北京市丰台区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案）

2021—2022学年度第一学期    期中检测

     初三数学 测试卷               2021.11

班级：________________________           姓名：_______________

一、选择题：（每小题3分，共24分）

1.抛物线 的顶点坐标是(   )

A．（-2，）  B．（-2，-3）  C．（2，3）  D． （2，-3）

2.将抛物线y =2x2向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为(   )

A.      B.

C.      D.

3.若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为(   )

  A．          B．              C．            D．

4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)

A．120°     B．100°   C．80°      D．60°

5.点A（0，），B（5，）在二次函数 的图象上，y1与y2的大小关系是（  ）

    A．         B．   C．        D．无法比较

6.如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（    ）.

A.　        　  B.

C.当时,y随x的增大而增大  

D.是一元二次方程的一个根

7.如图, 在5×5正方形网格中, 一条圆弧经过A、B、C三点,

那么弧AC所对的圆心角的大小是（    ）

A. 60° B. 90°           C. 80°           D. 75°

8. 如图，点M坐标为（0,2），点A坐标为（2,0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为(   )

A.（0，）    B.（1，）   C.（2，2）      D.（2，4）

二、填空题：（每小题3分，共24分）

9. 若抛物线经过点（0,0），则的值为         .

10.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______°

11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为      （填“相交”、“相切”或“相离”）

12. 如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，AE=2，则CD等于_________

13.二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为         

14．已知二次函数的部分图象如图所示，

则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是_________

15. 如图，是⊙的切线，为切点，的延长线交⊙于点，连接，如果，，那么的长等于__________

16. 如图, 正方形ABCD的边AB在x轴上, A（4, 0）, B（2, 0）,

定义: 若某个抛物线上存在一点P, 使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等, 则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2nxn21是正方形ABCD的“友好抛物线”,则n的值为_____．

三、解答题

17.（本题4分） 已知二次函数．

（1）将二次函数化成的形式；

（2）在平面直角坐标系中画出

的图象；

18.（本题4分）如图，CD为⊙O的直径，弦于E，如果CE = 1，AB = 10，求半径OC的长。

19.（本题5分）已知：二次函数中的和满足下表：

（1）请直接写出m的值为_________．

（2）求出这个二次函数的解析式．

（3）当时，则y的取值范围为______________________________．

20.（本题5分）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点,过点A、B、D作☉O.

(1)求证：AB是☉O的直径;

(2)延长CB交☉O于点E,连接DE，

求证：DC=DE.

21.（本题4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，作射线OP；

① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；

②连接并延长BA与⊙A交于点C；

③作直线PC；

则直线PC即为所求．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵ BC是⊙A的直径，

∴ ∠BPC=90°                                       （填推理依据）．

∴ OP⊥PC．

又∵ OP是⊙O的半径，

∴ PC是⊙O的切线                                     （填推理依据）．

22.（本题5分） 体育测试时，九年级一名学生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？(结果保留根号)

23.（本题5分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D.

（1）求证：；

（2）若∠BAC=30°，AC =2. 求CD的长.

24.（本题5分）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；

（3）将抛物线沿直线翻折，得到的图象记为，设与围成的封闭图形为，在图形上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行。求的值.

25．（本题5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．

（1）抛物线的对称轴为x=______；

（2）当a>0时，若在抛物线上有两点，且，则m的取值范围是       ；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向左平移2个单位得到点B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．

26.（本题5分）在△ABC中，，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE=CD,过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F。

(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；

(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，并直接写出线段EF、CF、AC的数量关系.

         图1                                  图2

27.（本题5分）如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H＇，称点H＇为点P关于直线l的垂对点．

在平面直角坐标系xOy中，

（1）已知点P（0，2），则点O（0，0），A（2，2），B（0，4）中是点P关于x轴的垂对点的是　　；

（2）已知点M（0，），且0，直线上存在点M关于x轴的垂对点，求的取值范围；

（3）已知点N（，2），若直线上存在两个不同的点E1、E2，使得E1、E2都是N关于x轴的垂对点，直接写出的取值范围．

备用图1                              备用图2

2021－2022学年度第一学期

初三数学期中试卷答案       2021.11

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9、 0        10、60               11、相切      12、8       

 13、1        14、-3＜x＜ 0        15、6         16、6或-3

三. 解答题（本题共52分，第17、18、21题，每小题4分，第19、20、22、23、24、25、26、27题，每小题5分）

17.解：（1）

      ——————————————2分

      （2）列表：

          描点、连线：（如图）

———4分

18.解：连接OA

      设半径OC=x，则OA=OC=x              

      ∵CE=1

      ∴OE=x-1     ————————1分

      ∵AD⊥CD，且CD为直径，AB=10

      ∴AE==5    ————————2分

       在RT△AEO中

       ∵

      ∴    ————————3分

解得：x=13

∴半径OC的长为13      ————————4分

19.（1）m的值为_____3___  ————————1分

  （2） 把（0,3）、（1,0）、（3,0）代入二次函数，得：

     ————————2分

解得：     ————————3分

∴二次函数的解析式为：   ————————4分

 （其他方法参考上面酌情给分）

  （3）y的取值范围是____-1≤y＜3______  ————————5分

20.证明：(1)连接BD，如图．

∵BA＝BC，D是底边AC的中点，

∴BD⊥AC，      …………………………………1分

∴∠ADB＝90°，

∴AB是⊙O的直径．  …………………………………2分

(2)∵BA＝BC，

∴∠A＝∠C.    …………………………………3分

∴ ∠A＝∠E，…………………………………4分

∴∠C＝∠E，

∴DC＝DE.    …………………………………5分

21. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

…………………………………2分

（2）直径所对的圆周角是直角……………………3分

     经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线……………4分.

22. 解：设抛物线的解析式：y=a（x-4）²+4   ……………………1分

把A（0,2）代入

得a=   

得解析式为    …………2分

令，得0=      …………3分

（舍）,    …………4分

所以，该同学把实心球扔出（）…………5分.

23.（1）证明：

∵DB是⊙O的切线，

∴∠OBD=∠OBC+∠DBC=90°.

∵AB是⊙O的直径，  

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°.  …………1分

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB.

∴∠DBC=∠OCA.     …………2分  

（2）解：在Rt△ACB中， ∠A=30°，AC=2，可得CB =.

∵∠A=30°，

∴∠COB=2∠A=60°.

∴∠D=90°∠COB=30°. 

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°.

∴∠DBC=∠OCA=30°.

∴∠D=∠DBC.

∴CB=CD.

∴CD=.. …………5分（各种方法酌情给分，求出半径可给到3分）

24.解：（1）∵抛物线C：y=x2+(3-m)x经过点A（-1，0），

∴1-（3-m）=0．

∴m=2．

∴抛物线C:y=x2+x．         ………………1分

∵抛物线C：y=x2+x=（x+）2-，

∴抛物线C的顶点为P(-，-)，   ………………2分

如图，点P(-，-)关于直线y=1的对称点为P(-，).

∴ 抛物线C1顶点P(-，).    ………………3分

（2）抛物线对称轴与为x=-，

∵正方形的边长为2，

∴正方形的顶点B（，n-1）      ………………4分

代入C的解析式得：

n-1=()2+

∴ n=       ………………5分

25. 解：（1）-2；  …………1分

      （2）m<-4或m>0；   …………3分

      （3）M（-2，0），A（2，0），B（-4，0）.

当a>0时，只有顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB恰有一个公共点.

把点M（-2，0）代入可得.

当a<0时，

把点A（2，0）代入可得.

结合图象，抛物线与线段AB恰有一个公共点时，.

综上：或.  …………5分（写对一部分给1分）

26.(1)结论：AC=EF+FC.............................................1分

     证明：过D作DH⊥CB于H， 

          ∵EF⊥CF于F

          ∴∠EFC=∠DHC=90°

           ∵∠FCE=∠DCH，EC=DC

           ∴△FEC≌△HDC（AAS）................23分

           ∴CH=FC，DH=EF

           ∵∠DHB=90°，∠B=45°

           ∴DH=HB=EF

           ∴AC=BC=CH+BH

                    =FC+EF................................3分

以下辅助线作法均可证，参考以上标准，对应给分

 (2)依题意补全图形...........................................................4分

结论：EF=FC+AC.............................................5分.

27. 解：

（1）点O，点A；    …………2分

（2）由题意可知，点M关于x轴的垂对点形成的图形为以点M为圆心，以线段MO的长为半径的⊙M（线段OM的延长线与⊙M的交点除外），此时，⊙M与x轴相切.

当直线与⊙M相切时，记切点为点E，直线与x轴，y轴的交点分别为点C和点D，连接ME，MC，可得：点C（3，0），D（0，4），CECO，MEMO，∠MEC∠MOC90°.

由于MOm，则MEm，DM4-m，

DE=5-32.

在Rt△DME中，，

解得：

因为⊙M与直线有公共点，所以....3分

（3）或.·····································5分（写对一个给1分）