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江苏省苏州市昆山市、张家港等四市2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份江苏省苏州市昆山市、张家港等四市2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省苏州市昆山市、张家港等四市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卷相应的位置上.
1．一组数据：1，3，3，4，5，它们的极差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
3．在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时 B．7.5小时 C．8小时 D．9小时
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝6时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
5．2020年6月1日《苏州市生活垃圾分类管理条例》正式实施．为了配合实施垃圾分类，让同学们了解垃圾分类的相关知识．八年级某班甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了年级“垃圾分类知识”预赛，四个小组的平均分相同，下面表格为四个小组的方差．若要从中选出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选（ ）
甲
乙
丙
丁
方差
3.6
3.5
4
3.2
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
6．为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300+4（200﹣x）]＝30000
B．（x﹣200）[300+2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000
D．（x﹣200）[300+4（100﹣x）]＝30000
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k＞1 C．k＜1 D．k＞
8．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4
9．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在答题卷相应的位置上
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ．
13．若方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝5是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
14．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是 ．（填“A”或“B”）
15．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
3
6
…
则m的值是 ．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），则原二次函数的关系式为 ．
17．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形，则矩形A与矩形B面积和的最小值是 ．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③若方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2＜4＜x2．其中一定正确的是 ．（填序号）
三、解答题：本大题共10小题，共76分。解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卷相应的位置上.
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
20．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．
（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；
（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．
22．一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字﹣1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 ；
（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）
23．2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为：
难度系数
裁判
1#
2#
3#
4#
5#
6#
7#
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0
（1）7名裁判打分的众数是 ；中位数是 ．
（2）该运动员本次试跳的得分是多少？
24．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
25．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
26．对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3．
（1）计算：2※（﹣1）＝ ；（﹣1）※2＝ ；
（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值；
（3）若x※2与3※x的值相等，求x的值．
27．某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
28．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卷相应的位置上.
1．一组数据：1，3，3，4，5，它们的极差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据极差的定义即可求得．
解：极差是：5﹣1＝4．
故选：C．
2．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【分析】根据已知得出方程x+2＝0，x﹣3＝0，求出方程的解即可．
解：（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0，x﹣3＝0，
x1＝﹣2，x2＝3，
故选：B．
3．在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时 B．7.5小时 C．8小时 D．9小时
【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．
解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7＝8（小时）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．
故选：C．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝6时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
【分析】先在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，再进行配方即可得出答案．
解：x2﹣4x＝6，x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝10；
故选：D．
5．2020年6月1日《苏州市生活垃圾分类管理条例》正式实施．为了配合实施垃圾分类，让同学们了解垃圾分类的相关知识．八年级某班甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了年级“垃圾分类知识”预赛，四个小组的平均分相同，下面表格为四个小组的方差．若要从中选出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选（ ）
甲
乙
丙
丁
方差
3.6
3.5
4
3.2
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【分析】在平均分相同的情况下，方差越小，波动越小，成绩越稳定．
解：由图表可得：S丁2＜S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选丁组．
故选：D．
6．为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300+4（200﹣x）]＝30000
B．（x﹣200）[300+2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000
D．（x﹣200）[300+4（100﹣x）]＝30000
【分析】设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则每天可售出（300+4×）＝[300+2（200﹣x）]个，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则每天可售出（300+4×）＝[300+2（200﹣x）]个，
依题意得：（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k＞1 C．k＜1 D．k＞
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（2﹣3k）＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意，得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（2﹣3k）＞0，
解得k＞．
故选：A．
8．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4
【分析】先计算出当x＝1和x＝4对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题；
解：∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时有最大值是4；
当x＝1时，y＝0，
当x＝4时，y＝3，
∴当1＜x＜4时，函数值y的取值范围为0＜y≤4；
故选：B．
9．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再把y＝150带入函数解析式则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．
解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：
∴A（﹣40，0），B（40，0），E（0，200），
设外侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），将（0，200）代入，得：
200＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+200，
将y＝150代入得：﹣x2+200＝150，
解得：x＝±20，
∴C（﹣20，150），D（20，150），
∴CD＝40m，
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分段函数，当0＜x≤1.8时，y是x的二次函数，开口方向向上；当1.8＜x＜5时，y是x的二次函数，开口方向向下，据此判断即可．
解：由题意得，AB＝＝5，
当点C与点F重合时，EF＝，此时AE＝2.4×＝1.8，
当0＜x≤1.8时，y＝，此抛物线开口方向向上；
当1.8＜x＜5时，y＝＝，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项D．
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在答题卷相应的位置上
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为 （1，2） ．
【分析】由二次函数的解析式可求得答案．
解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ﹣2 ．
【分析】将x＝﹣1代入题目中的方程，即可求得k的值，本题得以解决．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0有一个根为﹣1，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+k﹣2＝0，
解得，k＝﹣2，
故答案是：﹣2．
13．若方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝5是关于x的一元二次方程，则m的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得|m|+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1，
故答案为：1．
14．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是 ．（填“A”或“B”）
【分析】本题需先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案．
解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为，
在B区域点击的话，点击到地雷的概率为＝，
∵＝＞，
∴为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是B，
故答案为：B．
15．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
3
6
…
则m的值是 6 ．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝1，
∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，m＝6．
故答案为：6．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），则原二次函数的关系式为 y＝x2﹣6x+10 ．
【分析】逆向思考：把平移后的抛物线顶点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式．
解：把点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），
即二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，1），
所以原抛物线相应的函数表达式为y＝（x﹣3）2+1，即y＝x2﹣6x+10．
故答案为：y＝x2﹣6x+10．
17．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形，则矩形A与矩形B面积和的最小值是 ．
【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出阴影A，阴影B的面积，即可表示出面积和，然后根据二次函数的性质即可求得．
解：（1）设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
∴SA＝（6﹣2x）（9﹣3x）＝54﹣36x+6x2，
SB＝3x[6﹣（9﹣3x）]＝9x2﹣9x，
∴SA+SB＝（54﹣36x+6x2）+（ 9x2﹣9x）＝15x2﹣45x+54＝15（x﹣）2+，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为；
故答案为：．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③若方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2＜4＜x2．其中一定正确的是 ②③ ．（填序号）
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，
故③正确；
故答案为：②③．
三、解答题：本大题共10小题，共76分。解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卷相应的位置上.
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝，x2＝3．
20．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
【分析】（1）将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求k即可．
（2）根据顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0，求出即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2+6x+k﹣1的图象经过原点，
∴k﹣1＝0，
解得k＝1；
（2）根据题意得：
＝＝0，
解得k＝10．
21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．
（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；
（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．
【分析】（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0得到2x2﹣3x+1＝0，再根据因式分解法解方程即可求解；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝，再根据勾股定理得到x12+x22＝（）2，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，则（）2﹣2×＝5，然后解方程后利用方程的两根为正数确定a的值．
解：（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0得2x2﹣3x+1＝0，
则（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1；
（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0两根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，
∴x12+x22＝（）2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴（）2﹣2×＝5，
解得a1＝1﹣2（负值舍去），a2＝1+2．
故a的值为1+2．
22．一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字﹣1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 ；
（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再求出甲和乙获胜的概率，比较即可．
解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为，
故答案为：；
（2）小强设计的游戏规则不公平，理由如下：
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，
∴甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，
∵＞，
∴小强设计的游戏规则不公平．
23．2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为：
难度系数
裁判
1#
2#
3#
4#
5#
6#
7#
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0
（1）7名裁判打分的众数是 7.5 ；中位数是 8.0 ．
（2）该运动员本次试跳的得分是多少？
【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的数；
（2）根据运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3列出算式计算即可求解．
解：（1）7.5出现次数最多，7名裁判打分的众数是7.5；
把这组数据按照从小到大的顺序排列得：7.7、7.5、7.5、8.0、8.5、8.5、9.0，根据中位数的定义知，中位数是8.0．
故答案为：7.5；8.0；
（2）3.5××（7.5+8.0+8.5）×3＝84（分）．
故该运动员本次试跳的得分是84分．
24．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 15 个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；
（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），即可求解．
解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5＝15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n＝n（n+1），
根据题意，得n（n+1）＝50，
解得n＝，不是整数，不合题意．
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．
25．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B的坐标是 （4，0） ，点C的坐标是 （0，2） ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
【分析】（1）分别将y＝0，x＝0代入二次函数解析式求解．
（2）作PD⊥y轴于点D，由S四边形OBPC＝S梯形PDOB﹣S△PDC求解．
解：（1）把y＝0代入y＝﹣x2+x+2得0＝﹣x2+x+2，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
把x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，
∴点C坐标为（0，2），
故答案为：（4，0）；（0，2）．
（2）作PD⊥y轴于点D，
把x＝2代入y＝﹣x2+x+2得y＝﹣×4+×2+2＝3，
∴点P坐标为（2，3），D（0，3），
∴S四边形OBPC＝S梯形PDOB﹣S△PDC＝（PD+OB）•OD﹣DC•PD＝×（2+4）×3﹣×1×2＝8．
26．对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3．
（1）计算：2※（﹣1）＝ ﹣3 ；（﹣1）※2＝ 6 ；
（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值；
（3）若x※2与3※x的值相等，求x的值．
【分析】（1）利用新定义进行计算；
（2）先解方程得到x1＝﹣1，x2＝6，然后利用新定义计算；
（3）讨论：当x＜2时得到22﹣2x＝3x﹣x2，当2≤x＜3时得到2x﹣22＝3x﹣x2，当x≥3时得到2x﹣22＝x2﹣3x，然后分别解方程确定满足条件x的值．
解：（1）2※（﹣1）＝2×（﹣1）﹣（﹣1）2＝﹣2﹣1＝﹣3；
（﹣1）※2＝22﹣（﹣1）×2＝4+2＝6；
故答案为﹣3，6；
（2）解方程x2﹣5x﹣6＝0得x1＝﹣1，x2＝6，
所以x1※x2＝（﹣1）※6＝62﹣（﹣1）×6＝42；
（3）当x＜2时，22﹣2x＝3x﹣x2，
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4（舍去），
当2≤x＜3时，2x﹣22＝3x﹣x2，
整理得x2﹣x﹣4＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），
当x≥3时，2x﹣22＝x2﹣3x
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝4，
综上所述，x的值为1或或4．
27．某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【分析】（1）先根据PA的长为x米，PB＝2PA，PB+PC＝6米，求出PB＝2x米，PC＝（6﹣2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用＝油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．
解：（1）∵PA＝x米，PB＝2PA，PB+PC＝6米，
∴PB＝2x米，PC＝（6﹣2x）米，
由题意，得：y＝PA•PB+PA•PC+PB•PC
＝x•2x+x（6﹣2x）+×2x（6﹣2x）
＝x2+3x﹣x2+6x﹣2x2
＝﹣2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x2+9x；
（2）由（1）知，y＝﹣2x2+9x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，y有最大值，最大值，
当y取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）＝405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不否会超出预算．
28．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ﹣1 ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
【分析】（1）根据直线y＝x+2与x轴交于点A，先求出点A的坐标，再根据OB＝2OA求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入y＝ax2+bx﹣4得到方程组，解方程组求出a、b的值即可；
（2）过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+2于点F，设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示段PF的长，再证明△HPF是等腰直角三角形，则PH＝PF，到得PH关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质求出PH的最大值以及此时点P的坐标；
（3）先证明∠BAP＝∠BAE＝45°，再求出AP、AE的长；A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似分两种情况，一是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，二是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例求出AQ的长，再转化为点Q的坐标．
解：（1）直线y＝x+2，当y＝0时，则x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），OA＝2，
∴OB＝2OA＝4，
∴B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，
得，
解得，
故答案为：，﹣1．
（2）如图1，过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+2于点F，
由（1）得抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4，
设P（x，x2﹣x﹣4）（﹣2＜x＜4），则F（x，x+2），
∴PF＝（x+2）﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x+6，
设直线y＝x+2交y轴于点D，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵PH⊥AE，
∴∠PHF＝90°，
∵PF∥OD，
∴∠HFP＝∠ODA＝45°，
∴∠HFP＝∠HPF＝45°，
∴PH＝FH，
∴PF2＝PH2+FH2＝2PH2，
∴PH＝PF＝（﹣x2+2x+6）＝（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，PH的最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣4）．
（3）如图2，作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°，G（2，0）
∴AG＝PG＝4，
∴∠BAP＝∠BAE＝45°，
由得，，
∴E（6，8），
∴AE＝＝，AP＝＝，
当∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，
∴，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴AQ＝＝＝3，
∴xQ＝﹣2+3＝1，
∴Q（1，0）；
如图3，当∠APQ＝∠ABE时，△APQ∽△ABE，
∴，
∴AQ＝＝＝，
∴xQ＝﹣2+＝，
∴Q（，0），
综上所述，点Q的坐标为（1，0）或（，0）．
2021-2022学年江苏省苏州市昆山市、张家港等四市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卷相应的位置上.
1．一组数据：1，3，3，4，5，它们的极差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
3．在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时 B．7.5小时 C．8小时 D．9小时
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝6时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
5．2020年6月1日《苏州市生活垃圾分类管理条例》正式实施．为了配合实施垃圾分类，让同学们了解垃圾分类的相关知识．八年级某班甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了年级“垃圾分类知识”预赛，四个小组的平均分相同，下面表格为四个小组的方差．若要从中选出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选（ ）
甲
乙
丙
丁
方差
3.6
3.5
4
3.2
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
6．为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300+4（200﹣x）]＝30000
B．（x﹣200）[300+2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000
D．（x﹣200）[300+4（100﹣x）]＝30000
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k＞1 C．k＜1 D．k＞
8．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4
9．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在答题卷相应的位置上
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ．
13．若方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝5是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
14．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是 ．（填“A”或“B”）
15．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
3
6
…
则m的值是 ．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），则原二次函数的关系式为 ．
17．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形，则矩形A与矩形B面积和的最小值是 ．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③若方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2＜4＜x2．其中一定正确的是 ．（填序号）
三、解答题：本大题共10小题，共76分。解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卷相应的位置上.
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
20．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．
（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；
（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．
22．一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字﹣1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 ；
（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）
23．2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为：
难度系数
裁判
1#
2#
3#
4#
5#
6#
7#
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0
（1）7名裁判打分的众数是 ；中位数是 ．
（2）该运动员本次试跳的得分是多少？
24．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
25．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
26．对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3．
（1）计算：2※（﹣1）＝ ；（﹣1）※2＝ ；
（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值；
（3）若x※2与3※x的值相等，求x的值．
27．某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
28．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卷相应的位置上.
1．一组数据：1，3，3，4，5，它们的极差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据极差的定义即可求得．
解：极差是：5﹣1＝4．
故选：C．
2．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【分析】根据已知得出方程x+2＝0，x﹣3＝0，求出方程的解即可．
解：（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0，x﹣3＝0，
x1＝﹣2，x2＝3，
故选：B．
3．在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时 B．7.5小时 C．8小时 D．9小时
【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．
解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7＝8（小时）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．
故选：C．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝6时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
【分析】先在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，再进行配方即可得出答案．
解：x2﹣4x＝6，x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝10；
故选：D．
5．2020年6月1日《苏州市生活垃圾分类管理条例》正式实施．为了配合实施垃圾分类，让同学们了解垃圾分类的相关知识．八年级某班甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了年级“垃圾分类知识”预赛，四个小组的平均分相同，下面表格为四个小组的方差．若要从中选出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选（ ）
甲
乙
丙
丁
方差
3.6
3.5
4
3.2
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【分析】在平均分相同的情况下，方差越小，波动越小，成绩越稳定．
解：由图表可得：S丁2＜S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选丁组．
故选：D．
6．为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300+4（200﹣x）]＝30000
B．（x﹣200）[300+2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000
D．（x﹣200）[300+4（100﹣x）]＝30000
【分析】设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则每天可售出（300+4×）＝[300+2（200﹣x）]个，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则每天可售出（300+4×）＝[300+2（200﹣x）]个，
依题意得：（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k＞1 C．k＜1 D．k＞
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（2﹣3k）＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意，得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（2﹣3k）＞0，
解得k＞．
故选：A．
8．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4
【分析】先计算出当x＝1和x＝4对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题；
解：∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时有最大值是4；
当x＝1时，y＝0，
当x＝4时，y＝3，
∴当1＜x＜4时，函数值y的取值范围为0＜y≤4；
故选：B．
9．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再把y＝150带入函数解析式则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．
解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：
∴A（﹣40，0），B（40，0），E（0，200），
设外侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），将（0，200）代入，得：
200＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+200，
将y＝150代入得：﹣x2+200＝150，
解得：x＝±20，
∴C（﹣20，150），D（20，150），
∴CD＝40m，
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分段函数，当0＜x≤1.8时，y是x的二次函数，开口方向向上；当1.8＜x＜5时，y是x的二次函数，开口方向向下，据此判断即可．
解：由题意得，AB＝＝5，
当点C与点F重合时，EF＝，此时AE＝2.4×＝1.8，
当0＜x≤1.8时，y＝，此抛物线开口方向向上；
当1.8＜x＜5时，y＝＝，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项D．
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在答题卷相应的位置上
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为 （1，2） ．
【分析】由二次函数的解析式可求得答案．
解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ﹣2 ．
【分析】将x＝﹣1代入题目中的方程，即可求得k的值，本题得以解决．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0有一个根为﹣1，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+k﹣2＝0，
解得，k＝﹣2，
故答案是：﹣2．
13．若方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝5是关于x的一元二次方程，则m的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得|m|+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1，
故答案为：1．
14．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是 ．（填“A”或“B”）
【分析】本题需先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案．
解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为，
在B区域点击的话，点击到地雷的概率为＝，
∵＝＞，
∴为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是B，
故答案为：B．
15．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
3
6
…
则m的值是 6 ．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝1，
∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，m＝6．
故答案为：6．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），则原二次函数的关系式为 y＝x2﹣6x+10 ．
【分析】逆向思考：把平移后的抛物线顶点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式．
解：把点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），
即二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，1），
所以原抛物线相应的函数表达式为y＝（x﹣3）2+1，即y＝x2﹣6x+10．
故答案为：y＝x2﹣6x+10．
17．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形，则矩形A与矩形B面积和的最小值是 ．
【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出阴影A，阴影B的面积，即可表示出面积和，然后根据二次函数的性质即可求得．
解：（1）设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
∴SA＝（6﹣2x）（9﹣3x）＝54﹣36x+6x2，
SB＝3x[6﹣（9﹣3x）]＝9x2﹣9x，
∴SA+SB＝（54﹣36x+6x2）+（ 9x2﹣9x）＝15x2﹣45x+54＝15（x﹣）2+，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为；
故答案为：．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③若方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2＜4＜x2．其中一定正确的是 ②③ ．（填序号）
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，
故③正确；
故答案为：②③．
三、解答题：本大题共10小题，共76分。解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卷相应的位置上.
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝，x2＝3．
20．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
【分析】（1）将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求k即可．
（2）根据顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0，求出即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2+6x+k﹣1的图象经过原点，
∴k﹣1＝0，
解得k＝1；
（2）根据题意得：
＝＝0，
解得k＝10．
21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．
（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；
（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．
【分析】（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0得到2x2﹣3x+1＝0，再根据因式分解法解方程即可求解；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝，再根据勾股定理得到x12+x22＝（）2，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，则（）2﹣2×＝5，然后解方程后利用方程的两根为正数确定a的值．
解：（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0得2x2﹣3x+1＝0，
则（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1；
（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0两根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，
∴x12+x22＝（）2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴（）2﹣2×＝5，
解得a1＝1﹣2（负值舍去），a2＝1+2．
故a的值为1+2．
22．一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字﹣1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 ；
（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再求出甲和乙获胜的概率，比较即可．
解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为，
故答案为：；
（2）小强设计的游戏规则不公平，理由如下：
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，
∴甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，
∵＞，
∴小强设计的游戏规则不公平．
23．2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为：
难度系数
裁判
1#
2#
3#
4#
5#
6#
7#
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0
（1）7名裁判打分的众数是 7.5 ；中位数是 8.0 ．
（2）该运动员本次试跳的得分是多少？
【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的数；
（2）根据运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3列出算式计算即可求解．
解：（1）7.5出现次数最多，7名裁判打分的众数是7.5；
把这组数据按照从小到大的顺序排列得：7.7、7.5、7.5、8.0、8.5、8.5、9.0，根据中位数的定义知，中位数是8.0．
故答案为：7.5；8.0；
（2）3.5××（7.5+8.0+8.5）×3＝84（分）．
故该运动员本次试跳的得分是84分．
24．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 15 个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；
（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），即可求解．
解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5＝15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n＝n（n+1），
根据题意，得n（n+1）＝50，
解得n＝，不是整数，不合题意．
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．
25．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B的坐标是 （4，0） ，点C的坐标是 （0，2） ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
【分析】（1）分别将y＝0，x＝0代入二次函数解析式求解．
（2）作PD⊥y轴于点D，由S四边形OBPC＝S梯形PDOB﹣S△PDC求解．
解：（1）把y＝0代入y＝﹣x2+x+2得0＝﹣x2+x+2，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
把x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，
∴点C坐标为（0，2），
故答案为：（4，0）；（0，2）．
（2）作PD⊥y轴于点D，
把x＝2代入y＝﹣x2+x+2得y＝﹣×4+×2+2＝3，
∴点P坐标为（2，3），D（0，3），
∴S四边形OBPC＝S梯形PDOB﹣S△PDC＝（PD+OB）•OD﹣DC•PD＝×（2+4）×3﹣×1×2＝8．
26．对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3．
（1）计算：2※（﹣1）＝ ﹣3 ；（﹣1）※2＝ 6 ；
（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值；
（3）若x※2与3※x的值相等，求x的值．
【分析】（1）利用新定义进行计算；
（2）先解方程得到x1＝﹣1，x2＝6，然后利用新定义计算；
（3）讨论：当x＜2时得到22﹣2x＝3x﹣x2，当2≤x＜3时得到2x﹣22＝3x﹣x2，当x≥3时得到2x﹣22＝x2﹣3x，然后分别解方程确定满足条件x的值．
解：（1）2※（﹣1）＝2×（﹣1）﹣（﹣1）2＝﹣2﹣1＝﹣3；
（﹣1）※2＝22﹣（﹣1）×2＝4+2＝6；
故答案为﹣3，6；
（2）解方程x2﹣5x﹣6＝0得x1＝﹣1，x2＝6，
所以x1※x2＝（﹣1）※6＝62﹣（﹣1）×6＝42；
（3）当x＜2时，22﹣2x＝3x﹣x2，
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4（舍去），
当2≤x＜3时，2x﹣22＝3x﹣x2，
整理得x2﹣x﹣4＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），
当x≥3时，2x﹣22＝x2﹣3x
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝4，
综上所述，x的值为1或或4．
27．某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【分析】（1）先根据PA的长为x米，PB＝2PA，PB+PC＝6米，求出PB＝2x米，PC＝（6﹣2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用＝油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．
解：（1）∵PA＝x米，PB＝2PA，PB+PC＝6米，
∴PB＝2x米，PC＝（6﹣2x）米，
由题意，得：y＝PA•PB+PA•PC+PB•PC
＝x•2x+x（6﹣2x）+×2x（6﹣2x）
＝x2+3x﹣x2+6x﹣2x2
＝﹣2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x2+9x；
（2）由（1）知，y＝﹣2x2+9x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，y有最大值，最大值，
当y取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）＝405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不否会超出预算．
28．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ﹣1 ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
【分析】（1）根据直线y＝x+2与x轴交于点A，先求出点A的坐标，再根据OB＝2OA求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入y＝ax2+bx﹣4得到方程组，解方程组求出a、b的值即可；
（2）过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+2于点F，设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示段PF的长，再证明△HPF是等腰直角三角形，则PH＝PF，到得PH关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质求出PH的最大值以及此时点P的坐标；
（3）先证明∠BAP＝∠BAE＝45°，再求出AP、AE的长；A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似分两种情况，一是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，二是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例求出AQ的长，再转化为点Q的坐标．
解：（1）直线y＝x+2，当y＝0时，则x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），OA＝2，
∴OB＝2OA＝4，
∴B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，
得，
解得，
故答案为：，﹣1．
（2）如图1，过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+2于点F，
由（1）得抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4，
设P（x，x2﹣x﹣4）（﹣2＜x＜4），则F（x，x+2），
∴PF＝（x+2）﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x+6，
设直线y＝x+2交y轴于点D，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵PH⊥AE，
∴∠PHF＝90°，
∵PF∥OD，
∴∠HFP＝∠ODA＝45°，
∴∠HFP＝∠HPF＝45°，
∴PH＝FH，
∴PF2＝PH2+FH2＝2PH2，
∴PH＝PF＝（﹣x2+2x+6）＝（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，PH的最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣4）．
（3）如图2，作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°，G（2，0）
∴AG＝PG＝4，
∴∠BAP＝∠BAE＝45°，
由得，，
∴E（6，8），
∴AE＝＝，AP＝＝，
当∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，
∴，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴AQ＝＝＝3，
∴xQ＝﹣2+3＝1，
∴Q（1，0）；
如图3，当∠APQ＝∠ABE时，△APQ∽△ABE，
∴，
∴AQ＝＝＝，
∴xQ＝﹣2+＝，
∴Q（，0），
综上所述，点Q的坐标为（1，0）或（，0）．
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