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2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中学等七校联考九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中学等七校联考九年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中学等七校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．（4分）下列事件中，随机事件的是（ ）
A．掷骰子两次，点数和为13
B．在图形的旋转变换中，面积不会改变
C．经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．二月份有30天
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
5．（4分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
6．（4分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
7．（4分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．a﹣b+c＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y⩾c
9．（4分）已知下列命题：
（1）抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；
（2）相等的圆心角所对的弦相等；
（3）任何正多边形都有且只有一个外接圆；
（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（5）圆内接四边形对角相等；
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，点E、F分别在弦AC、AB上，且∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为 ．
12．（5分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
13．（5分）如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： ．
14．（5分）圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对圆周角的度数是 ．
15．（5分）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F，若FG＝2，则AD＝ ．
16．（5分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
三.简答题（第17-19题每题8分，第20-22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
18．（8分）如图是5×5的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图（1）中作出△AB1C1；
（2）在图（2）中作一个与△ABC相似且不全等的格点三角形△A2B2C2．
19．（8分）如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围．
21．（10分）如图，A，B，C是⊙O上三点，其中＝2，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD；
（2）若AB＝4，CD＝2，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
23．（12分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，2），B是x轴正半轴上一动点，以AB为直径画⊙C交x轴于点D，连接AO，过点A作AE⊥AO交⊙C于点E，连接BE，DE．
（1）求∠DBE的度数．
（2）求证：△ADE∽△OAB．
（3）如图2，连接CE，过点C作CF⊥BE于点F，过点F作FG∥CE交DE的延长线于点G，设点B的横坐标为t．
①用含t的代数式表示DE2．
②记S＝DE•EG，求S关于t的函数表达式．
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中学等七校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】设a＝2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．
【解答】解：设a＝2k，则b＝9k．
＝＝，
故选：A．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线为y＝（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）．
故选：B．
3．（4分）下列事件中，随机事件的是（ ）
A．掷骰子两次，点数和为13
B．在图形的旋转变换中，面积不会改变
C．经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．二月份有30天
【分析】根据随机事件以及必然事件和不可能事件的概念进而分别判断得出即可．
【解答】解：A、掷骰子两次，点数和为13，是不可能事件，故此选项错误；
B、在图形的旋转变换中，面积不会改变，是必然事件，故此选项错误；
C、经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项正确；
D、二月份有30天，是不可能事件，故此选项错误．
故选：C．
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1），
∵a＝﹣2＜0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
5．（4分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【解答】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴∠CPD＝COD＝30°，
故选：A．
6．（4分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到12π＝，解得R＝6，然后根据扇形的弧长公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得12π＝，
解得R＝6，
所以扇形的弧长＝＝4π．
故选：C．
7．（4分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．a﹣b+c＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y⩾c
【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断A；根据抛物线与x轴的交点情况即可判断B；由x＝﹣1时，y＜0，即可判断C；把x＝﹣n2﹣2代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝an2（n2+2）+c，根据a＞0，n2≥0，n2+2＞0，即可判断D．
【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴为直线x＝﹣1，所以﹣＝﹣1，所以b＝2a＞0，
∴abc＞0，故A错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，故B错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，
y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．
故选：D．
9．（4分）已知下列命题：
（1）抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；
（2）相等的圆心角所对的弦相等；
（3）任何正多边形都有且只有一个外接圆；
（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（5）圆内接四边形对角相等；
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数的性质、圆周角定理、相似三角形的性质及圆内接四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为3个，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（3）任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意；
（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方，正确，是真命题，符合题意；
（5）圆内接四边形对角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
真命题有2个，
故选：B．
10．（4分）如图，AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，点E、F分别在弦AC、AB上，且∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接点B点C，则△ABC为等腰直角三角形，通过三角形角与角的关系可以发现△AEF∽△BFC，然后根据三角形相似的性质表述出y与x的关系式判断图象．
【解答】解：如图，连接点B、C，
∵AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠CFA＝∠CBA+∠FCB＝45°+∠FCB，
∴∠FCB＝∠CFA﹣45°，
又∵∠EFA＝∠CFA﹣∠CFE＝∠CFA﹣45°，
∴∠FCB＝∠EFA，
∵∠EAF＝∠FBC＝45°，
∴△AEF∽△BFC，
∴＝，
设AB＝d，AF＝d﹣x，BC＝AB＝d，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x，
∴函数图象为过点（0，0）的抛物线，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为 y＝x2+2 ．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝x2﹣1+3，即：y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
12．（5分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，
∴共有8个球，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
13．（5分）如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： ∠ABD＝∠C（答案不唯一） ．
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．
【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．
14．（5分）圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对圆周角的度数是 30°或150° ．
【分析】根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形．所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角＝×60°＝30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于150°．
故答案为：30°或150°．
15．（5分）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F，若FG＝2，则AD＝ 12 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝＝1，即AF＝FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF＝CD＝BD，再利用EF∥BD得到＝，所以DG＝2FG＝4，然后计算FD，从而得到AD的长．
【解答】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴＝＝，
∴DG＝2FG＝4，
∴FD＝2+4＝6，
∴AD＝2FD＝12．
故答案为12．
16．（5分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 3.5 ．
【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
三.简答题（第17-19题每题8分，第20-22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再找出张辉和夏明恰好都选择田赛的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：＝；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，
所以他们恰好选择同一岗位的概率：＝．
18．（8分）如图是5×5的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图（1）中作出△AB1C1；
（2）在图（2）中作一个与△ABC相似且不全等的格点三角形△A2B2C2．
【分析】（1）将点B、C分别绕点A逆时针旋转90°得到其对应点，再与点A首尾顺次连接即可；
（2）将△ABC三边均扩大倍，据此作图即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
19．（8分）如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠AOD＝50°，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质可求出∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，由圆周角定理可得答案；
（2）根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半径为2，
因此的长为＝．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点P（﹣3，6）代入y＝x2﹣x+c中，即可求解；
（2）把二次函数的表达式化为顶点式即可得该二次函数图象的顶点坐标；
（3）由点Q到y轴的距离小于3，可得﹣3＜m＜3，在此范围内求n即可．
【解答】解：（1）把点P（﹣3，6）代入y＝x2﹣x+c中，
得：6＝×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，
解得：c＝﹣，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣；
（2）y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）；
（3）∵点Q到y轴的距离小于3，
∴|m|＜3，
∴﹣3＜m＜3，
∵x＝﹣3时，y＝x2﹣x﹣＝×（﹣3）2﹣（﹣3）﹣＝6，
x＝3时，y＝x2﹣x﹣＝×32﹣3﹣＝0，
又∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴﹣3＜m＜3时，n≥﹣2，
∴﹣2≤n＜6．
21．（10分）如图，A，B，C是⊙O上三点，其中＝2，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD；
（2）若AB＝4，CD＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂径定理得到BE＝2BD，＝2，求得＝，于是得到结论；
（2）如图，连接OB，设⊙O 的半径为r，根据勾股定理列方程得到r＝4，根据三角函数的定义得到∠BOC＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE＝2BD，＝2，
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BE，
∴AB＝2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设⊙O 的半径为r，
∵AB＝4，CD＝2，
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，r2＝（r﹣2）2+（2）2，
解得：r＝4，
∵sin∠BOC＝＝，
∴∠BOC＝60°，
∴阴影部分的面积＝﹣×2＝π﹣2．
22．（10分）柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
【分析】（1）根据题意可以得到平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和株数之间的函数关系，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝20﹣0.1（x﹣100）＝﹣0.1x+30，
即平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式是y＝﹣0.1x+30；
（2）设每亩的利润为w元，
w＝40x（﹣0.1x+30）﹣30000＝﹣4x2+1200x﹣30000＝﹣4（x﹣150）2+60000，
∴当x＝150时，w取得最大值，此时w＝60000，
答：每亩种植150株红美人可使利润最大，最大值为60000元．
23．（12分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
【分析】（1）根据题意证明∠ADE＝∠BEC和∠A＝∠B，得到△ADE∽△BEC；
（2）根据题意画图即可；
（3）根据相似三角形的性质和折叠的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠DEC＝45°
∴∠ADE+∠AED＝135°，∠BEC+∠AED＝135°，
∴∠ADE＝∠BEC，
又∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；
（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，
∴＝，
∴＝．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，2），B是x轴正半轴上一动点，以AB为直径画⊙C交x轴于点D，连接AO，过点A作AE⊥AO交⊙C于点E，连接BE，DE．
（1）求∠DBE的度数．
（2）求证：△ADE∽△OAB．
（3）如图2，连接CE，过点C作CF⊥BE于点F，过点F作FG∥CE交DE的延长线于点G，设点B的横坐标为t．
①用含t的代数式表示DE2．
②记S＝DE•EG，求S关于t的函数表达式．
【分析】（1）证明∠EAD＝90°+45°＝135°，则∠DBE+∠EAD＝180°，即可求解；
（2）由∠AOB＝∠AOD+90°＝135°＝∠DAE，即可求解；
（3）①由△ADE∽△OAB得到，即，即可求解；
②证明△DEB∽△DBM，则∴BD2＝DE•DM＝（ED+EM）•DE＝DE2+DE•EM，故S＝DE•EG＝（BD2﹣DE2）＝[（t+2）2﹣（t2+2t+4）]＝t2+t．
【解答】解：（1）由点A的坐标知，OD＝AD，则∠DAO＝45°＝∠AOD，
∵AE⊥AO，
∴∠EAO＝90°，则∠EAD＝90°+45°＝135°，
则∠DBE+∠EAD＝180°，
∴∠DBE的度数为45°；
（2）∵∠AOB＝∠AOD+90°＝135°，
∵∠DAE＝135°＝∠AOB，
∵∠ABO＝∠AED，
∴△ADE∽△OAB；
（3）①∵△ADE∽△OAB，
∴，
由点A的坐标知，AD＝AO＝2，则AO＝2，
∵点B的坐标为（t，0），则BD＝t+2，AB＝＝
∴，即ED＝AB＝，
则DE2＝t2+2t+4；
②过点B作BM∥GF交DG的延长线于点M，连接CD，
∵CF⊥EB，故点F是BE的中点，
∵GF∥MB，故GF是△EBM的中位线，
则EM＝2GE，
由（1）知∠EBD＝45°，则∠ECD＝90°，
∴∠DEC＝45°，
∵FC∥FG∥BM，
∴∠DEC＝∠DGF＝∠M＝45°＝∠MBD，
∵∠EDB＝∠MDB，
∴△DEB∽△DBM，
∴BD2＝DE•DM＝（ED+EM）•DE＝DE2+DE•EM＝DE2+2DE•GE，
∴S＝DE•EG＝（BD2﹣DE2）＝[（t+2）2﹣（t2+2t+4）]＝t2+t．
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中学等七校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．（4分）下列事件中，随机事件的是（ ）
A．掷骰子两次，点数和为13
B．在图形的旋转变换中，面积不会改变
C．经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．二月份有30天
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
5．（4分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
6．（4分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
7．（4分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．a﹣b+c＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y⩾c
9．（4分）已知下列命题：
（1）抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；
（2）相等的圆心角所对的弦相等；
（3）任何正多边形都有且只有一个外接圆；
（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（5）圆内接四边形对角相等；
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，点E、F分别在弦AC、AB上，且∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为 ．
12．（5分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
13．（5分）如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： ．
14．（5分）圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对圆周角的度数是 ．
15．（5分）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F，若FG＝2，则AD＝ ．
16．（5分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
三.简答题（第17-19题每题8分，第20-22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
18．（8分）如图是5×5的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图（1）中作出△AB1C1；
（2）在图（2）中作一个与△ABC相似且不全等的格点三角形△A2B2C2．
19．（8分）如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围．
21．（10分）如图，A，B，C是⊙O上三点，其中＝2，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD；
（2）若AB＝4，CD＝2，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
23．（12分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，2），B是x轴正半轴上一动点，以AB为直径画⊙C交x轴于点D，连接AO，过点A作AE⊥AO交⊙C于点E，连接BE，DE．
（1）求∠DBE的度数．
（2）求证：△ADE∽△OAB．
（3）如图2，连接CE，过点C作CF⊥BE于点F，过点F作FG∥CE交DE的延长线于点G，设点B的横坐标为t．
①用含t的代数式表示DE2．
②记S＝DE•EG，求S关于t的函数表达式．
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中学等七校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】设a＝2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．
【解答】解：设a＝2k，则b＝9k．
＝＝，
故选：A．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线为y＝（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）．
故选：B．
3．（4分）下列事件中，随机事件的是（ ）
A．掷骰子两次，点数和为13
B．在图形的旋转变换中，面积不会改变
C．经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．二月份有30天
【分析】根据随机事件以及必然事件和不可能事件的概念进而分别判断得出即可．
【解答】解：A、掷骰子两次，点数和为13，是不可能事件，故此选项错误；
B、在图形的旋转变换中，面积不会改变，是必然事件，故此选项错误；
C、经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项正确；
D、二月份有30天，是不可能事件，故此选项错误．
故选：C．
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1），
∵a＝﹣2＜0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
5．（4分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【解答】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴∠CPD＝COD＝30°，
故选：A．
6．（4分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到12π＝，解得R＝6，然后根据扇形的弧长公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得12π＝，
解得R＝6，
所以扇形的弧长＝＝4π．
故选：C．
7．（4分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．a﹣b+c＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y⩾c
【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断A；根据抛物线与x轴的交点情况即可判断B；由x＝﹣1时，y＜0，即可判断C；把x＝﹣n2﹣2代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝an2（n2+2）+c，根据a＞0，n2≥0，n2+2＞0，即可判断D．
【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴为直线x＝﹣1，所以﹣＝﹣1，所以b＝2a＞0，
∴abc＞0，故A错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，故B错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，
y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．
故选：D．
9．（4分）已知下列命题：
（1）抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；
（2）相等的圆心角所对的弦相等；
（3）任何正多边形都有且只有一个外接圆；
（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（5）圆内接四边形对角相等；
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数的性质、圆周角定理、相似三角形的性质及圆内接四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为3个，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（3）任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意；
（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方，正确，是真命题，符合题意；
（5）圆内接四边形对角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
真命题有2个，
故选：B．
10．（4分）如图，AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，点E、F分别在弦AC、AB上，且∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接点B点C，则△ABC为等腰直角三角形，通过三角形角与角的关系可以发现△AEF∽△BFC，然后根据三角形相似的性质表述出y与x的关系式判断图象．
【解答】解：如图，连接点B、C，
∵AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠CFA＝∠CBA+∠FCB＝45°+∠FCB，
∴∠FCB＝∠CFA﹣45°，
又∵∠EFA＝∠CFA﹣∠CFE＝∠CFA﹣45°，
∴∠FCB＝∠EFA，
∵∠EAF＝∠FBC＝45°，
∴△AEF∽△BFC，
∴＝，
设AB＝d，AF＝d﹣x，BC＝AB＝d，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x，
∴函数图象为过点（0，0）的抛物线，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为 y＝x2+2 ．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝x2﹣1+3，即：y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
12．（5分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，
∴共有8个球，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
13．（5分）如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： ∠ABD＝∠C（答案不唯一） ．
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．
【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．
14．（5分）圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对圆周角的度数是 30°或150° ．
【分析】根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形．所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角＝×60°＝30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于150°．
故答案为：30°或150°．
15．（5分）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F，若FG＝2，则AD＝ 12 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝＝1，即AF＝FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF＝CD＝BD，再利用EF∥BD得到＝，所以DG＝2FG＝4，然后计算FD，从而得到AD的长．
【解答】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴＝＝，
∴DG＝2FG＝4，
∴FD＝2+4＝6，
∴AD＝2FD＝12．
故答案为12．
16．（5分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 3.5 ．
【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
三.简答题（第17-19题每题8分，第20-22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再找出张辉和夏明恰好都选择田赛的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：＝；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，
所以他们恰好选择同一岗位的概率：＝．
18．（8分）如图是5×5的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图（1）中作出△AB1C1；
（2）在图（2）中作一个与△ABC相似且不全等的格点三角形△A2B2C2．
【分析】（1）将点B、C分别绕点A逆时针旋转90°得到其对应点，再与点A首尾顺次连接即可；
（2）将△ABC三边均扩大倍，据此作图即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
19．（8分）如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠AOD＝50°，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质可求出∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，由圆周角定理可得答案；
（2）根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半径为2，
因此的长为＝．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点P（﹣3，6）代入y＝x2﹣x+c中，即可求解；
（2）把二次函数的表达式化为顶点式即可得该二次函数图象的顶点坐标；
（3）由点Q到y轴的距离小于3，可得﹣3＜m＜3，在此范围内求n即可．
【解答】解：（1）把点P（﹣3，6）代入y＝x2﹣x+c中，
得：6＝×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，
解得：c＝﹣，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣；
（2）y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）；
（3）∵点Q到y轴的距离小于3，
∴|m|＜3，
∴﹣3＜m＜3，
∵x＝﹣3时，y＝x2﹣x﹣＝×（﹣3）2﹣（﹣3）﹣＝6，
x＝3时，y＝x2﹣x﹣＝×32﹣3﹣＝0，
又∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴﹣3＜m＜3时，n≥﹣2，
∴﹣2≤n＜6．
21．（10分）如图，A，B，C是⊙O上三点，其中＝2，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD；
（2）若AB＝4，CD＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂径定理得到BE＝2BD，＝2，求得＝，于是得到结论；
（2）如图，连接OB，设⊙O 的半径为r，根据勾股定理列方程得到r＝4，根据三角函数的定义得到∠BOC＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE＝2BD，＝2，
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BE，
∴AB＝2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设⊙O 的半径为r，
∵AB＝4，CD＝2，
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，r2＝（r﹣2）2+（2）2，
解得：r＝4，
∵sin∠BOC＝＝，
∴∠BOC＝60°，
∴阴影部分的面积＝﹣×2＝π﹣2．
22．（10分）柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
【分析】（1）根据题意可以得到平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和株数之间的函数关系，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝20﹣0.1（x﹣100）＝﹣0.1x+30，
即平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式是y＝﹣0.1x+30；
（2）设每亩的利润为w元，
w＝40x（﹣0.1x+30）﹣30000＝﹣4x2+1200x﹣30000＝﹣4（x﹣150）2+60000，
∴当x＝150时，w取得最大值，此时w＝60000，
答：每亩种植150株红美人可使利润最大，最大值为60000元．
23．（12分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
【分析】（1）根据题意证明∠ADE＝∠BEC和∠A＝∠B，得到△ADE∽△BEC；
（2）根据题意画图即可；
（3）根据相似三角形的性质和折叠的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠DEC＝45°
∴∠ADE+∠AED＝135°，∠BEC+∠AED＝135°，
∴∠ADE＝∠BEC，
又∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；
（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，
∴＝，
∴＝．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，2），B是x轴正半轴上一动点，以AB为直径画⊙C交x轴于点D，连接AO，过点A作AE⊥AO交⊙C于点E，连接BE，DE．
（1）求∠DBE的度数．
（2）求证：△ADE∽△OAB．
（3）如图2，连接CE，过点C作CF⊥BE于点F，过点F作FG∥CE交DE的延长线于点G，设点B的横坐标为t．
①用含t的代数式表示DE2．
②记S＝DE•EG，求S关于t的函数表达式．
【分析】（1）证明∠EAD＝90°+45°＝135°，则∠DBE+∠EAD＝180°，即可求解；
（2）由∠AOB＝∠AOD+90°＝135°＝∠DAE，即可求解；
（3）①由△ADE∽△OAB得到，即，即可求解；
②证明△DEB∽△DBM，则∴BD2＝DE•DM＝（ED+EM）•DE＝DE2+DE•EM，故S＝DE•EG＝（BD2﹣DE2）＝[（t+2）2﹣（t2+2t+4）]＝t2+t．
【解答】解：（1）由点A的坐标知，OD＝AD，则∠DAO＝45°＝∠AOD，
∵AE⊥AO，
∴∠EAO＝90°，则∠EAD＝90°+45°＝135°，
则∠DBE+∠EAD＝180°，
∴∠DBE的度数为45°；
（2）∵∠AOB＝∠AOD+90°＝135°，
∵∠DAE＝135°＝∠AOB，
∵∠ABO＝∠AED，
∴△ADE∽△OAB；
（3）①∵△ADE∽△OAB，
∴，
由点A的坐标知，AD＝AO＝2，则AO＝2，
∵点B的坐标为（t，0），则BD＝t+2，AB＝＝
∴，即ED＝AB＝，
则DE2＝t2+2t+4；
②过点B作BM∥GF交DG的延长线于点M，连接CD，
∵CF⊥EB，故点F是BE的中点，
∵GF∥MB，故GF是△EBM的中位线，
则EM＝2GE，
由（1）知∠EBD＝45°，则∠ECD＝90°，
∴∠DEC＝45°，
∵FC∥FG∥BM，
∴∠DEC＝∠DGF＝∠M＝45°＝∠MBD，
∵∠EDB＝∠MDB，
∴△DEB∽△DBM，
∴BD2＝DE•DM＝（ED+EM）•DE＝DE2+DE•EM＝DE2+2DE•GE，
∴S＝DE•EG＝（BD2﹣DE2）＝[（t+2）2﹣（t2+2t+4）]＝t2+t．
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