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河南省信阳市淮滨县2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份河南省信阳市淮滨县2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省信阳市淮滨县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
3．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一个根为0，则m的值（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
5．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
6．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（ ）
A．1000（1+2x）＝1440
B．1000（1+x）2＝1440
C．1000×2×（1+x）＝1440
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440
7．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣5
8．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2，﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）
10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 ．
13．若一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+x2）﹣x1x2＝ ．
14．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）.
16．用适当的方法解下列方程．
（1）（2x+1）2＝﹣（2x+1）；
（2）2x2﹣4x﹣9＝0．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．
（1）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A'B'C'：
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；
（3）写出线段A'C'和线段A″C″的关系．
19．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
21．某批发商以每件50元的价格购进500件T恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，批发商的销售策略是：第一个月为增加销售，在单价70元的基础上降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格，每一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．
（1）若设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元，请分别求出y1、y2与x的函数关系式；
（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？
（3）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤有可能亏本吗？请说明理由．（参考数据：≈2.23）
22．小浩根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x2的图象和性质进行深入探究，过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
n
…
y
…
﹣54
﹣20
﹣10.125
﹣4
﹣0.875
0
﹣0.625
﹣2
﹣3.375
﹣4
0
…
表中n的值是 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中部分对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（3）类比抛物线y＝x2，试从图象的轴对称性、增减性、有无最值三个方面分别说明函数y＝x3﹣3x2具有的性质：（各写一条即可） ；
（4）进一步探究函数图象发现
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x3﹣3x2＝0有 个实数根；
②方程x3﹣3x2＝﹣4有 个实数根；
③对关于x的方程x3﹣3x2＝a，模仿②写出一个真命题 ．
23．将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．
（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM＝ ；
（2）将△BEF绕点B旋转．
①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式： ；（不用证明）
②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：y＝x2+2x+1＝（x2+4x+4）﹣2+1＝（x+2）2﹣1
故选：D．
3．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】计算出判别式的值即可作出判断．
解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一个根为0，则m的值（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一个根为0，
∴m2﹣3m+2＝0，且m﹣1≠0，
∴（m﹣1）（m﹣2）＝0，且m﹣1≠0，
解得，m＝2，
故选：D．
5．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
【分析】把点（0，0）代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值即可．
解：因为抛物线的开口方向向上，所以a＞0．
把点（0，0）代入y＝ax2﹣x+a2﹣4，得
a2﹣4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
故选：A．
6．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（ ）
A．1000（1+2x）＝1440
B．1000（1+x）2＝1440
C．1000×2×（1+x）＝1440
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440
【分析】设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可．
解：设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1000（1+x）2＝1440，
故答案为：1000（1+x）2＝1440．
故选：B．
7．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣5
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣5．
故选：D．
8．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据顶点式得到抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，然后二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断．
解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，
所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，
所以y2＜y3＜y1．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2，﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）
【分析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x轴正半轴上，②对角线交点落在x轴负半轴上；先求平移后的四边形A1B1C1D1对角线交点E1的坐标，求OE1的长，从而求出结论．
解：由题意得：A1（0，0），C1（6，8），
根据四个点的坐标可知：四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线交点E1是A1C1的中点，
∴E1（3，4），
由勾股定理得：A1E1＝＝5，
当对角线交点落在x轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），
当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE＝CF＝t，则CE＝8﹣t，再根据正方形的性质得OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE＝S△OCF，这样S四边形OECF＝S△OBC＝16，于是S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t＝t2﹣4t+16＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
12．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 6 ．
【分析】求抛物线与x轴的交点，令y＝0，方程的解，即为交点的横坐标，求抛物线与y轴的交点，令x＝0，则可得交点的纵坐标，进而可求三角形的面积．
解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴的交点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴与y轴的交点的坐标为C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
故答案为6．
13．若一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+x2）﹣x1x2＝ 11 ．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2＝6，x1x2＝﹣5，代入所求式子即可．
解：∵x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣5，
∴（x1+x2）﹣x1x2＝6﹣（﹣5）＝11，
故答案为：11．
14．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 12 ．
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′＝2×2＝4，
∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．
故答案为：12．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于 ．
【分析】如图，当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，利用旋转的性质得AP＝AD＝5，再利用勾股定理计算出BP＝4，则PC＝1，接着利用勾股定理计算出DP的长；当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，利用同样的方法可计算出DP′的长．
解：如图，
当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，则AP＝AD＝5，
在Rt△ABP中，BP＝＝4，
∴PC＝5﹣4＝1，
在Rt△PCD中，DP＝＝；
当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，则AP′＝AD＝5，
在Rt△ABP′中，BP′＝＝4，
∴P′C＝5+4＝9，
在Rt△P′CD中，DP′＝＝3；
综上所述，线段DP的长度为或3．
故答案为或3．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）.
16．用适当的方法解下列方程．
（1）（2x+1）2＝﹣（2x+1）；
（2）2x2﹣4x﹣9＝0．
【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（2x+1）2＝﹣（2x+1），
∴（2x+1）2+（2x+1）＝0，
∴（2x+1）（2x+2）＝0，
∴2x+1＝0或2x+2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1；
（2）∵2x2﹣4x﹣9＝0，
∴（x﹣3）（2x+3）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【分析】（1）由图象可知抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），设抛物线解析式的顶点式y＝a（x﹣2）2﹣2，再将点（3，0）代入求a即可．
（2）根据函数的图象可知函数的顶点坐标，根据图象即可求得y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
解：（1）设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），
∴y＝a（x﹣2）2﹣2，
把坐标（3，0）代入解析式得：a（3﹣1）2﹣2＝0，
解得：a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6．
即二次函数的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）由图象可知，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．
18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．
（1）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A'B'C'：
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；
（3）写出线段A'C'和线段A″C″的关系．
【分析】（1）利用网格特点，画出A、B、C三点关于点O的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出A、B、C三点的对应点即可；
（3）利用中心对称的性质得到A′C′＝AC，A′C′∥AC，根据旋转的性质得到A″C″＝AC，A″C″⊥AC，从而可判断线段A'C'和线段A″C″的关系．
解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，△A″B″C″为所作；
（3）线段A'C'和线段A″C″垂直且相等．
19．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，利用矩形的面积公式得到t（100﹣2t）＝450，解方程得t1＝5，t2＝45，然后计算100﹣2t后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，利用矩形面积得到S＝x（100﹣x），配方得到S＝﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2．
解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，
根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t1＝5，t2＝45，
当t＝5时，100﹣2t＝90＞20，不合题意舍去；
当t＝45时，100﹣2t＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm，矩形菜园ABCD面积为S，
S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m2．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|＝2”可以求得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，
∵|x1﹣x2|＝2∴（x1﹣x2）2＝（2）2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8∴m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝1．
当m＝﹣3时，原方程化为：x2﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣，
当m＝1时，原方程化为：x2+4x+2＝0，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
21．某批发商以每件50元的价格购进500件T恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，批发商的销售策略是：第一个月为增加销售，在单价70元的基础上降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格，每一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．
（1）若设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元，请分别求出y1、y2与x的函数关系式；
（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？
（3）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤有可能亏本吗？请说明理由．（参考数据：≈2.23）
【分析】（1）根据y1＝（70﹣x﹣50）（200+10x），y2＝（40﹣50）[500﹣（200+10x）]，展开计算即可．
（2）列出方程即可解决问题．
（3）设总利润为y，则y＝y1+y2＝﹣10x2+100x+1000，令y＝0，得到﹣10x2+100x+1000＝0，求出x的值，根据自变量取值范围，利用函数性质即可解决问题．
解：（1）y1＝（70﹣x﹣50）（200+10x）＝﹣10x2+4000，（0＜x＜20）．
y2＝（40﹣50）[500﹣（200+10x）]＝100x﹣3000，（0＜x＜20）．
（2）设第一个月批发商降价x元，销售完这批T恤获得的利润为1000元，
由题意（﹣10x2+4000）+（100x﹣3000）＝1000，
整理得x2﹣10x＝0，
解得x＝0或10，（x＝0不合题意舍弃）
∴x＝10，
∴第一个月批发商降价10元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．
（3）设总利润为y，则y＝y1+y2＝﹣10x2+100x+1000，
令y＝0，得到﹣10x2+100x+1000＝0，
即x2﹣10x﹣100＝0，
∴x＝5，
∵0＜x＜20，
∴x＝5+5≈16.15，
∵y＝﹣10x2+100x+1000＝﹣10（x﹣5）2+1250，
∴当5+5＜x＜20时，y随x增大而减小，
∴当x＝17或18或19时，y＜0，亏本．
因此按照批发商的销售策略，销售完这批T恤有可能亏本．
22．小浩根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x2的图象和性质进行深入探究，过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
n
…
y
…
﹣54
﹣20
﹣10.125
﹣4
﹣0.875
0
﹣0.625
﹣2
﹣3.375
﹣4
0
…
表中n的值是 3 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中部分对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（3）类比抛物线y＝x2，试从图象的轴对称性、增减性、有无最值三个方面分别说明函数y＝x3﹣3x2具有的性质：（各写一条即可） 当x＜0时，y随x的增大而增大 ；
（4）进一步探究函数图象发现
①函数图象与x轴有 2 个交点，所以对应的方程x3﹣3x2＝0有 2 个实数根；
②方程x3﹣3x2＝﹣4有 2 个实数根；
③对关于x的方程x3﹣3x2＝a，模仿②写出一个真命题 当﹣4＜a＜0时，关于x的方程
x3﹣3x2＝a有三个实数根 ．
【分析】（1）当y＝0时，x3﹣3x2＝0，x2（x﹣3）＝0，所以x＝0，x＝3
（2）描点连线画出图形
（3）观察图象即可
（4）观察图象即可
解：（1）3
（2）图象如图所示
（3）①该函数的图象不具有对称性；
②当x＜0时，y随x的增大而增大（合理即可）；
③该函数没有最大值和最小值．
（4）①2，2
②2
③答案不唯一，如当﹣4＜a＜0时，关于x的方程
x3﹣3x2＝a有三个实数根
23．将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．
（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM＝ 45° ；
（2）将△BEF绕点B旋转．
①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式： MN＝AM+CN ；（不用证明）
②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质得∠GBA＝∠CBN，于是得到∠ABM+∠GBA＝45°，即可得到结论；
（2）①根据旋转的性质得到∠GAB＝∠C＝90°，AG＝CN，BG＝BN，∠ABG＝∠CBN，得到D，A，G三点共线，根据全等三角形的性质得到GM＝MN，于是得到结论；
②在AM上截取AG，使得AG＝CN，连接BG；根据正方形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠BCN＝90°，根据全等三角形的性质得到BG＝BN，∠ABG＝∠NBC，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：（1）在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝45°，
∴∠ABM+∠CBN＝45°，
由旋转的性质得∠GBA＝∠CBN，
∴∠ABM+∠GBA＝45°，
即∠GBM＝45°，
故答案为：45°；
（2）①AM+NC＝MN；
理由：∵把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB＝∠C＝90°，AG＝CN，BG＝BN，∠ABG＝∠CBN，
∴∠GAB+∠DAB＝180°，
∴D，A，G三点共线，
∴∠ABM+∠GBA＝45°，
∴∠GBM＝∠MBN，
在△GBM与△NBM中，，
∴△GBM≌△NBM，
∴GM＝MN，
∵GM＝AG+AM＝CN+AM，
∴MN＝AM+CN；
故答案为：MN＝AM+CN；
②上面的式子不成立，结论是：AM﹣NC＝MN，
理由：在AM上截取AG，使得AG＝CN，连接BG；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠BCN＝90°，
在△BAG与△BCN中，，
∴△BAG≌△BCN，
∴BG＝BN，∠ABG＝∠NBC，
∴∠MBN＝∠MBC+∠CBN＝∠MBC+∠ABG＝45°＝∠GBM，
在△BGM与△BMN中，
，
∴△BGM≌△BNM，
∴GM＝NM，
∴AM﹣CN＝MN．
2021-2022学年河南省信阳市淮滨县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
3．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一个根为0，则m的值（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
5．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
6．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（ ）
A．1000（1+2x）＝1440
B．1000（1+x）2＝1440
C．1000×2×（1+x）＝1440
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440
7．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣5
8．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2，﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）
10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 ．
13．若一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+x2）﹣x1x2＝ ．
14．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）.
16．用适当的方法解下列方程．
（1）（2x+1）2＝﹣（2x+1）；
（2）2x2﹣4x﹣9＝0．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．
（1）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A'B'C'：
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；
（3）写出线段A'C'和线段A″C″的关系．
19．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
21．某批发商以每件50元的价格购进500件T恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，批发商的销售策略是：第一个月为增加销售，在单价70元的基础上降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格，每一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．
（1）若设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元，请分别求出y1、y2与x的函数关系式；
（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？
（3）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤有可能亏本吗？请说明理由．（参考数据：≈2.23）
22．小浩根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x2的图象和性质进行深入探究，过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
n
…
y
…
﹣54
﹣20
﹣10.125
﹣4
﹣0.875
0
﹣0.625
﹣2
﹣3.375
﹣4
0
…
表中n的值是 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中部分对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（3）类比抛物线y＝x2，试从图象的轴对称性、增减性、有无最值三个方面分别说明函数y＝x3﹣3x2具有的性质：（各写一条即可） ；
（4）进一步探究函数图象发现
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x3﹣3x2＝0有 个实数根；
②方程x3﹣3x2＝﹣4有 个实数根；
③对关于x的方程x3﹣3x2＝a，模仿②写出一个真命题 ．
23．将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．
（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM＝ ；
（2）将△BEF绕点B旋转．
①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式： ；（不用证明）
②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：y＝x2+2x+1＝（x2+4x+4）﹣2+1＝（x+2）2﹣1
故选：D．
3．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】计算出判别式的值即可作出判断．
解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一个根为0，则m的值（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一个根为0，
∴m2﹣3m+2＝0，且m﹣1≠0，
∴（m﹣1）（m﹣2）＝0，且m﹣1≠0，
解得，m＝2，
故选：D．
5．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
【分析】把点（0，0）代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值即可．
解：因为抛物线的开口方向向上，所以a＞0．
把点（0，0）代入y＝ax2﹣x+a2﹣4，得
a2﹣4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
故选：A．
6．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（ ）
A．1000（1+2x）＝1440
B．1000（1+x）2＝1440
C．1000×2×（1+x）＝1440
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440
【分析】设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可．
解：设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1000（1+x）2＝1440，
故答案为：1000（1+x）2＝1440．
故选：B．
7．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣5
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣5．
故选：D．
8．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据顶点式得到抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，然后二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断．
解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，
所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，
所以y2＜y3＜y1．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2，﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）
【分析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x轴正半轴上，②对角线交点落在x轴负半轴上；先求平移后的四边形A1B1C1D1对角线交点E1的坐标，求OE1的长，从而求出结论．
解：由题意得：A1（0，0），C1（6，8），
根据四个点的坐标可知：四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线交点E1是A1C1的中点，
∴E1（3，4），
由勾股定理得：A1E1＝＝5，
当对角线交点落在x轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），
当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE＝CF＝t，则CE＝8﹣t，再根据正方形的性质得OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE＝S△OCF，这样S四边形OECF＝S△OBC＝16，于是S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t＝t2﹣4t+16＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
12．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 6 ．
【分析】求抛物线与x轴的交点，令y＝0，方程的解，即为交点的横坐标，求抛物线与y轴的交点，令x＝0，则可得交点的纵坐标，进而可求三角形的面积．
解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴的交点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴与y轴的交点的坐标为C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
故答案为6．
13．若一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+x2）﹣x1x2＝ 11 ．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2＝6，x1x2＝﹣5，代入所求式子即可．
解：∵x2﹣6x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣5，
∴（x1+x2）﹣x1x2＝6﹣（﹣5）＝11，
故答案为：11．
14．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 12 ．
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′＝2×2＝4，
∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．
故答案为：12．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于 ．
【分析】如图，当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，利用旋转的性质得AP＝AD＝5，再利用勾股定理计算出BP＝4，则PC＝1，接着利用勾股定理计算出DP的长；当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，利用同样的方法可计算出DP′的长．
解：如图，
当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，则AP＝AD＝5，
在Rt△ABP中，BP＝＝4，
∴PC＝5﹣4＝1，
在Rt△PCD中，DP＝＝；
当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，则AP′＝AD＝5，
在Rt△ABP′中，BP′＝＝4，
∴P′C＝5+4＝9，
在Rt△P′CD中，DP′＝＝3；
综上所述，线段DP的长度为或3．
故答案为或3．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）.
16．用适当的方法解下列方程．
（1）（2x+1）2＝﹣（2x+1）；
（2）2x2﹣4x﹣9＝0．
【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（2x+1）2＝﹣（2x+1），
∴（2x+1）2+（2x+1）＝0，
∴（2x+1）（2x+2）＝0，
∴2x+1＝0或2x+2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1；
（2）∵2x2﹣4x﹣9＝0，
∴（x﹣3）（2x+3）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【分析】（1）由图象可知抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），设抛物线解析式的顶点式y＝a（x﹣2）2﹣2，再将点（3，0）代入求a即可．
（2）根据函数的图象可知函数的顶点坐标，根据图象即可求得y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
解：（1）设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），
∴y＝a（x﹣2）2﹣2，
把坐标（3，0）代入解析式得：a（3﹣1）2﹣2＝0，
解得：a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6．
即二次函数的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）由图象可知，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．
18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．
（1）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A'B'C'：
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；
（3）写出线段A'C'和线段A″C″的关系．
【分析】（1）利用网格特点，画出A、B、C三点关于点O的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出A、B、C三点的对应点即可；
（3）利用中心对称的性质得到A′C′＝AC，A′C′∥AC，根据旋转的性质得到A″C″＝AC，A″C″⊥AC，从而可判断线段A'C'和线段A″C″的关系．
解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，△A″B″C″为所作；
（3）线段A'C'和线段A″C″垂直且相等．
19．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，利用矩形的面积公式得到t（100﹣2t）＝450，解方程得t1＝5，t2＝45，然后计算100﹣2t后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，利用矩形面积得到S＝x（100﹣x），配方得到S＝﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2．
解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，
根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t1＝5，t2＝45，
当t＝5时，100﹣2t＝90＞20，不合题意舍去；
当t＝45时，100﹣2t＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm，矩形菜园ABCD面积为S，
S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m2．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|＝2”可以求得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，
∵|x1﹣x2|＝2∴（x1﹣x2）2＝（2）2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8∴m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝1．
当m＝﹣3时，原方程化为：x2﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣，
当m＝1时，原方程化为：x2+4x+2＝0，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
21．某批发商以每件50元的价格购进500件T恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，批发商的销售策略是：第一个月为增加销售，在单价70元的基础上降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格，每一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．
（1）若设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元，请分别求出y1、y2与x的函数关系式；
（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？
（3）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤有可能亏本吗？请说明理由．（参考数据：≈2.23）
【分析】（1）根据y1＝（70﹣x﹣50）（200+10x），y2＝（40﹣50）[500﹣（200+10x）]，展开计算即可．
（2）列出方程即可解决问题．
（3）设总利润为y，则y＝y1+y2＝﹣10x2+100x+1000，令y＝0，得到﹣10x2+100x+1000＝0，求出x的值，根据自变量取值范围，利用函数性质即可解决问题．
解：（1）y1＝（70﹣x﹣50）（200+10x）＝﹣10x2+4000，（0＜x＜20）．
y2＝（40﹣50）[500﹣（200+10x）]＝100x﹣3000，（0＜x＜20）．
（2）设第一个月批发商降价x元，销售完这批T恤获得的利润为1000元，
由题意（﹣10x2+4000）+（100x﹣3000）＝1000，
整理得x2﹣10x＝0，
解得x＝0或10，（x＝0不合题意舍弃）
∴x＝10，
∴第一个月批发商降价10元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．
（3）设总利润为y，则y＝y1+y2＝﹣10x2+100x+1000，
令y＝0，得到﹣10x2+100x+1000＝0，
即x2﹣10x﹣100＝0，
∴x＝5，
∵0＜x＜20，
∴x＝5+5≈16.15，
∵y＝﹣10x2+100x+1000＝﹣10（x﹣5）2+1250，
∴当5+5＜x＜20时，y随x增大而减小，
∴当x＝17或18或19时，y＜0，亏本．
因此按照批发商的销售策略，销售完这批T恤有可能亏本．
22．小浩根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x2的图象和性质进行深入探究，过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
n
…
y
…
﹣54
﹣20
﹣10.125
﹣4
﹣0.875
0
﹣0.625
﹣2
﹣3.375
﹣4
0
…
表中n的值是 3 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中部分对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（3）类比抛物线y＝x2，试从图象的轴对称性、增减性、有无最值三个方面分别说明函数y＝x3﹣3x2具有的性质：（各写一条即可） 当x＜0时，y随x的增大而增大 ；
（4）进一步探究函数图象发现
①函数图象与x轴有 2 个交点，所以对应的方程x3﹣3x2＝0有 2 个实数根；
②方程x3﹣3x2＝﹣4有 2 个实数根；
③对关于x的方程x3﹣3x2＝a，模仿②写出一个真命题 当﹣4＜a＜0时，关于x的方程
x3﹣3x2＝a有三个实数根 ．
【分析】（1）当y＝0时，x3﹣3x2＝0，x2（x﹣3）＝0，所以x＝0，x＝3
（2）描点连线画出图形
（3）观察图象即可
（4）观察图象即可
解：（1）3
（2）图象如图所示
（3）①该函数的图象不具有对称性；
②当x＜0时，y随x的增大而增大（合理即可）；
③该函数没有最大值和最小值．
（4）①2，2
②2
③答案不唯一，如当﹣4＜a＜0时，关于x的方程
x3﹣3x2＝a有三个实数根
23．将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．
（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM＝ 45° ；
（2）将△BEF绕点B旋转．
①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式： MN＝AM+CN ；（不用证明）
②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质得∠GBA＝∠CBN，于是得到∠ABM+∠GBA＝45°，即可得到结论；
（2）①根据旋转的性质得到∠GAB＝∠C＝90°，AG＝CN，BG＝BN，∠ABG＝∠CBN，得到D，A，G三点共线，根据全等三角形的性质得到GM＝MN，于是得到结论；
②在AM上截取AG，使得AG＝CN，连接BG；根据正方形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠BCN＝90°，根据全等三角形的性质得到BG＝BN，∠ABG＝∠NBC，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：（1）在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝45°，
∴∠ABM+∠CBN＝45°，
由旋转的性质得∠GBA＝∠CBN，
∴∠ABM+∠GBA＝45°，
即∠GBM＝45°，
故答案为：45°；
（2）①AM+NC＝MN；
理由：∵把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB＝∠C＝90°，AG＝CN，BG＝BN，∠ABG＝∠CBN，
∴∠GAB+∠DAB＝180°，
∴D，A，G三点共线，
∴∠ABM+∠GBA＝45°，
∴∠GBM＝∠MBN，
在△GBM与△NBM中，，
∴△GBM≌△NBM，
∴GM＝MN，
∵GM＝AG+AM＝CN+AM，
∴MN＝AM+CN；
故答案为：MN＝AM+CN；
②上面的式子不成立，结论是：AM﹣NC＝MN，
理由：在AM上截取AG，使得AG＝CN，连接BG；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠BCN＝90°，
在△BAG与△BCN中，，
∴△BAG≌△BCN，
∴BG＝BN，∠ABG＝∠NBC，
∴∠MBN＝∠MBC+∠CBN＝∠MBC+∠ABG＝45°＝∠GBM，
在△BGM与△BMN中，
，
∴△BGM≌△BNM，
∴GM＝NM，
∴AM﹣CN＝MN．
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