辽宁省沈阳市2021--2022学年九年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份辽宁省沈阳市2021--2022学年九年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题2分，共20分）
1．若线段a，b，c，d成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d＝（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm
2．反比例函数y＝（x＞0）的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
3．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程x2+3x+4＝0，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
5．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（　　）
A．③④①② B．③②①④ C．③①④② D．②④①③
6．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝（　　）

A．6m B．8m C．9m D．16m
7．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，6）
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是矩形
B．当AC＝BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
9．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　 　．
12．在函数y＝的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝　 　．

14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是 　 　．
15．如图，有一正方形ABCD，边长为2，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为 　 　．

16．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝13，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接CA'并延长，与AD相交于点F，则DF的长为 　 　．

三、解答题
17．（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）2cos30°+tan60°﹣2tan45°•tan60°．
18．（1）添线补全下列几何体的三种视图．

（2）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH．
①填空：判断此光源下形成的投影是：　 　投影．
②作出立柱EF在此光源下所形成的影子．

19．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　 　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
20．小帆服装店购进一批衬衫，原计划每件标价200元，由于疫情影响，该店决定对这批衬衫全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后，每件售价为162元．求每次降价的百分率．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若AB＝5，BC＝6，线段CG的长为 　 　．

22．如图，在建筑物AB上，挂着35m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

23．已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）连接OP，OQ，S△OPQ＝　 　；
（3）不等式k1x+b≥的解集是 　 　．

24．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．

（1）点A的坐标 　 　，点B的坐标 　 　；
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形时，点E的坐标为 　 　．
（4）在（3）的条件下，当点P在AE右侧时，Q为平面内一点，EQ＝2，连接OQ，将线段OQ绕着点O逆时针旋转90°，得到线段OM，连接QM，EM，直接写出EM的范围．
25．【证明体验】
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠DAB＝∠GAE＝60°，点G，点E分别在边AD，AB上，点F在菱形ABCD内部，将菱形AEFG绕点A旋转一定的角度α，点E，F始终在菱形ABCD的内部．
（1）图2，求证：△DGA≌△BEA．
【思考探究】
（2）如图3，点P，Q分别在AB，AD延长线上，连接AF并延长与∠QDC的平分线交于点H，连接AE并延长与∠PBC的平分线交于K．连接DH，HK，CH，CK．
①求证：△ADH∽△KBA；
②若AB＝2，DH＝5，则线段BK的长度为 　 　，线段HK的长为 　 　．
③菱形AEFG绕点A旋转α度（0°＜α＜30°），AB＝m，△KBC是等腰三角形，线段HK的长为 　 　．



参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题2分，共20分）
1．若线段a，b，c，d成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d＝（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值．
解：∵线段a，b，c，d成比例线段，
∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，
∴d＝6（cm）．
故选：D．
2．反比例函数y＝（x＞0）的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
【分析】由k＝﹣5知，图象位于第二、四象限，而x＞0可知，图象在第四象限，即可得出答案．
解：∵k＝﹣5，
∴图象位于第二、四象限，
∵x＞0，
∴图象在第四象限．
故选：D．
3．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】观察题目易知△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝4，根据正切的定义即可求出tanA．
解：由题知△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝，
故选：B．
4．若关于x的一元二次方程x2+3x+4＝0，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
5．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（　　）
A．③④①② B．③②①④ C．③①④② D．②④①③
【分析】太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断．
解：按时间先后顺序排列为③④①②．
故选：A．
6．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝（　　）

A．6m B．8m C．9m D．16m
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝9（m），
故选：C．
7．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，6）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，A（6，3），
∴点C的坐标为（6×，3×），即（2，1），
故选：B．
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是矩形
B．当AC＝BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：A、当AB＝BC时，它是菱形，原说法错误，不符合题意；
B、当AC＝BD时，它是矩形，原说法错误，不符合题意；
C、当∠ABC＝90°时，它是矩形，说法正确，符合题意；
D、当AC＝BD时，它是矩形，原说法错误，不符合题意；
故选：C．

9．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，
依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
故选：B．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．4
【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD＝S菱形ABCO＝2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
解：连接AC交OB于D，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，S△OCD＝S菱形ABCO＝×8＝2，
∵CD⊥y轴，
∴S△OCD＝|k|，
即|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：B．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　x＝2或x＝0　．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
解：∵3x2﹣6x＝0，
∴3x（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝0，
故答案为：x＝2或x＝0
12．在函数y＝的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为　y2＜y1＜y3　．
【分析】分别计算自变量为﹣3、﹣2、1代入的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解：当x＝﹣3时，y1＝＝﹣；
当x＝﹣2时，y2＝＝﹣1；
当x＝1时，y3＝＝2，
所以y2＜y1＜y3．
故答案为y2＜y1＜y3．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝　10　．

【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，
∴sinA＝＝＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是 　7　．
【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量．
解：由题意可得，
红球的概率为＝70%，
则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）．
故答案为：7．
15．如图，有一正方形ABCD，边长为2，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为 　2或　．

【分析】根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例式解答即可．
解：依题意可得：BD＝＝＝4，
设BF＝x，则有DF＝4﹣x．
①当△ABF∽△FDE时，
由＝，即＝，
解得，x＝2．
②当△ABF∽△EDF时，
由＝，即＝，
解得，x＝，
综上所述，BF的值为2或．
故答案为：2或．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝13，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接CA'并延长，与AD相交于点F，则DF的长为 　26﹣12　．

【分析】作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得＝，延长构建方程即可解决问题．
解：作A′H⊥BC于H，如图：

∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴∠A′BH＝30°，
∴A′H＝BA′＝6，BH＝A′H＝6，
∴CH＝13﹣6，
∵△CDF∽△A′HC，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝26﹣12，
故答案为：26﹣12．
三、解答题
17．（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）2cos30°+tan60°﹣2tan45°•tan60°．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
（2）根据特殊角的三角函数值，代入求出即可．
解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
x1＝1+，x2＝1﹣．

（2）原式＝2×+﹣2×1×
＝+﹣2
＝0．
18．（1）添线补全下列几何体的三种视图．

（2）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH．
①填空：判断此光源下形成的投影是：　中心　投影．
②作出立柱EF在此光源下所形成的影子．

【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）①作出射线GA，射线HC，可得结论；
②作出中心投影的投影中心O，作出射线OE交GH于点R，线段FR即为所求．
解：（1）三视图，如图所示：


（2）①这个投影是中心投影．
故答案为：中心．
②如图2中，立柱EF在此光源下所形成的影子是线段FR．

19．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
20．小帆服装店购进一批衬衫，原计划每件标价200元，由于疫情影响，该店决定对这批衬衫全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后，每件售价为162元．求每次降价的百分率．
【分析】根据“经过连续两次降价后，每件售价为162元“可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率．
解：设每次降价的百分率为x，
根据题意，得200（1﹣x）2＝162，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：每次降价的百分率是10%．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若AB＝5，BC＝6，线段CG的长为 　　．

【分析】（1）证△AEF≌△DEB（SAS），得AF＝DB，∠AFE＝∠DBE，则AF∥DB，再由等腰三角形的性质得DB＝DC，AD⊥BC，则AF＝DC，进而得出结论；
（2）过G作GH⊥CD于H，由勾股定理得AD＝4，再证△AGF∽△CGB，得＝＝，则AG＝CG，然后求出AG＝AC＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（SAS），
∴AF＝DB，∠AFE＝∠DBE，
∴AF∥DB，
∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴DB＝DC，AD⊥BC，
∴AF＝DC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：过G作GH⊥CD于H，如图所示：
则GH∥AD，
∵AB＝AC＝5，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝＝＝4，
由（1）得：AF＝DC＝BD＝3＝BC，AF∥BC，
∴△AGF∽△CGB，
∴＝＝，
∴AG＝CG，
∴AG＝AC＝，
∴CG＝AC﹣AG＝5﹣＝，
故答案为：．

22．如图，在建筑物AB上，挂着35m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据∠ADF和∠EDF可以求得AF与DF、EF与DF的关系，利用AE＝AF+EF＝35即可求得DF的值，即可解题．
解：过点D作DF⊥AB于点F，

则BC＝DF，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，则AF＝DF，
在Rt△DFE中，∠EDF＝37°，则EF＝DF•tan37°，
又因为AF+EF＝AE，
所以DF+DF•tan37°＝35，
解得：DF＝BC＝20（m），
答：两建筑物间的距离BC为20m．
23．已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）连接OP，OQ，S△OPQ＝　　；
（3）不等式k1x+b≥的解集是 　　．

【分析】（1）根据P点坐标即可求出k2的值，再将点Q的坐标代入反比例函数中得出m的值，最后根据待定系数法求解一次函数解析式即可．
（2）根据一次函数的解析式求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，设一次函数图象与y轴的交点为D，分别求出△DPO、△AOD和△QOA的面积，用△AOD的面积减去△DPO和△QOA的面积即可求出△OPQ的面积．
（3）根据两个交点进行判断即可．
解：（1）∵P（，8），
∴k2＝×8＝4，
∴反比例函数解析式为，
将Q（4，m）代入中，
解得m＝1，
将P（，8），Q（4，1）代入一次函数y＝k1x+b中，
得，
解得：k1＝﹣2，b＝9，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+9．
（2）设一次函数图象与y轴的交点为D，如图所示，

∴D点坐标为（0，9），
将y＝0代入y＝﹣2x+9中，
可得x＝，
∴A点坐标为（，0），
∴△AOD的面积＝＝，
△DPO的面积＝＝，
△OQA的面积＝＝，
∴S△OPQ＝S△AOD﹣S△DPO﹣S△OQA＝．
故答案为：．
（3）由图象可知不等式k1x+b≥的解集为或x＜0．
故答案为：或x＜0．
24．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．

（1）点A的坐标 　（8，0）　，点B的坐标 　（0，6）　；
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形时，点E的坐标为 　（，）或（16，20）　．
（4）在（3）的条件下，当点P在AE右侧时，Q为平面内一点，EQ＝2，连接OQ，将线段OQ绕着点O逆时针旋转90°，得到线段OM，连接QM，EM，直接写出EM的范围．
【分析】（1）令y＝0，得﹣x+6＝0，即可得出A（8，0），令x＝0，得y＝6，即可得出B（0，6）；
（2）解方程组可求得C（3，），设P（x，6），根据S△AOC＝S△BCP，可得OA•CG＝BP•CH，建立方程求解即可；
（3）设点E（m，m）、点P（n，6），如图②，过点P作PF⊥OA于F，过点E作EK⊥PF于K，则∠PKE＝∠AFP＝90°，利用同角的余角相等可得∠EPK＝∠PAF，进而可证△PEK≌△APF（AAS），得出：EK＝PF＝6，PK＝AF，建立方程求解即可；
（4）根据点P在AE右侧，可知E（16，20），由EQ＝2，可得点Q在以E为圆心，半径为2的⊙E上运动，将OE绕点O逆时针旋转90°，得到ON，以N为圆心，半径为2，作⊙N，连接EN交⊙N于M1，延长EN交⊙N于M2，再利用勾股定理即可求得EM的最大值和最小值，从而求得答案．
解：（1）在y＝﹣x+6中，令y＝0，
得﹣x+6＝0，
解得：x＝8，
∴A（8，0），
令x＝0，得y＝6，
∴B（0，6），
故答案为：（8，0），（0，6）；
（2）由题意得：，
解得：，
∴C（3，），
∵直线l∥x轴，经过B（0，6），点P是直线l上的一个动点
∴P（x，6），
∴BP＝|x|，
如图①，过点C作CG⊥OA于G，延长GC交BP于H，
则∠AGC＝∠HGO＝90°＝∠BOG，
∵BP∥OA，
∴∠BHG＝∠AGC＝90°，
∴∠BHG＝∠HGO＝∠BOG＝90°，
∴四边形BOGH是矩形，
∴GH＝OB＝6，
∵CG＝，
∴CH＝GH﹣CG＝6﹣＝，
∵S△AOC＝S△BCP，
∴OA•CG＝BP•CH，
即×8×＝•|x|•，
∴|x|＝，
∴x＝±，
∴P（，6）或（﹣，6）；
（3）设点E（m，m）、点P（n，6），
∵△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形，
∴PE＝PA，∠APE＝90°，
如图②，过点P作PF⊥OA于F，过点E作EK⊥PF于K，
则∠PKE＝∠AFP＝90°，
∴∠EPK+∠APF＝90°，∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠EPK＝∠PAF，
∴△PEK≌△APF（AAS），
∴EK＝PF＝6，PK＝AF，
∵EK＝|m﹣n|，PK＝KF﹣PF＝m﹣6，AF＝|8﹣n|，
∴|m﹣n|＝6，m﹣6＝|8﹣n|，
解得：或，③
∴E（，）或（16，20）；
（4）如图③，由（3）得E（，）或（16，20），
∵点P在AE右侧，
∴E（16，20），
∵EQ＝2，
∴点Q在以E为圆心，半径为2的⊙E上运动，将OE绕点O逆时针旋转90°，得到ON，
以N为圆心，半径为2，作⊙N，连接EN交⊙N于M1，延长EN交⊙N于M2，
∵ON＝OE＝＝4，∠EON＝90°，
∴EN＝OE＝4，
∵NM1＝NM2＝2，
∴EM的最小值为EM1＝EN﹣NM1＝4﹣2，
EM的最大值为EM2＝EN+NM2＝4+2，
∴EM的范围为4﹣2≤EM≤4+2．



25．【证明体验】
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠DAB＝∠GAE＝60°，点G，点E分别在边AD，AB上，点F在菱形ABCD内部，将菱形AEFG绕点A旋转一定的角度α，点E，F始终在菱形ABCD的内部．
（1）图2，求证：△DGA≌△BEA．
【思考探究】
（2）如图3，点P，Q分别在AB，AD延长线上，连接AF并延长与∠QDC的平分线交于点H，连接AE并延长与∠PBC的平分线交于K．连接DH，HK，CH，CK．
①求证：△ADH∽△KBA；
②若AB＝2，DH＝5，则线段BK的长度为 　8　，线段HK的长为 　7　．
③菱形AEFG绕点A旋转α度（0°＜α＜30°），AB＝m，△KBC是等腰三角形，线段HK的长为 　m或m或m　．

【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）①根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
②如图3﹣2中，连接DB，过点H作HM⊥BK于点M．利用相似三角形的性质求出BK，再利用勾股定理求解即可；
③分三种情形：如图4﹣1中，当KB＝KC时，连接BD，过点K作KJ⊥DH于点J．如图4﹣2中，当BC＝BK时，四边形BDHK是正方形，KH＝m．如图4﹣3中，当CB＝CK时，D，C，K共线，过点H作HN⊥BK于点N．分别利用相似三角形的性质以及勾股定理求解．
【解答】（1）证明：如图2中，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠DAB＝∠GAE＝60°，
∴AD＝AB，AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS）；

（2）①证明：如图3﹣1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CBP＝∠DAB＝60°，∠CDQ＝∠DAB＝60°，
∵DH，BK分别平分∠QDC，∠CBP，
∴∠QDH＝∠KBP＝30°，
∴∠ADH＝∠ABK＝150°，
∵∠FAE＝∠QDH＝30°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠BAK+∠DAH＝30°，
∴∠AHD＝∠BAK，
∴△ADH∽△KBA；

②解：如图3﹣2中，连接DB，过点H作HM⊥BK于点M．

∵△ADH∽△KBA，
∴＝，
∴BK＝＝8，
∵∠BDH＝∠DBM＝∠BMH＝90°，
∴四边形DBMH是矩形，
∴BM＝DH＝5，DB＝MH＝2，
∴KM＝BK﹣BM＝8﹣5＝3，
∴HK＝＝＝7．
故答案为：8，7；

③解：如图4﹣1中，当KB＝KC时，连接BD，过点K作KJ⊥DH于点J．

∵DB＝DC，KB＝KC，
∴DK⊥BC，CJ＝BJ，
∵AB＝BC＝m，∠CBK＝∠KCB＝30°，
∴BK＝m，DJ＝m，
∴DH＝＝＝2m，
∵四边形BDJK是矩形，
∴DJ＝BK＝m，
DB＝KJ＝m，
∴JH＝DH﹣DJ＝2m﹣m＝m，
∴KH＝＝＝m
如图4﹣2中，当BC＝BK时，四边形BDHK是正方形，KH＝m．

如图4﹣3中，当CB＝CK时，D，C，K共线，过点H作HN⊥BK于点N．

∵CB＝CK＝m，∠BCK＝120°，
∴BK＝m，
∴DH＝＝＝m，
∵∵四边形BDHN是矩形，
∴DH＝BN＝m，
DB＝HN＝m，
∴KN＝BK﹣BN＝m﹣m＝m，
∴KH＝＝＝m，
综上所述，满足条件的HK的值为m或m或m．
故答案为：m或m或m．