2021-2022学年上海市金山区蒙山学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年上海市金山区蒙山学校九年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年上海市金山区蒙山学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（　　）
A．2，3，4，6 B．2，3，4，5 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
2．（4分）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：16 C．1：2 D．4：1
3．（4分）已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（　　）
A．＝，＝ B．＝，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
6．（4分）已知梯形ABCD的对角线交于O，AD∥BC，有以下四个结论：
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△BOC；
③S△COD：S△AOD＝BC：AD；
④S△COD＝S△AOB
正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是　 　厘米．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是　 　厘米．
9．（4分）已知与单位向量的方向相反，且长度为5，那么表示为　 　．
10．（4分）计算：＝　 　．
11．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝　 　．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝　 　．

13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的延长线上的一点，DE与边BC相交于点F，，
那么的值为　 　．

14．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果＝，那么＝　 　．

15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为　 　．

16．（4分）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝2，BD＝8，那么AB＝　 　．

17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于　 　米．

18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为 　 　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分
19．（10分）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．
20．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．

21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．

22．（10分）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．

23．（12分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．
（1）联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；
（2）若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．

24．（12分）如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△DAF∽△CAE．
（2）求证：＝．

25．（14分）如图1，在△ABC，AB＝10，点D，M分别为AB和BC的中点，联结DC，且DC＝DB．
（1）联结AM交DC于点E，DE：CE的值＝　 　．
（2）如图2，如果AM⊥DC于点E，求BC的长；
（3）如图3，如果BC＝8，点F为BC上一个动点，过F作FG⊥DC，交DC于点H，交线段DA于点G，设BF＝x，GD＝y，求y关于x的函数解析式及其定义域．



2021-2022学年上海市金山区蒙山学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（　　）
A．2，3，4，6 B．2，3，4，5 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵2：3＝4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确；
B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误；
C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误；
D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误．
故选：A．
2．（4分）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：16 C．1：2 D．4：1
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【解答】解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．
故选：B．
3．（4分）已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．
【解答】解：A、＝，故本选项错误；
B、＝，故本选项正确；
C、+＝，故本选项错误；
D、+＝，故本选项错误．
故选：B．

4．（4分）等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．
【解答】解：如图，根据三线合一的性质，底边上的中线AD＝sin45°＝1，
∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的2倍，
∴重心到BC的距离＝1×＝．
故选：D．

5．（4分）点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（　　）
A．＝，＝ B．＝，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：当＝或＝或＝时，DE∥BC，
B选项中，＝，＝，
∴＝，
∴DE∥BC，
故选：B．

6．（4分）已知梯形ABCD的对角线交于O，AD∥BC，有以下四个结论：
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△BOC；
③S△COD：S△AOD＝BC：AD；
④S△COD＝S△AOB
正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∵∠BAO不一定等于CDO，
∴△AOB与△COD不一定相似，①错误；
△AOD∽△BOC，②正确；
∴S△DOC：S△AOD＝CO：AO＝BC：AD，③正确；
S△COD＝S△AOB，④正确，
故选：C．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是　4　厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是　6﹣2　厘米．
【分析】根据黄金比是计算．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴较长线段BP＝×4＝2﹣2（厘米），
∴较短线段AP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2（厘米），
故答案为：6﹣2．
9．（4分）已知与单位向量的方向相反，且长度为5，那么表示为　﹣5　．
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【解答】解：∵的长度为5，向量是单位向量，
∴||＝5||，
∵与单位向量的方向相反，
∴＝﹣5；
故答案为：﹣5．
10．（4分）计算：＝　　．
【分析】根据向量的计算法则求解即可．首先去括号，再将同一向量的系数相加减即可求得答案．
【解答】解：
＝2﹣2﹣3﹣
＝﹣﹣3．
故答案为：﹣﹣3．
11．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝　3：2　．
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，
故答案为：3：2．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝　　．

【分析】根据AC2＝AD•AB可以得到△ACD∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于相似比和已知边的长求未知边即可．
【解答】解：∵AC2＝AD•AB，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，
∴
解得：CD＝，
故答案为．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的延长线上的一点，DE与边BC相交于点F，，
那么的值为　　．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，CD＝AB，即可证得△BEF∽△CDF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB，
∴△BEF∽△CDF，
∵，
∴，
∴＝＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果＝，那么＝　　．

【分析】由DE∥AB可得，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
又∵＝，
∴＝，
又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，
∴AE＝DE，
∴＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为　18　．

【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵EC＝2BE，
∴BC＝3BE，
即：AD＝3BE，
∴S△AFD＝9S△EFB＝18．
故答案为：18．
16．（4分）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝2，BD＝8，那么AB＝　8　．

【分析】根据已知条件能证明△ABC∽△CDE，则，代入数值从而求得AB的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠A+∠ACB＝∠DCE+∠ACB，
∴∠A＝∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴，
∵C是线段BD的中点，ED＝2，BD＝8，
∴BC＝DC＝4，
即，
解得AB＝8．
故答案为：8．
17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于　4.8　米．

【分析】如图，证明△DC′C∽△DAB得到＝，证明△FE′E∽△FAB得到＝，然后解关于AB和BC的方程组即可．
【解答】解：如图，∵CC′∥AB，
∴△DC′C∽△DAB，
∴＝，即＝①，
∵EE′∥AB，
∴△FE′E∽△FAB，
∴＝，即＝②，
①﹣②得＝，解得BC＝6，
∴＝，
∴AB＝4.8．
即电线杆AB的高度等于4.8m．
故答案为4.8．

18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为 　5　．

【分析】如图，过点B作AC′的垂线交AC′的延长线于点H，证明四边形BCAH 是矩形，可得BH＝AC＝8，AH＝BC＝10，由折叠可得C′B＝CB＝10，根据勾股定理可求HC′＝6，得出AC′＝4，再证明△BHC′∽△C′AP，利用相似三角形对应边成比例求出AP的长度，即可得出CP的长度．
【解答】解：如图，过点B作AC′的垂线交AC′的延长线于点H，

∵AC′∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAH＝∠ACB＝90°，
∵BH⊥AH，
∴∠H＝90°，
∴四边形BCAH是矩形，
∴AH＝BC＝10，BH＝AC＝8，
∵折叠，
∴∠BC′P＝∠C＝90°，BC′＝BC＝10，
在Rt△BHC′中，HC′＝＝＝6，
∴AC′＝AH﹣HC′＝10﹣6＝4，
∵∠BC′P＝90°，∠CAH＝90°，
∴∠HC′B+∠AC′B＝90°，，∠AC′B+∠APC′＝90°，
∴∠HC′B＝∠APC′，
∵∠H＝∠PAC′＝90°，
∴△BHC′∽△C′AP，
∴，
∴，
∴AP＝3，
∴CP＝AC﹣AP＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分
19．（10分）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．
【分析】可设＝＝＝k（k≠0），可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再根据a+b+c＝36可得关于k的方程，解方程求出k，进一步求得a、b、c的值．
【解答】解：设＝＝＝k≠0，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝36，
∴3k+4k+5k＝36，
解得k＝3，
则a＝3k＝9，b＝4k＝12，c＝5k＝15．
20．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．

【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．

（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．

21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．

【分析】（1）根据已知＝，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；
（2）由三角形法则解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3，
∴＝＝．
又∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝＝，即＝．

（2）＝+＝﹣+．
22．（10分）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．

【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性质可得结论；
（2）通过证明△APC∽△ADP，可得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PA⊥AB，DP⊥BC，
∴∠BAP＝∠DPC＝90°，
∵＝，
∴，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD，
∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，
∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，
∴∠APD＝∠C；

（2）解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝6，
∵CD＝4，
∴AD＝2，
∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，
∴△APC∽△ADP，
∴，
∴AP2＝2×6＝12，
∴AP＝2．
23．（12分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．
（1）联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；
（2）若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．

【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出，，则可得出结论；
（2）证明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DCP＝∠BDC，证出∠DPC＝90°，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，BC∥AD，
∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，
∴，，
∴，
∴PC2＝PE•PF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠DCB＝90°，
∴DC2＝BD•DP，
∴，
又∵∠CDP＝∠BDC，
∴△CDP∽△BDC，
∴∠DCP＝∠BDC，
∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，
∴∠DPC＝90°，
∴∠BPC＝90°．
24．（12分）如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△DAF∽△CAE．
（2）求证：＝．

【分析】（1）首先证明△EAF∽△EAB，得∠AEF＝∠B，再利用三角形内角和定理知∠D＝∠C，从而证明结论；
（2）根据△DAF∽△CAE，△DAE∽△CAB，得，，等量代换即可．
【解答】证明：（1）AE2＝AF•AB，
∴，
∴∠EAF＝∠BAE，
∴△EAF∽△EAB，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠C，
又∵∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF∽△CAE；
（2）∵△DAF∽△CAE，△DAE∽△CAB，
∴，，
∴，
∴．
25．（14分）如图1，在△ABC，AB＝10，点D，M分别为AB和BC的中点，联结DC，且DC＝DB．
（1）联结AM交DC于点E，DE：CE的值＝　　．
（2）如图2，如果AM⊥DC于点E，求BC的长；
（3）如图3，如果BC＝8，点F为BC上一个动点，过F作FG⊥DC，交DC于点H，交线段DA于点G，设BF＝x，GD＝y，求y关于x的函数解析式及其定义域．


【分析】（1）连接DM，由点D为AB的中点，DC＝DB可得∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到，DM∥AC，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（2）连接DM，由（1）得到DM∥AC，∠ACB＝90°，证明△MED∽△CEM，根据相似三角形的性质得，由（1）得，设OE＝x，则CE＝2x，由DB＝DA＝DC＝AB＝5得CE＝CD＝，ME＝x＝，根据勾股定理求出CM，由中点的定义即可求解；
（3）过点F作FN⊥FG交AB于点N，连接DM，根据平行线的性质得到∠NFB＝∠BCD＝∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BN＝NF，设BF＝x，则CF＝8﹣x，BN＝NF＝x，CH＝（8﹣x），DH＝DC﹣CH＝5﹣（8﹣x）＝x﹣，根据平行线成线段成比例定理得到 ＝，即＝，即可得y关于x的函数解析式是y＝x−5，定义域是≤x＜．
【解答】解：（1）如（图1），连接DM，

∵点D为AB的中点，
∴DB＝DA，
∵DC＝DB，
∴DB＝DA＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，∠ACD＝∠DAC，
∴∠DCB+∠ACD＝（∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠DAC）＝×180°＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵点D，M分别为AB和BC的中点，
∴，DM∥AC，
∴，
故答案为：；

（2）如图（2），

由（1）得到DM∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠BMD＝∠ACB＝90°，
∴DM⊥BC，∠DMC＝90°，
∴∠DME＝∠MCE，
∵∴∠MED＝∠CEM＝90°
∴△MED∽△CEM，
∴，
由（1）得，
设OE＝x，则CE＝2x，
∵DB＝DA＝DC＝AB＝5，
∴CE＝CD＝，DE＝，
∴∴ME＝＝，
∵AM⊥DC，
∴CM＝＝，
∴BC＝2CM＝；

（3）如图（3），过点F作FN⊥FG交AB于点N，连接DM，

∵FN⊥DC，
∴FN∥DC，
∴∠NFB＝∠BCD＝∠B，
∴BN＝FN，
∵AB＝10，BC＝8，DC＝5，
∵BM＝CM＝4，
∴cos∠DCM＝＝＝，
∵FN∥DC，
∴＝，
设BF＝x，则CF＝8﹣x，
∴BN＝NF＝x，CH＝（8﹣x），DH＝DC﹣CH＝5﹣（8﹣x）＝x﹣，
∵DH∥FN，
∴＝，
∴＝；
∴y关于x的函数解析式是y＝x−5，
定义域是≤x＜．