2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝0 B．x+2y＝1 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1
2．（2分）小明在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环、4次9环，则小明这10次射击的平均成绩为（　　）
A．9.6环 B．9.5环 C．9.4环 D．9.3环
3．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
4．（2分）小洪根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（2分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
6．（2分）在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）南京2021年11月1号的最高气温为22℃，最低气温为12℃，该日的气温极差为 　 　．
8．（2分）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为　 　．
9．（2分）如图，A、B是⊙O上的点，且∠AOB＝60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是 　 　．（只要求写出四个）

10．（2分）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝　 　．

11．（2分）用一个半径为3，圆心角度数为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　 　．
12．（2分）若x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，则2a+b＝　 　．
13．（2分）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 　 　．
14．（2分）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为 　 　．
15．（2分）如图，某酒店有一张桌面边长为2米的正六边形桌子，每边围坐两人（平均每人占据1米长的桌沿），可坐下12人．现酒店方想将桌面改成正十二边形，每边坐1人，也可坐下12人．改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后，围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少 　 　米．（精确到0.01米，参考数据：≈1.73）

16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共8分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程．
（1）x（x+1）﹣2（x+1）＝0．
（2）3x2﹣5x+1＝0．
18．（7分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，Q是圆上一点，且OQ∥PB，∠P＝34°，求∠Q的度数．

19．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．

20．（7分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形．

21．（7分）学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数．
22．（8分）如图，一张正方形纸片的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形，四边形EFGH的面积可能为1cm2吗？请说明理由．

23．（10分）甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．

（1）甲射击成绩的众数为　 　环，乙射击成绩的中位数为　 　环；
（2）计算两人射击成绩的方差；
（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？
24．（6分）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．

25．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣5）2＝m+1有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2﹣x1x2＝3，求m的值．
26．（9分）如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，AC＝4，求BE的长．

27．（11分）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
小明提供了他研究这个问题的思路：延长CD至点M，使得DM＝BC，连接AM．可以构造三角形全等，结合勾股定理便可解决这个问题．
【问题解决】
（2）如图2，有一个直径为10cm的圆形配件，现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝60°，∠B＝30°，OA＝OC，求四边形OABC面积的最小值．


2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝0 B．x+2y＝1 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．x+2y＝1是二元一次方程，故本选项不合题意；
C．x＝2x3﹣3是一元三次方程，故本选项不合题意；
D．3x+＝1，是分式方程，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）小明在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环、4次9环，则小明这10次射击的平均成绩为（　　）
A．9.6环 B．9.5环 C．9.4环 D．9.3环
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明这10次射击的平均成绩．
【解答】解：小明这10次射击的平均成绩为：（10×6+9×4）＝9.6（环），
故选：A．
3．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C．

4．（2分）小洪根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：B．
5．（2分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
6．（2分）在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DE＝CD，CE＝，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为AB，利用勾股定理即可求得CE的最小值，进而求得CD的最小值．
【解答】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE＝CD，CE＝
∵AC＝2，
∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），
∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：＝＝，
∴CD的最小值为2，
故选：C．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）南京2021年11月1号的最高气温为22℃，最低气温为12℃，该日的气温极差为 　10℃　．
【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．
【解答】解：该日的气温极差为22﹣12＝10（℃）．
故答案为：10℃．
8．（2分）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为　1000（1﹣x）2＝810　．
【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：依题意，得：1000（1﹣x%）2＝810，
故答案为：1000（1﹣x%）2＝810．
9．（2分）如图，A、B是⊙O上的点，且∠AOB＝60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是 　30°，60°，90°，120°（答案不唯一）　．（只要求写出四个）

【分析】利用直尺，只能画直线、射线、线段的基本事实，根据圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，平角的定义以及圆周角定理求出相应的角的度数即可．
【解答】解：如图，连接AB，作射线AD交⊙O于点C，连接BC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，
因此可以得到60°的角；
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
因此可以得到90°的角；
∵∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴可以得到30°的角；
而∠BOC＝180°﹣∠AOB＝120°，
于是可以得到120°；
∠BCD＝180°﹣∠ACB＝150°，
因此可以得到150°的角；
当然还可以画出180°的角；
故答案为：30°，60°，90°，120°（答案不唯一）．

10．（2分）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝　62°　．

【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，接着利用四边形内角和计算出∠BAD+∠ADC＝236°，所以∠3+∠4＝118°，然后根据三角形内角和计算∠AOD的度数．
【解答】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．

11．（2分）用一个半径为3，圆心角度数为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　1　．
【分析】根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径是R，根据题意得出2πR＝2π，再求出R即可．
【解答】解：圆锥底面圆的周长是＝2π，
设圆锥的底面圆的半径是R，
则2πR＝2π，
解得：R＝1，
即该圆锥的底面圆的半径为1，
故答案为：1．
12．（2分）若x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，则2a+b＝　7　．
【分析】利用配方法得到x2+4x+6＝x2+2x+1+2x+2+3＝（x+1）2+2（x+1）+3，然后利用已知的等量关系可确定a、b、c的值．
【解答】解：x2+4x+6＝x2+2x+1+2x+2+3＝（x+1）2+2（x+1）+3，
而x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，
所以a＝2，b＝3，
故2a+b＝2×2+3＝7．
故答案为：7．
13．（2分）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 　n≠﹣8　．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴，
解得：k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴n＝﹣×5+＝﹣8，
∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，
故答案为：n≠﹣8．
14．（2分）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为 　﹣5　．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得．
【解答】解：∵一元二次方程为ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝，x2＝，
∴x1x2＝•＝＝＝﹣15，
∵代数式的值为3，
∴代数式的值为﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（2分）如图，某酒店有一张桌面边长为2米的正六边形桌子，每边围坐两人（平均每人占据1米长的桌沿），可坐下12人．现酒店方想将桌面改成正十二边形，每边坐1人，也可坐下12人．改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后，围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少 　0.08　米．（精确到0.01米，参考数据：≈1.73）

【分析】如图，由题意得，AB＝AC＝DE，BD＝BC，∠BAC＝120°，过A作AH⊥BC于H，设BH＝x，则BC＝BD＝2x，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：如图，由题意得，AB＝AC＝DE，BD＝BC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
过A作AH⊥BC于H，
∴BC＝2BH，∠AHB＝90°，
设BH＝x，则BC＝BD＝2x，
∴AB＝DE＝x，
∵AE＝2米，
∴2×x+2x＝2，
解得x≈0.46，
∴BC＝2x＝0.92，
∴围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少1﹣0.92＝0.08（米），
答：围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少0.08米．
故答案为：0.08．

16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝　8﹣2　．

【分析】作△PMD的外接圆⊙O，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，即∠DPM最大，根据相似三角形的性质求出PC即可．
【解答】解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，
∵∠DOM＝2∠DPM，
∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，
当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，
∵M是CD的中点，CD＝4，
∴CM＝DM＝2，
∵CP是⊙O的切线，PM是弦，
∴∠CPM＝∠CDP，
又∵∠PCM＝∠DCP＝90°，
∴△PCM∽△DCP，
∴＝，
∴PC2＝MC•DC＝2×4＝8，
∴PC＝2，
∴BP＝BC﹣PC＝8﹣2，
故答案为：8﹣2．

三、解答题（本大题共11小题，共8分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程．
（1）x（x+1）﹣2（x+1）＝0．
（2）3x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
∵x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2；
（2）3x2﹣5x+1＝0，
∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝25﹣4×3×1＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（7分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，Q是圆上一点，且OQ∥PB，∠P＝34°，求∠Q的度数．

【分析】根据切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，求得∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝146′，根据平行线的性质得到∠QOB＝180°﹣∠PBO＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴AO⊥AP，BO⊥BP，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝34°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝146′，
∵OQ∥PB，
∴∠QOB＝180°﹣∠PBO＝90°，
∴∠AOQ＝∠AOB﹣∠QOB＝146°﹣90°＝56°，
∴OA＝OQ，
∴∠OAQ＝∠OQA，
∴∠Q＝＝62°．
19．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．

【分析】连接AC，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠A＝∠C；利用等腰三角形的判定定理得到PA＝PC，利用等式的性质即可得出结论．
【解答】证明：连接AC，如图，

∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
20．（7分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形．

【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠CDA+∠B＝180°，求得∠CDA＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CDA+∠B＝180°，
∵∠B＝50°，
∴∠CDA＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA＝180°﹣130°＝50°，
∵∠DCB＝100°，
∴∠CDE+∠E＝100°，
∴∠E＝50°，
∴∠E＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等腰三角形．
21．（7分）学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数．
【分析】设评委有x人，则参加选手有（5x﹣2）人，根据“本次比赛评委共试吃168个小盘菜品”列出方程并解答．
【解答】解：设评委有x人，则参加选手有（5x﹣2）人，
根据题意，得x（5x﹣2）＝168．
解这个方程，得x1＝6，x2＝﹣（不合题意，舍去）．
所以5x﹣2＝5×6﹣2＝28．
答：参赛选手有28人．
22．（8分）如图，一张正方形纸片的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形，四边形EFGH的面积可能为1cm2吗？请说明理由．

【分析】根据全等三角形的性质得到HE＝HG＝EF＝FG，∠AEH＝∠DHE，推出四边形EFGH是正方形，设AH＝DG＝CF＝BE＝xcm，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：四边形EFGH的面积不可能为1cm2，
理由：∵△AEH≌△DHG，
∴HE＝HG，∠AEH＝∠DHG，
同理可得HE＝HG＝EF＝FG
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
设AH＝DG＝CF＝BE＝xcm，
则AE＝BF＝CG＝DH＝（2﹣x）cm，
∴HE2＝AH2+AE2，
∴x2+（2﹣x）2＝1，
整理得，2x2﹣4x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，
∴方程无实数根，
∴四边形EFGH的面积不可能为1cm2．
23．（10分）甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．

（1）甲射击成绩的众数为　7和8　环，乙射击成绩的中位数为　8　环；
（2）计算两人射击成绩的方差；
（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可；
（3）依据甲乙两人平均成绩一样，乙射击成绩的方差小于甲，即可得出乙的成绩更加稳定，所以选择乙去参赛．
【解答】解：（1）∵7和8都出现了2次，出现的次数最多，
∴甲射击成绩的众数为7环和8环；
把这些数从小到大排列为7，8，8，8，9，则中位数是8环；
故答案为：7和8，8；

（2）甲＝（7+7+8+8+10）＝8（环），
乙＝（8+8+7+8+9）＝8（环），
S2甲＝[2（7﹣8）2+2（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，
S2乙＝[3（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；

（3）∵甲＝乙，S2乙＜S2甲，
∴选乙参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，
∴选择乙参赛．
24．（6分）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．

【分析】过点A作EA⊥直线l，作线段AP的垂直平分线MN，直线MN交EA于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．

25．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣5）2＝m+1有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2﹣x1x2＝3，求m的值．
【分析】（1）方法一：根据非负数得到m+1≥0，解不等式即可；
方法二：根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2＝10，x1x2，＝24﹣m，代入x1+x2﹣x1x2＝3得到一元一次方程，解方程即可．
【解答】.解：（1）解法一：∵（x﹣5）2≥0，
∴m+1≥0，
∴m的取值范围是m≥﹣1；
解法二：∵关于x的一元二次方程（x﹣5）2＝m+1有实数根，
∴关于x的一元二次方程x2﹣10x+（24﹣m）＝0有实数根，
∵b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×1×（24﹣m）≥0，
∴m的取值范围是m≥﹣1
（2）根据题意，得x1+x2＝10，x1x2，＝24﹣m，
∵x1+x2﹣x1x2＝3，
∴10﹣（24﹣m）＝3，
∴m＝17．
26．（9分）如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，AC＝4，求BE的长．

【分析】（1）连接OD，则∠ADO＝∠BAD，由圆周角定理得出∠BDA＝90°，∠CBD+∠BAD＝90°，由∠CDA＝∠CBD，得出∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，即可得出结论；
（2）证明△CDO∽△CBE，得出，由已知求出AB＝8，OA＝OD＝4，OC＝8，由勾股定理求得CD的长，代入比例式即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
则∠ADO＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CBD+∠BAD＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，
∴CD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵BE是⊙O的切线，
∴∠CBE＝90°，
由（2）知∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠CBE，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴，
∵BC＝12，CA＝4，
∴AB＝8，
∴OA＝OD＝4，
∴OC＝CA+OA＝8，
在Rt△CDO中，CD＝＝4，
∴，
解得：BE＝4．

27．（11分）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
小明提供了他研究这个问题的思路：延长CD至点M，使得DM＝BC，连接AM．可以构造三角形全等，结合勾股定理便可解决这个问题．
【问题解决】
（2）如图2，有一个直径为10cm的圆形配件，现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝60°，∠B＝30°，OA＝OC，求四边形OABC面积的最小值．

【分析】（1）如图1，延长CD至点M，使得DM＝BC，连接AM，推出△ABC≌△ADM（SAS），根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAM，AC＝AM＝4，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，连接OB，在⊙O上作点M，使∠MOB＝60°，连接MB，CM，推出△AOB≌△COM（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠CMO，求得四边形OABC的面积＝S△COB+S△COM＝S△OMB+S△CBM，延长OC至P，得到点C在以BM为直径的圆上，当点C为的中点时，即△BCM为等腰直角三角形时，△CBM的面积最大，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，延长CD至点M，使得DM＝BC，连接AM，

∵∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD+∠CDA+∠BAD+∠B＝360°，
∴∠CDA+∠B＝180°，
∵∠CDA+∠ADM＝180°，
∴∠B＝∠ADM，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADM（SAS），
∴∠BAC＝∠DAM，AC＝AM＝4，
∴∠CAM＝∠BAD＝90°，
∴CB+CD＝CM＝＝＝4；
（2）如图2，连接OB，在⊙O上作点M，使∠MOB＝60°，连接MB，CM，
∴△OMB是等边三角形，
∵∠AOC＝60°，
∴∠AOC＝∠BOM，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠MOC，
∴∠AOB＝∠MOC，
∵OA＝OC，OB＝OM，
∴△AOB≌△COM（SAS），
∴∠ABO＝∠CMO，
∴四边形OABC的面积＝S△COB+S△COM＝S△OMB+S△CBM，
延长OC至P，
∴∠BCM＝∠BCP+∠MCP＝∠OBC+∠BOC+∠CMO+∠MOC＝MOB+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∴点C在以BM为直径的圆上，
当点C为的中点时，
即△BCM为等腰直角三角形时，△CBM的面积最大，
∵△BOM是边长为5cm的等边三角形，
∴S△BOM＝（cm）2，
∵△BCM的以斜边为5cm的等腰直角三角形，
∴S△BCM＝（cm2），
∴四边形OABC面积的最小值＝﹣＝（cm2）．