2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县九年级（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB＝52°，则∠ADB的度数是（　　）

A．104° B．52° C．38° D．26°
6．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m＜4
7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x+2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
8．（3分）二次函数y＝x2﹣8x+1的最小值是（　　）
A．4 B．﹣15 C．﹣4 D．15
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m且m≠1 C．m且m≠1 D．m且m≠1
10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

A．30° B．40° C．46° D．60°
二、填空题（共30分，每小题3分）
11．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是　 　．
12．（3分）请任意写出一个既是轴对称，又是中心对称的图形是　 　．
13．（3分）方程（x﹣5）2＝0的根是　 　．
14．（3分）若正六边形的半径长为4，在它的边长等于　 　．
15．（3分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则△ABC的周长是　 　．
16．（3分）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为　 　．

17．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是　 　．
18．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝　 　．

19．（3分）有一扇形的铁皮，其半径为30cm，圆心角为60°，若用此扇形铁皮围成一个圆锥形的教具（不计接缝），则此圆锥的高是　 　．
20．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是 　 　．
三、解答题（共60分）
21．（16分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）（3﹣x）2+x2＝9；
（3）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）；
（4）3x（x+3）＝2（x+3）．
22．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，求∠P的度数．

23．（10分）已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
24．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．


2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3），
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2），
故选：B．
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝5代入Δ＝b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
5．（3分）如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB＝52°，则∠ADB的度数是（　　）

A．104° B．52° C．38° D．26°
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝52°，
∴∠ADB＝26°，
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m＜4
【分析】由抛物线与x轴有两个交点可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，即4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：C．
7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x+2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【分析】常数项移到等式的右边后，两边配上一次项系数的一半即可得．
【解答】解：∵x2+4x﹣5＝0，
∴x2+4x＝5，
则x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，
故选：B．
8．（3分）二次函数y＝x2﹣8x+1的最小值是（　　）
A．4 B．﹣15 C．﹣4 D．15
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣8x+1
＝（x﹣4）2﹣15，
则二次函数y＝x2﹣8x+1的最小值是：﹣15．
故选：B．
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m且m≠1 C．m且m≠1 D．m且m≠1
【分析】由方程根的情况可得到m的不等式，可求得答案．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0有实数根，
∴△≥0且m﹣1≠0，即1﹣4×（m﹣1）×（﹣1）≥0且m≠1，
解得m≥且m≠1，
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

A．30° B．40° C．46° D．60°
【分析】由旋转的性质可得：AC＝AC′，∠AC′B′＝∠C＝70°，然后由等腰三角形的性质，求得∠AC′C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵根据题意得：AC＝AC′，∠AC′B′＝∠C＝70°，
∴∠AC′C＝∠C＝70°，
∴∠AC′B＝180°﹣∠AC′C＝110°，
∴∠B′C′B＝∠AC′B﹣∠AC′B′＝40°．
故选：B．
二、填空题（共30分，每小题3分）
11．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是　下　．
【分析】根据二次函数y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，即可判定．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，
∴图象的开口向下，
故答案为：下．
12．（3分）请任意写出一个既是轴对称，又是中心对称的图形是　圆　．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故答案为；圆．
13．（3分）方程（x﹣5）2＝0的根是　x1＝x2＝5　．
【分析】方程的左边是完全平方的形式，右边是0，两边直接开平方可以求出方程的根．
【解答】解：（x﹣5）2＝0，
∴x﹣5＝0，
∴x1＝x2＝5．
故答案为：x1＝x2＝5．
14．（3分）若正六边形的半径长为4，在它的边长等于　4　．
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形解答即可．
【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．
故答案为：4．
15．（3分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则△ABC的周长是　8　．
【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0可得x＝3或x＝5，
∴△ABC的第三边为3或5，
但当第三边为5时，2+3＝5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，
∴△ABC的周长为2+3+3＝8，
故答案为：8．
16．（3分）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为　80°　．

【分析】根据切线的性质得出∠C＝90°，再由已知得出∠ABC，由外角的性质得出∠COD的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝2×40°＝80°，
故答案为80°．
17．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是　x＜1　．
【分析】抛物线y＝﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x＝1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．
故答案为：x＜1．
18．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝　25°　．

【分析】根据垂径定理得到＝，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝50°，
∴∠ABD＝∠AOD＝25°，
故答案为：25°．
19．（3分）有一扇形的铁皮，其半径为30cm，圆心角为60°，若用此扇形铁皮围成一个圆锥形的教具（不计接缝），则此圆锥的高是　5cm　．
【分析】根据题目提供的数据求出扇形的弧长，根据扇形的弧长等于圆锥地面的周长求出圆锥的半径，然后在圆锥的高、母线和底面半径构造的直角三角形中求圆锥的高．
【解答】解：扇形的弧长为：＝10π，
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴2πr＝10π，
解得：r＝5，
∴圆锥的高为：＝5cm．
故答案为：5cm．
20．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是 　y＝（x﹣2）2+1　．
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
三、解答题（共60分）
21．（16分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）（3﹣x）2+x2＝9；
（3）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）；
（4）3x（x+3）＝2（x+3）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程化为2x﹣1＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先变形为（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先移项得到2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（4）先移项得到3x（x+3）﹣2（x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（2x﹣1）（x+3）＝0，
2x﹣1＝0或x+3＝0，
所以x1＝，x2＝﹣3；
（2）（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+x+3）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+x+3＝0，
所以x1＝3，x2＝0；
（3）2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]＝0，
x﹣3＝0或2（x﹣3）﹣x＝0，
所以x1＝3，x2＝6；
（4）3x（x+3）﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（3x﹣2）＝0，
x+3＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝．
22．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，求∠P的度数．

【分析】先证明∠P＝180°﹣∠AOB，根据∠AOB＝2∠ACB求出∠AOB即可解决问题．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO＝360°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB，
∵∠ACB＝65°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝130°，
∴∠P＝180°﹣130°＝50°．
23．（10分）已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案；
（2）根据y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，），可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数，得
m2+1＝2且m﹣1≠0．
解得m＝﹣1；
（2）当m＝﹣1时，二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5，
a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，
对称轴为直线x＝﹣＝1，
顶点坐标为（1，﹣3）．
24．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，P（2，0）．

25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE＝BE＝DC，再由OB＝OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC＝30°，得到BC为AC的一半，根据BC＝2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C＝60°，DE＝EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE＝BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∵BC＝2DE＝4，
∴AC＝8，
又∵∠C＝60°，DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，
则AD＝AC﹣DC＝6．