
7．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
故这个多边形的边数是10．
故选：D．
8．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法不正确的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等
【分析】根据轴对称的性质可以得出DC＝DC′，BC′＝BC，∠DBC＝∠DBC′，再由矩形的性质就可以得出∠EBD＝∠EDB，就可以得出BE＝DE，得出△EBD是等腰三角形，进而可以由AAS证明△EBA≌△EDC，就可以得出折叠后的图形关于BD的中垂线对称，从而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
∵△DBC与△DBC′关于BD对称，
∴△DBC≌△DBC′，
∴DC＝DC′，BC′＝BC，∠DBC＝∠DBC′，∠C＝∠C′．
∴AB＝C′D，∠A＝∠C′．∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴△EBD是等腰三角形．故A正确．
在△AEB和△C′ED中，
，
∴△AEB≌△C′ED（AAS），故D正确，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形．
∵∠DBC＝∠DBC′，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等．故B错误．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，①正确；
∵EF∥AB，
∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴FO＝FB，
同理EO＝EA，
∴AE+BF＝EF，②正确；
当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，
∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD＝OH，
∴S△CEF＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣3，﹣5） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），
故答案为：（﹣3，﹣5）．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为 18cm或21cm ．
【分析】等腰三角形两边的长为5cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，
则其周长＝5+5+8＝18cm；
②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，
则其周长＝5+8+8＝21cm．
故答案为：18cm或21cm．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BE＝AC，BC＝8cm，DC＝3cm，则AE＝ 2cm ，∠BFC＝ 90° ．
【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）即可解决问题；
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∵BD＝AD，BE＝AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴CD＝DE＝3cm，∠DBE＝∠DAC，
∵BC＝AD＝BC﹣AD＝5cm，
∴AE＝AD﹣DE＝2cm，
∵∠AEF＝∠BED∠EAF＝∠DBE，
∴∠AFE＝∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
故答案为2cm，90°．
14．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 360° ．
【分析】连接AD，利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四边形内角和为360°可得答案．
【解答】解：连接AD，
在△AOD和△BOC中，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，
∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，
∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
15．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 3 ．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
×4×2+×AC×2＝7，
解得AC＝3．
故答案为3．
16．（3分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 10 ．
【分析】如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+MD的最小值即可．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝21，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）求图中x的值．
【分析】（1）根据三角形外角的性质列出方程可得答案；
（2）根据四边形的内角和是360°列出关于x的方程．解方程即可．
【解答】解：（1）由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，
得x+65＝x+x﹣5，
解得：x＝70°，
（2）由四边形内角和等于360°，
得x+x+10°+60°+90°＝360°
解得：x＝100°．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：1：3，求证：△ABC是直角三角形．
【分析】根据三个角的比，可设∠B＝x°，用x表示出∠A、∠C，利用三角形的内角和定理，得到关于x的方程，求出最大角后判断三角形的形状．
【解答】证明：设∠A＝2x°，∠B＝x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x°+2x°+3x°＝180°．
解得x＝30．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
19．（6分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE＝BF．求证：AB∥CD．
【分析】证明△CFD≌△BEA，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠B，根据平行线的性质证明结论．
【解答】解：∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，即CF＝BE，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠BEA＝90°，
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA（HL），
∴∠C＝∠B，
∴AB∥CD．
20．（6分）如图，已知∠AOB和两点M、N，试确定一点P，使得P到射线OA、OB的距离相等，并且到点M、N的距离也相等．（尺规作图：不写作法）
【分析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，射线OT交直线EF于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）若点D在图中所给网格中的格点上，且以A，B，D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；
（2）根据图形可得，点D的坐标为（2，4）或（2，1）或（﹣4，4）或（﹣4，1）．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
；
（2）点D的坐标为（2，4）或（2，1）或（﹣4，4）或（﹣4，1）．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）由AE＝5，△DCB的周长为16，即可求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．
23．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ＝4，PE＝1，求AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC＝∠EBA，AD＝BE．既可以得出∠BPQ＝60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠C＝∠BAE＝60°，
在△ADC与△BEA中，
，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠DAC＝∠EBA，AD＝BE．
∵∠BPQ＝∠BAP+∠ABP，
∴∠BPQ＝∠BAP+∠DAC＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°．
∴∠PBQ＝30°
∴BP＝2PQ．
∵PQ＝4，
∴BP＝8．
∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝9，
∴AD＝BE＝9．
答：AD＝9．
24．（12分）两个三角形有两组边对应相等，并且其中一组相等的边所对的角也相等，如果这两个三角形不全等，我们称它们互为“伴生三角形”，相等的边所对的相等的角称为“伴生角”．如图，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B'，但△ABC和△A′B′C′不全等，则称△ABC和△A′B′C′互为“伴生三角形”，∠B与∠B'称为“伴生角”．
（1）若某三角形的两个内角为30°和50°，请直接写出这个三角形的伴生三角形的三个内角的度数；
（2）若互为伴生三角形的两个三角形都是等腰三角形，求伴生角的度数．
【分析】（1）根据题意画出图形，确定伴生角为∠B＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解；
（2）根据题意画出图形，确定伴生角为∠B，题目中有三个等腰三角形，得到∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C＝2∠B，根据三角形内角和即可求解．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B，则△ABC和△ABD是伴生三角形，其中∠B为伴生角，
当∠B＝50°时，无法画出图形；
当∠B＝30°，∠C＝50°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝50°，
∴∠ADB＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝20°．
故答案为：130°，20°；
（2）如图，等腰△ABC和等腰△ABD中，AB＝BC，BC＝AD，当AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B时，△ABC和△ABD是伴生三角形，则AD＝AC，∠B是伴生角．
∵BD＝AD＝AC，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2∠B，
在△ABC中，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
25．（12分）如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上．
（1）如图1，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB＝110°，求∠APB的度数；
（2）如图2，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H，试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）连接PC，点P在边BC的垂直平分线上，可得∠PBC＝∠PCB，再由点P在边AC的垂直平分线上，可得∠PAC＝∠PCA，从而有∠PBC+∠PAC＝∠PCB+∠PCA＝∠ACB＝110°，则可求解；
（2）过点P作PD⊥AC，连接PC，证明Rt△PBH≌Rt△PCD，则有BH＝CD，结合图形即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，连接PC，
∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PAC＝∠PCB+∠PCA＝∠ACB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣（∠PBC+∠PAC+∠ACB）
＝360°﹣（110°+110°）
＝140°；
（2）线段AB、AH、AC之间的数量关系是AB＝AC+2AH；
理由如下：
如图2，过点P作PD⊥AC，连接PC，
∵点P在∠BAD的平分线上，PH⊥AB，PD⊥AC，
∴PH＝PD，
∵AP＝AP，
∴AH＝AD，
∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
在Rt△PBH和Rt△PCD中，
，
∴Rt△PBH≌Rt△PCD（HL），
∴BH＝CD，
∴AB﹣AH＝AC+AD，
∴AB＝AC+2AH．
2021-2022学年广东省广州市海珠区三校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．（3分）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（3分）如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．AC∥DF D．∠A＝∠D
6．（3分）在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（ ）
A．70° B．35° C．110°或35° D．110°
7．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法不正确的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BE＝AC，BC＝8cm，DC＝3cm，则AE＝ ，∠BFC＝ ．
14．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
15．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 ．
16．（3分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）求图中x的值．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：1：3，求证：△ABC是直角三角形．
19．（6分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE＝BF．求证：AB∥CD．
20．（6分）如图，已知∠AOB和两点M、N，试确定一点P，使得P到射线OA、OB的距离相等，并且到点M、N的距离也相等．（尺规作图：不写作法）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）若点D在图中所给网格中的格点上，且以A，B，D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ＝4，PE＝1，求AD的长．
24．（12分）两个三角形有两组边对应相等，并且其中一组相等的边所对的角也相等，如果这两个三角形不全等，我们称它们互为“伴生三角形”，相等的边所对的相等的角称为“伴生角”．如图，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B'，但△ABC和△A′B′C′不全等，则称△ABC和△A′B′C′互为“伴生三角形”，∠B与∠B'称为“伴生角”．
（1）若某三角形的两个内角为30°和50°，请直接写出这个三角形的伴生三角形的三个内角的度数；
（2）若互为伴生三角形的两个三角形都是等腰三角形，求伴生角的度数．
25．（12分）如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上．
（1）如图1，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB＝110°，求∠APB的度数；
（2）如图2，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H，试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年广东省广州市海珠区三校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜11，因此只有选项C符合．
【解答】解：设第三边长为xcm，
则8﹣3＜x＜3+8，
5＜x＜11，
故选：C．
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等
a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
∴∠α＝50°
故选：D．
4．（3分）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先依据轴对称图形的性质可求得∠E、∠D的度数，再用五边形的内角和减去∠A、∠B、∠E、∠D的度数即可．
【解答】解：∵直线m是多边形ABCDE的对称轴，∠A＝130°，∠B＝110°，
∴∠A＝∠E＝130°，∠B＝∠D＝110°，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E＝（5﹣2）180°＝540°，
∴∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B+∠D+∠E）＝540°﹣130°×2﹣110°×2＝60°．
故选：C．
5．（3分）如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．AC∥DF D．∠A＝∠D
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，然后再利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
B、添加AC＝DF可利用SSS判定△ABC≌△DEF，故此选项正确；
C、添加AC∥DF可得∠ACB＝∠F，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
D、添加∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（ ）
A．70° B．35° C．110°或35° D．110°
【分析】根据内角与相邻的外角的和等于180°求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等解答．
【解答】解：∵∠A的相邻外角是70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝（180°﹣110°）＝35°．
故选：B．
7．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
故这个多边形的边数是10．
故选：D．
8．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法不正确的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC′一定是全等
【分析】根据轴对称的性质可以得出DC＝DC′，BC′＝BC，∠DBC＝∠DBC′，再由矩形的性质就可以得出∠EBD＝∠EDB，就可以得出BE＝DE，得出△EBD是等腰三角形，进而可以由AAS证明△EBA≌△EDC，就可以得出折叠后的图形关于BD的中垂线对称，从而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
∵△DBC与△DBC′关于BD对称，
∴△DBC≌△DBC′，
∴DC＝DC′，BC′＝BC，∠DBC＝∠DBC′，∠C＝∠C′．
∴AB＝C′D，∠A＝∠C′．∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴△EBD是等腰三角形．故A正确．
在△AEB和△C′ED中，
，
∴△AEB≌△C′ED（AAS），故D正确，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形．
∵∠DBC＝∠DBC′，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等．故B错误．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+∠C；
②AE+BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，①正确；
∵EF∥AB，
∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴FO＝FB，
同理EO＝EA，
∴AE+BF＝EF，②正确；
当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，
∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD＝OH，
∴S△CEF＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣3，﹣5） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），
故答案为：（﹣3，﹣5）．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为 18cm或21cm ．
【分析】等腰三角形两边的长为5cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，
则其周长＝5+5+8＝18cm；
②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，
则其周长＝5+8+8＝21cm．
故答案为：18cm或21cm．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BE＝AC，BC＝8cm，DC＝3cm，则AE＝ 2cm ，∠BFC＝ 90° ．
【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）即可解决问题；
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∵BD＝AD，BE＝AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴CD＝DE＝3cm，∠DBE＝∠DAC，
∵BC＝AD＝BC﹣AD＝5cm，
∴AE＝AD﹣DE＝2cm，
∵∠AEF＝∠BED∠EAF＝∠DBE，
∴∠AFE＝∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
故答案为2cm，90°．
14．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 360° ．
【分析】连接AD，利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四边形内角和为360°可得答案．
【解答】解：连接AD，
在△AOD和△BOC中，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，
∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，
∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
15．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 3 ．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
×4×2+×AC×2＝7，
解得AC＝3．
故答案为3．
16．（3分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 10 ．
【分析】如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+MD的最小值即可．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝21，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）求图中x的值．
【分析】（1）根据三角形外角的性质列出方程可得答案；
（2）根据四边形的内角和是360°列出关于x的方程．解方程即可．
【解答】解：（1）由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，
得x+65＝x+x﹣5，
解得：x＝70°，
（2）由四边形内角和等于360°，
得x+x+10°+60°+90°＝360°
解得：x＝100°．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：1：3，求证：△ABC是直角三角形．
【分析】根据三个角的比，可设∠B＝x°，用x表示出∠A、∠C，利用三角形的内角和定理，得到关于x的方程，求出最大角后判断三角形的形状．
【解答】证明：设∠A＝2x°，∠B＝x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x°+2x°+3x°＝180°．
解得x＝30．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
19．（6分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE＝BF．求证：AB∥CD．
【分析】证明△CFD≌△BEA，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠B，根据平行线的性质证明结论．
【解答】解：∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，即CF＝BE，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠BEA＝90°，
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA（HL），
∴∠C＝∠B，
∴AB∥CD．
20．（6分）如图，已知∠AOB和两点M、N，试确定一点P，使得P到射线OA、OB的距离相等，并且到点M、N的距离也相等．（尺规作图：不写作法）
【分析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，射线OT交直线EF于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）若点D在图中所给网格中的格点上，且以A，B，D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；
（2）根据图形可得，点D的坐标为（2，4）或（2，1）或（﹣4，4）或（﹣4，1）．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
；
（2）点D的坐标为（2，4）或（2，1）或（﹣4，4）或（﹣4，1）．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）由AE＝5，△DCB的周长为16，即可求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．
23．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ＝4，PE＝1，求AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC＝∠EBA，AD＝BE．既可以得出∠BPQ＝60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠C＝∠BAE＝60°，
在△ADC与△BEA中，
，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠DAC＝∠EBA，AD＝BE．
∵∠BPQ＝∠BAP+∠ABP，
∴∠BPQ＝∠BAP+∠DAC＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°．
∴∠PBQ＝30°
∴BP＝2PQ．
∵PQ＝4，
∴BP＝8．
∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝9，
∴AD＝BE＝9．
答：AD＝9．
24．（12分）两个三角形有两组边对应相等，并且其中一组相等的边所对的角也相等，如果这两个三角形不全等，我们称它们互为“伴生三角形”，相等的边所对的相等的角称为“伴生角”．如图，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B'，但△ABC和△A′B′C′不全等，则称△ABC和△A′B′C′互为“伴生三角形”，∠B与∠B'称为“伴生角”．
（1）若某三角形的两个内角为30°和50°，请直接写出这个三角形的伴生三角形的三个内角的度数；
（2）若互为伴生三角形的两个三角形都是等腰三角形，求伴生角的度数．
【分析】（1）根据题意画出图形，确定伴生角为∠B＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解；
（2）根据题意画出图形，确定伴生角为∠B，题目中有三个等腰三角形，得到∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C＝2∠B，根据三角形内角和即可求解．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B，则△ABC和△ABD是伴生三角形，其中∠B为伴生角，
当∠B＝50°时，无法画出图形；
当∠B＝30°，∠C＝50°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝50°，
∴∠ADB＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝20°．
故答案为：130°，20°；
（2）如图，等腰△ABC和等腰△ABD中，AB＝BC，BC＝AD，当AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B时，△ABC和△ABD是伴生三角形，则AD＝AC，∠B是伴生角．
∵BD＝AD＝AC，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2∠B，
在△ABC中，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
25．（12分）如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上．
（1）如图1，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB＝110°，求∠APB的度数；
（2）如图2，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H，试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）连接PC，点P在边BC的垂直平分线上，可得∠PBC＝∠PCB，再由点P在边AC的垂直平分线上，可得∠PAC＝∠PCA，从而有∠PBC+∠PAC＝∠PCB+∠PCA＝∠ACB＝110°，则可求解；
（2）过点P作PD⊥AC，连接PC，证明Rt△PBH≌Rt△PCD，则有BH＝CD，结合图形即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，连接PC，
∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PAC＝∠PCB+∠PCA＝∠ACB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣（∠PBC+∠PAC+∠ACB）
＝360°﹣（110°+110°）
＝140°；
（2）线段AB、AH、AC之间的数量关系是AB＝AC+2AH；
理由如下：
如图2，过点P作PD⊥AC，连接PC，
∵点P在∠BAD的平分线上，PH⊥AB，PD⊥AC，
∴PH＝PD，
∵AP＝AP，
∴AH＝AD，
∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
在Rt△PBH和Rt△PCD中，
，
∴Rt△PBH≌Rt△PCD（HL），
∴BH＝CD，
∴AB﹣AH＝AC+AD，
∴AB＝AC+2AH．
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