2021-2022学年福建省龙岩市长汀县八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市长汀县八年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年福建省龙岩市长汀县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）小明有两根长度为4cm和10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　）
A．3cm B．5cm C．8cm D．15cm
3．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
4．（4分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
6．（4分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
7．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．到三角形三边距离相等的点在三边中垂线上
B．30°角所对的边是另一边的一半
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．一外角为120°的等腰三角形是正三角形
8．（4分）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣1）和B（1，1）关于 　 　轴对称．
12．（4分）一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形的最大角度数是 　 　．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　 　°．

14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝14，DE是线段AB的垂直平分线．若△EBC的周长是24，则BC的长为　 　．

15．（4分）已知△ABC三边长分别为a，b，c，则|a+b﹣c|+|a﹣b+c|＝　 　．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO＝CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为 　 　个．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB上，AD＝CD＝CB，∠ACB＝78°，求∠CDB的度数．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作∠BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为 　 　．

20．（8分）如图，AB⊥l于点B，CD⊥l于点D，点E，F在直线l上，且BF＝DE，AE＝CF．
求证：∠AEB＝∠CFD．

21．（8分）如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中点 A、B、C的对称点分别是D、E、F），则点D坐标为　 　；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使得PD＝PE的点P，此时点P的坐标为　 　．

22．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．

24．（12分）阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BE把等腰△ABC分成△ABE与△BCE（如图1），如果△ABE与△BCE均为等腰三角形，那么线段BE叫做△ABC的完美分割线．
（1）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE为△ABC的完美分割线，且CE＜AE，则∠C＝　 　，∠AEB＝　 　；
（2）如图2，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC＝CD，求证：AD为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AD是它的一条完美分割线，且BD＞DC，将△ACD沿直线AD折叠后，点C落在点C1处，AC1交BD于点E．求证：BE＝C1D．

25．（14分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．


2021-2022学年福建省龙岩市长汀县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．（4分）小明有两根长度为4cm和10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　）
A．3cm B．5cm C．8cm D．15cm
【分析】根据三角形三边关系定理，设第三边长为xcm，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，由此选择符合条件的线段．
【解答】解：设第三边长为xcm，
由三角形三边关系定理可知，
6＜x＜14，
∴8cm适合．
故选：C．
3．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，

∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
4．（4分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
5．（4分）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，
∴∠ADE＝50°，
又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，
∴∠ADE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
6．（4分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．

7．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．到三角形三边距离相等的点在三边中垂线上
B．30°角所对的边是另一边的一半
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．一外角为120°的等腰三角形是正三角形
【分析】根据角平分线的判定，含30°角的直角三角形的性质、三角形全等的判定以及等边三角形的判定分别判断即可．
【解答】解：A、到三角形三边距离相等的点在三个角的角平分线上，故本选项说法错误，不符合题意；
B、在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，故本选项说法错误，不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、一外角为120°的等腰三角形是正三角形，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
8．（4分）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故选：C．


9．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．

10．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣1）和B（1，1）关于 　x　轴对称．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可对称结论．
【解答】解：点A（1，﹣1）和B（1，1）关于x轴对称，
故答案为x．
12．（4分）一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形的最大角度数是 　90°　．
【分析】先根据内角度数比设出各内角的度数，再利用三角形的内角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设该三角形的三个内角分别为4x°、5x°、9x°．
∵三角形的内角和为180°，
∴4x+5x+9x＝180．
∴x＝10．
∴最大内角为90°．
故答案为：90°．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　54　°．

【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝14，DE是线段AB的垂直平分线．若△EBC的周长是24，则BC的长为　10　．

【分析】由线段垂直平分线的性质可求得BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，再结合△EBC的周长，可求得BC的长．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∵△EBC的周长是24，
∴BC+EB+EC＝24，
∴BC+EA+EC＝24，即BC+AC＝24．
∴BC＝24﹣AC＝24﹣14＝10，
故答案为：10．
15．（4分）已知△ABC三边长分别为a，b，c，则|a+b﹣c|+|a﹣b+c|＝　2a　．
【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，再合并同类项化简即可．
【解答】解：∵三角形三边的长是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|
＝a+b﹣c+（a﹣b+c）
＝a+b﹣c+a﹣b+c
＝2a．
故答案为：2a．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO＝CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为 　4　个．
【分析】分为OA＝OC、OA＝AC，OC＝OA三种情况画图判断即可．
【解答】解：如图所示，符合条件的点C的个数有4个．

故答案为：4．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
【分析】先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n，根据内角和公式建立关于n的方程，解之即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，
设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8，
答：该多边形的边数为8．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB上，AD＝CD＝CB，∠ACB＝78°，求∠CDB的度数．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，利用三角形的内角和定理列方程，计算可求解x值，进而可求解∠CDB的度数．
【解答】解：∵AD＝CD＝CB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
依题意设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，
在△ABC中，∠ACB＝78°，
∴∠ACB+∠1+∠4＝180°，
∴78+x+2x＝180，
∴x＝34°，
∴∠CDB＝∠3＝2x＝68°．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作∠BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为 　15　．

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE＝CD＝3，再根据三角形的面积公式求解可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，且∠ACB＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积为AB•DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
20．（8分）如图，AB⊥l于点B，CD⊥l于点D，点E，F在直线l上，且BF＝DE，AE＝CF．
求证：∠AEB＝∠CFD．

【分析】证明Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），推出∠AEB＝∠CFD可得结论．
【解答】证明：∵AB⊥l于点B，CD⊥l于点D，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+BD＝DE+BD，
即DF＝BE，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴∠AEB＝∠CFD．
21．（8分）如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中点 A、B、C的对称点分别是D、E、F），则点D坐标为　（﹣2，﹣4）　；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使得PD＝PE的点P，此时点P的坐标为　（0，0）　．

【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点，再连接即可；
（2）画出DE的垂直平分线，即可确定P点位置．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求，D点坐标为（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）；

（2）如图所示：P（0，0），
故答案为：（0，0）．

22．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．

【分析】（1）根据题意利用SAS证明△ABC≌△ADE，即可得结论；
（2）根据已知条件可得FA＝FB，FA+FC＝FB+FC＝BC，进而可得△ACF的周长为AC+BC．
【解答】解：（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D；
（2）∵AB∥DE，
∴∠D＝∠1，
∵∠B＝∠D，
∴∠1＝∠B，
∴FA＝FB，
∴FA+FC＝FB+FC＝BC，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE＝3，BC＝DE＝4，
∴△ACF的周长为：AC+AF+CF＝AC+BC＝7．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACD，可求出答案；
（2）求出∠ABC＝∠ACB＝50°，可得出∠DBC＝∠DCB＝30°，证得∠ADE＝∠EDC，则结论得证；
（3）在DE上取点F，使DF＝DA，连接AF．证明△ADF为等边三角形，可得∠ADF＝∠AFD＝60°，再证明△ABD≌△AEF（AAS）．得出BD＝EF，则结论DE＝AD+BD得证．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD．
在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD＝．
（2）证明：∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝60°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝60°，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴DE平分∠ADC．
（3）结论：DE＝AD+BD．
在DE上取点F，使DF＝DA，连接AF．

∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
∵DA＝DF，∠ADE＝60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴∠ADF＝∠AFD＝60°，
∴∠ADB＝∠AFE＝120°．
在△ABD与△AEF中，

∴△ABD≌△AEF（AAS）．
∴BD＝EF，
∵DE＝DF+EF，
∴DE＝AD+BD．
24．（12分）阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BE把等腰△ABC分成△ABE与△BCE（如图1），如果△ABE与△BCE均为等腰三角形，那么线段BE叫做△ABC的完美分割线．
（1）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE为△ABC的完美分割线，且CE＜AE，则∠C＝　72°　，∠AEB＝　108°　；
（2）如图2，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC＝CD，求证：AD为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AD是它的一条完美分割线，且BD＞DC，将△ACD沿直线AD折叠后，点C落在点C1处，AC1交BD于点E．求证：BE＝C1D．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠C，由BE为△ABC的完美分割线，且CE＜AE，推出△ABE与△BCE均为等腰三角形，可求∠AEB；
（2）根据完美分割线的定义只要证明：△ABD与△ACD均为等腰三角形即可；
（3）证明△AC1D≌△ABE，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BE为△ABC的完美分割线，且CE＜AE，
∴△ABE与△BCE均为等腰三角形，
∴∠BEC＝∠C＝72°，
∴∠AEB＝108°．
故答案为：72°，108°；

（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠C）＝72°，
∴∠DAB＝36°，
∴∠BAD＝∠B，
∴DA＝DB，
∴△ABD、△ACD均为等腰三角形，
∴AD为△ABC的完美分割线；

（3）∵AD是△ABC的一条完美分割线，
∴AD＝CD，AB＝BD，
∴∠C＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA，
∵∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝∠C+∠CAD＝2∠CAD，
∴∠BAD＝2∠CAD，
∵∠CAD＝∠C1AD，
∴∠BAD＝2∠C1AD，
∵∠BAD＝∠C1AD+∠BAE，
∴∠C1AD＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴∠C＝∠B，
∵∠C＝∠C1，
∴∠C1＝∠B，
∵AC＝AC1，
∴AC1＝AB，
∴△AC1D≌△ABE（ASA），
∴DC1＝BE．
25．（14分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．

【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①易证BD＝AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD＝∠BCD＝45°即可解题；
②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题；
③分三种情形讨论即可；
【解答】（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
（2）①证明：∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠BDE＝30°+30°＝60°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝60°，
∵∠CDE＝∠BDE＝60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME＝BD，
理由：连接MC，
∵DC＝DM，∠CDE＝60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM＝CD，
∵EC＝CA，∠EMC＝120°，
∴∠ECM＝∠BCD＝45°
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME＝BD．
③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，
所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．