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重庆市渝中区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份重庆市渝中区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．﹣3的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．计算（x2）3的结果（ ）
A．x6 B．x5 C．﹣x6 D．﹣x5
3．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥2
4．计算﹣的结果是（ ）
A．﹣ B．3 C．2 D．﹣2
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1）
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．31.5° C．37° D．63°
7．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
9．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5
B．10min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15m时，上升时间为50min
D．上升60min时，乙气球距离地面高度为40m
10．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
11．若关于x的分式方程+1＝有整数解，且关于y的不等式组恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0 B．24 C．﹣72 D．12
12．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作▱ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0＝ ．
14．中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布，规划纲要提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里．数据185000用科学记数法表示为 ．
15．在桌面上放有四张完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
16．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线“，其中，，，，…依次连接，它们的圆心依次按A、B、C、D循环．当AB＝1时，曲线DEFGH的长度是 ．
17．如图，▱ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，则点A到直线DF的距离为 ．
18．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
19．计算：
（1）（a+b）2﹣a（a+2b）；
（2）（﹣2）．
20．近日，教育部印发通知，决定实施青少年急救教育行动计划，开展全国学校急救教育试点工作．某校为普及急救知识，进行了相关知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息．
七年级20名学生的竞赛成绩是：62，68，75，80，82，85，86，88，89，90，90，95，96，98，99，99，99，99，100．
八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含的所有数据为：82，84，85，86，88，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
89
89
中位数
90
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上述图表中a＝ ，b＝ c＝ ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2000名学生参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩为D等级的学生人数是多少？
21．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ABE的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，猜想∠CFB和∠CBF的数量关系，并证明你的结论．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
1
﹣3
1
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x﹣的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式x﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．重庆新晋打卡地渝中区十八梯于今年9月30日开街，十八梯重建之后保留了很多原址，在此基础上还打造了民国风文化街．小明在十八梯开店卖纪念品，国庆节期间生意火爆，10月7日商店共卖出180件纪念品A和60件纪念品B，销售额为11100元，已知纪念品A的销售单价比纪念品B的销售单价高15元．
（1）A，B两种纪念品的销售单价分别是多少元？
（2）随着国庆节的结束，游客大量减少，小明决定降价销售纪念品．纪念品A的销售单价在10月7日的基础上降低a%（其中a＞0），销量减少a%；纪念品B的销售单价在10月7日的基础上降低5元，销量减少a%，降价后纪念品A的销售额是纪念品B销售额的5倍，求a的值．
24．对于任意一个四位数m，将前两位所得两位数记为m1，后两位所得两位数记为m2，其中，这个四位数的千位数字与十位数字不能为0，记F（m）＝，若F（m）能被4整除，称这样的四位数是“航天数”．
例如∵F（1248）＝＝4，4能被4整除，∴1248是“航天数”．
又如∵F（5142）＝＝1，1不能被4整除，∴5142不是“航天数”．
（1）判断2799，8062是否是“航天数”？并说明理由；
（2）若一个航天数m，千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同．将前两位所得两位数m1，中间插入数字c（1≤c≤9，c为整数），得新三位数n，则三位数n比m1大180，求满足条件的所有航天数．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
26．在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；
（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；
（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．﹣3的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数可得答案．
解：﹣3的倒数是﹣，
故选：B．
2．计算（x2）3的结果（ ）
A．x6 B．x5 C．﹣x6 D．﹣x5
【分析】利用幂的乘方计算得结论．
解：（x2）3＝x2×3＝x6．
故选：A．
3．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥2
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x+2≥0，
解得x≥﹣2，
故选：A．
4．计算﹣的结果是（ ）
A．﹣ B．3 C．2 D．﹣2
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的减法运算法则计算得出答案．
解：原式＝3﹣
＝2．
故选：C．
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1）
【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．
解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），将该顶点向下平移1个单位长度所得的顶点坐标是（1，1）．
故选：D．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．31.5° C．37° D．63°
【分析】由圆周角定理可得∠ABD＝90°，即可求解．
解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C＝∠D＝63°，
∴∠DAB＝90°﹣63°＝27°，
故选：A．
7．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【分析】直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比．
解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为：﹣6：3＝﹣2：1，
则△OAB与△OCD的面积之比为：（﹣2）2：1＝4：1．
故选：D．
9．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5
B．10min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15m时，上升时间为50min
D．上升60min时，乙气球距离地面高度为40m
【分析】选项A利用待定系数法解答即可；
通过观察图象可判断选项B；
分别求出两个气球的速度，再列方程解答即可判断选项C；
根据乙气球的速度列式计算可判断选项D．
解：设甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x+5，故选项A不合题意；
由图象可知，10min时，甲气球在乙气球下方，故选项B不合题意；
由甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝x+5，可知甲气球上升速度为1m/min，
乙气球上升速度为：（25﹣15）÷20＝0.5（1m/min），
设两气球高度差为15m时，上升时间为xmin，根据题意，得：
5+x﹣（15+0.5x）＝15，
解得x＝50，
所以两气球高度差为15m时，上升时间为50min，故选项C符合题意；
上升60min时，乙气球距离地面高度为：15+0.5×60＝45（m），故选项D不合题意．
故选：C．
10．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
【分析】如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．解直角三角形求出AD、BD即可解决问题．
解：如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．
在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，
∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，
∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，
∴AF＝EF•tan60°＝108，
∴AD＝AF+DF＝108+20≈207m，
在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，
∴BD＝65m，
∴AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m，
故选：B．
11．若关于x的分式方程+1＝有整数解，且关于y的不等式组恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0 B．24 C．﹣72 D．12
【分析】先解分式方程，再解一元一次不等式组，进而确定a的取值．
解：∵+1＝，
∴x+x﹣2＝2﹣ax．
∴2x+ax＝2+2．
∴（2+a）x＝4．
∴x＝．
∵关于x的分式方程+1＝有整数解，
∴2+a＝±1或±2或±4且．
∴a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6．
∵2（y﹣1）+a﹣1≤5y，
∴2y﹣2+a﹣1≤5y．
∴2y﹣5y≤1﹣a+2．
∴﹣3y≤3﹣a．
∴y≥﹣1+．
∵2y+1＜0，
∴2y＜﹣1．
∴y＜．
∴﹣1+≤y＜．
∵关于y的不等式组恰有2个整数解，
∴﹣3＜﹣1+≤﹣2．
∴﹣6＜a≤﹣3．
又∵a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6，
∴a＝﹣3或﹣4．
∴所有满足条件的整数a的值之积是﹣3×（﹣4）＝12．
故选：D．
12．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作▱ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由直线解析式求得A、B，作EF⊥x轴于F，通过证得△AEF≌△DBO（AAS），得出EF＝OB＝1，AF＝OD，进而得出DF＝OA＝，OF＝AD+1，由S△ACD＝S△ACE＝AD2，求得h＝AD＝k﹣1，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求得k的值．
解：∵直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（，0），B（0，1），
作EF⊥x轴于F，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，DE∥AB，
∴∠DAE＝∠ADB，
在△AEF和△DBO中，
，
∴△AEF≌△DBO（AAS），
∴EF＝OB＝1，AF＝OD，
∴DF＝OA＝，
∴OF＝AD+1，
∵E点刚好在反比例函数图象上，
∴OF＝＝k，
∴AD+1＝k，
∴AD＝k﹣1，
设C的纵坐标为h，
∵DE∥BC，
∴S△ACD＝S△ACE＝AD2，
∴AD•h＝AD2，
∴h＝AD＝k﹣1，
∴C的纵坐标为k﹣1，
代入y＝2x﹣1得，k﹣1＝2x﹣1，
解得x＝k，
∴C（k，k﹣1），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点C．
∴k（k﹣1）＝k，
解得k1＝3，k2＝0（舍去），
∴k＝3，
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0＝ 1 ．
【分析】化简绝对值，零指数幂，然后再算减法．
解：原式＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
14．中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布，规划纲要提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里．数据185000用科学记数法表示为 1.85×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：185000＝1.85×105．
故答案为：1.85×105．
15．在桌面上放有四张完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
【分析】画树状图得出共有12种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中两次抽取卡片上的数字之和为正数的有10种，
则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是＝．
故答案为：．
16．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线“，其中，，，，…依次连接，它们的圆心依次按A、B、C、D循环．当AB＝1时，曲线DEFGH的长度是 5π ．
【分析】首先根据题意得出扇形半径，进而利用弧长公式求出即可．
解：根据题意可得出：AB＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，
∴曲线DEFGH的长度是：+++＝+++＝+π++2π＝5π．
故答案为：5π．
17．如图，▱ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，则点A到直线DF的距离为 ．
【分析】先证△ABF是等边三角形，可得AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求AC，AD的长，由面积法可求解．
解：如图，连接AF，过点A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝120°，
∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∠ABC＝60°，AB＝CD＝6，
∵将△ABE沿BE翻折，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，
∴∠AFC＝120°＝∠DCF，
∵AH⊥BC，
∴BH＝HF＝3，AH＝BH＝3，
∵sin∠ACB＝＝，
∴AC＝5，
∴CH＝＝4，
∴BC＝AD＝4+3，
在△AFC和△DCF中，
，
∴△AFC≌△DCF（SAS），
∴AC＝DF＝5，
∵S△ADF＝×AD×AH＝，
∴点A到直线DF的距离＝＝，
故答案为：．
18．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为 17：57 ．
【分析】设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，表示出去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年无人机B与无人机C的飞行时间，即可求出无人机B与无人机C的飞行时间之比．
解：∵去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2，
∴设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，
∴去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，
∵今年无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的，
∴今年无人机B的平均速度为：（1﹣）×8x＝6x，无人机C的平均速度为：×3x＝4x，
设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，
∴今年无人机A、B、C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，
∴今年无人机A、B、C飞行的时间分别为，，，
∵无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%，
∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），
整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，
∵无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，
∴m：n＝7：15，
∴m＝②，
把②代入①得：16xt﹣7×﹣n＝0，
∴xt＝n，
∴今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为：
＝＝＝，
故答案为：17：57．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
19．计算：
（1）（a+b）2﹣a（a+2b）；
（2）（﹣2）．
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后再算加减；
（2）先将小括号里的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
解：（1）原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab
＝b2；
（2）原式＝（）÷
＝
＝．
20．近日，教育部印发通知，决定实施青少年急救教育行动计划，开展全国学校急救教育试点工作．某校为普及急救知识，进行了相关知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息．
七年级20名学生的竞赛成绩是：62，68，75，80，82，85，86，88，89，90，90，95，96，98，99，99，99，99，100．
八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含的所有数据为：82，84，85，86，88，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
89
89
中位数
90
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上述图表中a＝ 40 ，b＝ 85.5 c＝ 99 ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2000名学生参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩为D等级的学生人数是多少？
【分析】（1）根据八年级C等级有6个学生可得a，根据扇形统计图可得八年级中位数b，根据七年级的成绩可得众数c；
（2）比较平均数、中位数和众数可得结论；
（3）求出七、八年级学生竞赛成绩为D等级的百分比可得答案．
解：（1）八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含6个分数，
C等级所占百分比为＝30%，a%＝1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
八年级中位数位于C等级，b＝＝85.5，
七年级成绩是众数是99分，c＝99，
故答案为：40，85.5，99；
（2）七年级竞赛成绩较好，理由为：七年级的中位数高于八年级；
（3）七年级D等级人数是10人，八年级D等级人数是20×40%＝8人，
2000×＝900（人），
答：竞赛成绩为D等级的学生人数是900人．
21．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ABE的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，猜想∠CFB和∠CBF的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用尺规作∠ABE的角平分线即可；
（2）结合（1）和矩形的性质证明∠CBE＝∠BAE，再利用三角形外角的性质即可证明∠CFB和∠CBF的数量关系．
解：（1）如图，点F即为所求；
（2）∠CFB＝∠CBF，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠CBE＝∠BAE，
∵BF是∠ABE的角平分线，
∴∠FBA＝∠EBF，
∴∠CFB＝∠FAB+∠FBA＝∠CBE+∠EBF＝∠CBF．
即∠CFB＝∠CBF．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
1
﹣3
﹣
1
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x﹣的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式x﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
（3）利用图象即可解决问题．
解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
1
﹣3
﹣
1
…
函数y＝的图象如图所示：
（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
（3）由图象可知，不等式x﹣的解集为﹣0.2＜x＜0.9或x＞4．
23．重庆新晋打卡地渝中区十八梯于今年9月30日开街，十八梯重建之后保留了很多原址，在此基础上还打造了民国风文化街．小明在十八梯开店卖纪念品，国庆节期间生意火爆，10月7日商店共卖出180件纪念品A和60件纪念品B，销售额为11100元，已知纪念品A的销售单价比纪念品B的销售单价高15元．
（1）A，B两种纪念品的销售单价分别是多少元？
（2）随着国庆节的结束，游客大量减少，小明决定降价销售纪念品．纪念品A的销售单价在10月7日的基础上降低a%（其中a＞0），销量减少a%；纪念品B的销售单价在10月7日的基础上降低5元，销量减少a%，降价后纪念品A的销售额是纪念品B销售额的5倍，求a的值．
【分析】（1）设纪念品B的销售单价为x元，则纪念品A的销售单价为（x+15）元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出纪念品B的销售单价，再将其代入（x+15）中即可求出纪念品A的销售单价；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合降价后纪念品A的销售总额是纪念品B销售总额的5倍，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
解：（1）设纪念品B的销售单价为x元，则纪念品A的销售单价为（x+15）元，
依题意得：180（x+15）+60x＝11100，
解得：x＝35，
∴x+15＝35+15＝50．
答：纪念品A的销售单价为50元，纪念品B的销售单价为35元．
（2）依题意得：50（1﹣a%）×180（1﹣a%）＝5×（35﹣5）×60（1﹣a%），
整理得：5a2﹣200a＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
24．对于任意一个四位数m，将前两位所得两位数记为m1，后两位所得两位数记为m2，其中，这个四位数的千位数字与十位数字不能为0，记F（m）＝，若F（m）能被4整除，称这样的四位数是“航天数”．
例如∵F（1248）＝＝4，4能被4整除，∴1248是“航天数”．
又如∵F（5142）＝＝1，1不能被4整除，∴5142不是“航天数”．
（1）判断2799，8062是否是“航天数”？并说明理由；
（2）若一个航天数m，千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同．将前两位所得两位数m1，中间插入数字c（1≤c≤9，c为整数），得新三位数n，则三位数n比m1大180，求满足条件的所有航天数．
【分析】（1）利用“航天数”的定义进行判断即可；
（2）设这个航天数m的千位数字与个位数字为a，百位数字与十位数字为b，利用a，b，c分别表示出m1和n的值，由已知条件得到关于a，c的式子，根据数位上的数字的特征确定a，c的值，再利用“航天数”的意义得出a，b的关系式，从而确定出b的值，结论可求．
解：（1）2799是“航天数”，8062不是“航天数”，理由：
∵F（2799）＝＝8，8能被4整除，
∴2799是“航天数”；
∵F（8062）＝＝2，2不能被4整除，
∴8062不是“航天数”．
（2）设这个航天数m的千位数字与个位数字为a，百位数字与十位数字为b，
则m＝1000a+100b+10b++c．
∴F（m）＝＝＝|a﹣b|能被4整除．
∴|a﹣b|＝4或|a﹣b|＝8．
∵m1＝10a+b，
∴n＝100a+10c+b．
∵三位数n比m1大180，
∴100a+10c+b﹣（10a+b）＝180．
∴9a+c＝18．
∵1≤c≤9，c为整数，1≤a≤9，a为整数，
∴a＝1，c＝9．
∵1≤b≤9，b为整数，
∴b＝5或9．
∴满足条件的航天数为：1551或1991．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（，0）代入表达式求出b和c即可．
（2）过点P作PE∥x轴交CD于点E，可得△PGE是等腰直角三角形，所以PE＝PG，则PG+PQ＝PE+PQ，求PG+PQ的最小值，即求出PE+PQ的最小值；设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），分别表达PQ和PE，最后利用二次函数的最值问题，即可解答．
（3）由平移可知新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），当AP为菱形的边时，①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x＝4于点R，由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，可求出点M的坐标，再由点的平移可知，N1（2，2），N2（2，﹣2）；②以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，﹣），由点A和点P的坐标可知，直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣．所以直线MN的解析式为：y＝x﹣．最后利用中点坐标公式可知，N3（﹣4，﹣）．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．
（2）如图，过点P作PE∥x轴交CD于点E，
∴∠DEP＝45°，
∴△PGE是等腰直角三角形，
∴PE＝PG，
设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），
∴PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴PG+PQ＝PE+PQ
＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）
＝﹣2（t﹣1）2+，
∵﹣2＜0，
∴当点P（1，﹣3）时，PG+PQ的最大值为．
（3）存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵A（﹣1，0），B（，0），
∵原抛物线的轴对称为直线x＝
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；
由（2）知P（1，﹣3），
∴AP＝．
设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），
当AP为菱形的边时，
①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x＝4于点R，如图所示，
此时PM1＝PM2＝AP＝，PR＝3，
由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，
∴M1F＝1，M2F＝5，
∴M1（4，﹣1），M2（4，﹣5），
∵A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，
∴点M1（4，﹣1）向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点N1（2，2），
同理可得，N2（2，﹣2）；
②以点A为圆心，AP长为半径作圆，
∵AF＝5，且5＞，
∴此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．
当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，﹣），如图所示，
设MN与直线x＝4的交点为M3，
∵点A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣．
∴直线MN的解析式为：y＝x﹣．
∴M3（4，），
由中点坐标公式可知，N3（﹣4，﹣）．
综上，点N的坐标为N1（2，2），N2（2，﹣2），N3（﹣4，﹣）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
26．在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；
（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；
（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．
【分析】（1）在Rt△BCD中求得BD和CD，进而求得结果；
（2）连接BG，CF，可证△BDG≌△EDF，从而∠DGB＝∠DFE，BG＝EF，进而证明BG⊥EF，从而推出∠ABG＝∠CFE，进而证明△ABG≌△FCE，从而得出结论；
（3）先推出∠ACH＝90°，从而得出H点在以AC为直径的圆上，判断出BH过圆心I，作HT⊥AC，EK⊥AC，可推出△BCD≌△BKD及△CTH∽△CKE，进而求得结果．
【解答】（1）解：如图1，
在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝DE＝，
∴CD＝1，
∴AD＝AC﹣CD
＝BC﹣AD
＝3﹣1
＝2，
∵CA＝CB，CA⊥CB，
∴AB＝＝3，
∴△ABD的周长是：3+2；
（2）证明：如图2，
连接BG交EF于N，连接CF交AB于M，AB与EF交于点P，DF与BG交于O，
∵∠BDE＝∠GDF＝90°，
∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF，
即：∠BDG＝∠FDE，
∵DE＝BD，DG＝DF，
∴△BDG≌△EDF（SAS），
∴BG＝EF，
∴∠BGD＝∠DFE，
∵∠DOG＝∠FOB，
∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°，
∵∠BPN＝∠MPF，
∴∠CFE＝∠ABG，
∵CF＝2CM＝2AM＝AB，
∴△GAB≌△ECF（SAS），
∴AG＝CE；
（3）如图3，
由（2）得，
△GAD≌△ECF，
∴∠GAB＝∠ECF，
∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM，
∴∠CAB＝∠BCM＝45°，
∴∠GAC＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH+∠ECB＝90°，
∴∠ACH+∠GAC＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴点H在以AC为直径的⊙I运动，
如图4，
当BH过I时，BH最大，
不妨设半径AI＝CI＝HI＝1，
∴BC＝AC＝2，
∴IB＝＝，
作HT⊥AC于T，作EK⊥AD于K，
∴∠HTI＝∠ACB＝90°，
∴HT∥BC，
∴△HTI∽△BCI，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴HT＝，TI＝，
∵∠BCD＝∠BDE＝∠K＝90°，
BD＝DE，
由“一线三等角”得，
△BCD≌△DKE，
∴CD＝EK，BC＝DK＝2，
∵tan∠KCE＝tan∠HCT，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
2021-2022学年九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．﹣3的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．计算（x2）3的结果（ ）
A．x6 B．x5 C．﹣x6 D．﹣x5
3．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥2
4．计算﹣的结果是（ ）
A．﹣ B．3 C．2 D．﹣2
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1）
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．31.5° C．37° D．63°
7．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
9．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5
B．10min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15m时，上升时间为50min
D．上升60min时，乙气球距离地面高度为40m
10．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
11．若关于x的分式方程+1＝有整数解，且关于y的不等式组恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0 B．24 C．﹣72 D．12
12．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作▱ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0＝ ．
14．中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布，规划纲要提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里．数据185000用科学记数法表示为 ．
15．在桌面上放有四张完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
16．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线“，其中，，，，…依次连接，它们的圆心依次按A、B、C、D循环．当AB＝1时，曲线DEFGH的长度是 ．
17．如图，▱ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，则点A到直线DF的距离为 ．
18．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
19．计算：
（1）（a+b）2﹣a（a+2b）；
（2）（﹣2）．
20．近日，教育部印发通知，决定实施青少年急救教育行动计划，开展全国学校急救教育试点工作．某校为普及急救知识，进行了相关知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息．
七年级20名学生的竞赛成绩是：62，68，75，80，82，85，86，88，89，90，90，95，96，98，99，99，99，99，100．
八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含的所有数据为：82，84，85，86，88，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
89
89
中位数
90
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上述图表中a＝ ，b＝ c＝ ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2000名学生参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩为D等级的学生人数是多少？
21．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ABE的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，猜想∠CFB和∠CBF的数量关系，并证明你的结论．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
1
﹣3
1
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x﹣的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式x﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．重庆新晋打卡地渝中区十八梯于今年9月30日开街，十八梯重建之后保留了很多原址，在此基础上还打造了民国风文化街．小明在十八梯开店卖纪念品，国庆节期间生意火爆，10月7日商店共卖出180件纪念品A和60件纪念品B，销售额为11100元，已知纪念品A的销售单价比纪念品B的销售单价高15元．
（1）A，B两种纪念品的销售单价分别是多少元？
（2）随着国庆节的结束，游客大量减少，小明决定降价销售纪念品．纪念品A的销售单价在10月7日的基础上降低a%（其中a＞0），销量减少a%；纪念品B的销售单价在10月7日的基础上降低5元，销量减少a%，降价后纪念品A的销售额是纪念品B销售额的5倍，求a的值．
24．对于任意一个四位数m，将前两位所得两位数记为m1，后两位所得两位数记为m2，其中，这个四位数的千位数字与十位数字不能为0，记F（m）＝，若F（m）能被4整除，称这样的四位数是“航天数”．
例如∵F（1248）＝＝4，4能被4整除，∴1248是“航天数”．
又如∵F（5142）＝＝1，1不能被4整除，∴5142不是“航天数”．
（1）判断2799，8062是否是“航天数”？并说明理由；
（2）若一个航天数m，千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同．将前两位所得两位数m1，中间插入数字c（1≤c≤9，c为整数），得新三位数n，则三位数n比m1大180，求满足条件的所有航天数．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
26．在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；
（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；
（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．﹣3的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数可得答案．
解：﹣3的倒数是﹣，
故选：B．
2．计算（x2）3的结果（ ）
A．x6 B．x5 C．﹣x6 D．﹣x5
【分析】利用幂的乘方计算得结论．
解：（x2）3＝x2×3＝x6．
故选：A．
3．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥2
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x+2≥0，
解得x≥﹣2，
故选：A．
4．计算﹣的结果是（ ）
A．﹣ B．3 C．2 D．﹣2
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的减法运算法则计算得出答案．
解：原式＝3﹣
＝2．
故选：C．
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1）
【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．
解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），将该顶点向下平移1个单位长度所得的顶点坐标是（1，1）．
故选：D．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．31.5° C．37° D．63°
【分析】由圆周角定理可得∠ABD＝90°，即可求解．
解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C＝∠D＝63°，
∴∠DAB＝90°﹣63°＝27°，
故选：A．
7．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【分析】直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比．
解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为：﹣6：3＝﹣2：1，
则△OAB与△OCD的面积之比为：（﹣2）2：1＝4：1．
故选：D．
9．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5
B．10min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15m时，上升时间为50min
D．上升60min时，乙气球距离地面高度为40m
【分析】选项A利用待定系数法解答即可；
通过观察图象可判断选项B；
分别求出两个气球的速度，再列方程解答即可判断选项C；
根据乙气球的速度列式计算可判断选项D．
解：设甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x+5，故选项A不合题意；
由图象可知，10min时，甲气球在乙气球下方，故选项B不合题意；
由甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝x+5，可知甲气球上升速度为1m/min，
乙气球上升速度为：（25﹣15）÷20＝0.5（1m/min），
设两气球高度差为15m时，上升时间为xmin，根据题意，得：
5+x﹣（15+0.5x）＝15，
解得x＝50，
所以两气球高度差为15m时，上升时间为50min，故选项C符合题意；
上升60min时，乙气球距离地面高度为：15+0.5×60＝45（m），故选项D不合题意．
故选：C．
10．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
【分析】如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．解直角三角形求出AD、BD即可解决问题．
解：如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．
在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，
∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，
∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，
∴AF＝EF•tan60°＝108，
∴AD＝AF+DF＝108+20≈207m，
在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，
∴BD＝65m，
∴AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m，
故选：B．
11．若关于x的分式方程+1＝有整数解，且关于y的不等式组恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0 B．24 C．﹣72 D．12
【分析】先解分式方程，再解一元一次不等式组，进而确定a的取值．
解：∵+1＝，
∴x+x﹣2＝2﹣ax．
∴2x+ax＝2+2．
∴（2+a）x＝4．
∴x＝．
∵关于x的分式方程+1＝有整数解，
∴2+a＝±1或±2或±4且．
∴a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6．
∵2（y﹣1）+a﹣1≤5y，
∴2y﹣2+a﹣1≤5y．
∴2y﹣5y≤1﹣a+2．
∴﹣3y≤3﹣a．
∴y≥﹣1+．
∵2y+1＜0，
∴2y＜﹣1．
∴y＜．
∴﹣1+≤y＜．
∵关于y的不等式组恰有2个整数解，
∴﹣3＜﹣1+≤﹣2．
∴﹣6＜a≤﹣3．
又∵a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6，
∴a＝﹣3或﹣4．
∴所有满足条件的整数a的值之积是﹣3×（﹣4）＝12．
故选：D．
12．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作▱ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由直线解析式求得A、B，作EF⊥x轴于F，通过证得△AEF≌△DBO（AAS），得出EF＝OB＝1，AF＝OD，进而得出DF＝OA＝，OF＝AD+1，由S△ACD＝S△ACE＝AD2，求得h＝AD＝k﹣1，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求得k的值．
解：∵直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（，0），B（0，1），
作EF⊥x轴于F，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，DE∥AB，
∴∠DAE＝∠ADB，
在△AEF和△DBO中，
，
∴△AEF≌△DBO（AAS），
∴EF＝OB＝1，AF＝OD，
∴DF＝OA＝，
∴OF＝AD+1，
∵E点刚好在反比例函数图象上，
∴OF＝＝k，
∴AD+1＝k，
∴AD＝k﹣1，
设C的纵坐标为h，
∵DE∥BC，
∴S△ACD＝S△ACE＝AD2，
∴AD•h＝AD2，
∴h＝AD＝k﹣1，
∴C的纵坐标为k﹣1，
代入y＝2x﹣1得，k﹣1＝2x﹣1，
解得x＝k，
∴C（k，k﹣1），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点C．
∴k（k﹣1）＝k，
解得k1＝3，k2＝0（舍去），
∴k＝3，
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0＝ 1 ．
【分析】化简绝对值，零指数幂，然后再算减法．
解：原式＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
14．中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布，规划纲要提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里．数据185000用科学记数法表示为 1.85×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：185000＝1.85×105．
故答案为：1.85×105．
15．在桌面上放有四张完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
【分析】画树状图得出共有12种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中两次抽取卡片上的数字之和为正数的有10种，
则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是＝．
故答案为：．
16．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线“，其中，，，，…依次连接，它们的圆心依次按A、B、C、D循环．当AB＝1时，曲线DEFGH的长度是 5π ．
【分析】首先根据题意得出扇形半径，进而利用弧长公式求出即可．
解：根据题意可得出：AB＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，
∴曲线DEFGH的长度是：+++＝+++＝+π++2π＝5π．
故答案为：5π．
17．如图，▱ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，则点A到直线DF的距离为 ．
【分析】先证△ABF是等边三角形，可得AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求AC，AD的长，由面积法可求解．
解：如图，连接AF，过点A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝120°，
∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∠ABC＝60°，AB＝CD＝6，
∵将△ABE沿BE翻折，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，
∴∠AFC＝120°＝∠DCF，
∵AH⊥BC，
∴BH＝HF＝3，AH＝BH＝3，
∵sin∠ACB＝＝，
∴AC＝5，
∴CH＝＝4，
∴BC＝AD＝4+3，
在△AFC和△DCF中，
，
∴△AFC≌△DCF（SAS），
∴AC＝DF＝5，
∵S△ADF＝×AD×AH＝，
∴点A到直线DF的距离＝＝，
故答案为：．
18．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为 17：57 ．
【分析】设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，表示出去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年无人机B与无人机C的飞行时间，即可求出无人机B与无人机C的飞行时间之比．
解：∵去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2，
∴设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，
∴去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，
∵今年无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的，
∴今年无人机B的平均速度为：（1﹣）×8x＝6x，无人机C的平均速度为：×3x＝4x，
设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，
∴今年无人机A、B、C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，
∴今年无人机A、B、C飞行的时间分别为，，，
∵无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%，
∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），
整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，
∵无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，
∴m：n＝7：15，
∴m＝②，
把②代入①得：16xt﹣7×﹣n＝0，
∴xt＝n，
∴今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为：
＝＝＝，
故答案为：17：57．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
19．计算：
（1）（a+b）2﹣a（a+2b）；
（2）（﹣2）．
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后再算加减；
（2）先将小括号里的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
解：（1）原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab
＝b2；
（2）原式＝（）÷
＝
＝．
20．近日，教育部印发通知，决定实施青少年急救教育行动计划，开展全国学校急救教育试点工作．某校为普及急救知识，进行了相关知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息．
七年级20名学生的竞赛成绩是：62，68，75，80，82，85，86，88，89，90，90，95，96，98，99，99，99，99，100．
八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含的所有数据为：82，84，85，86，88，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
89
89
中位数
90
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上述图表中a＝ 40 ，b＝ 85.5 c＝ 99 ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2000名学生参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩为D等级的学生人数是多少？
【分析】（1）根据八年级C等级有6个学生可得a，根据扇形统计图可得八年级中位数b，根据七年级的成绩可得众数c；
（2）比较平均数、中位数和众数可得结论；
（3）求出七、八年级学生竞赛成绩为D等级的百分比可得答案．
解：（1）八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含6个分数，
C等级所占百分比为＝30%，a%＝1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
八年级中位数位于C等级，b＝＝85.5，
七年级成绩是众数是99分，c＝99，
故答案为：40，85.5，99；
（2）七年级竞赛成绩较好，理由为：七年级的中位数高于八年级；
（3）七年级D等级人数是10人，八年级D等级人数是20×40%＝8人，
2000×＝900（人），
答：竞赛成绩为D等级的学生人数是900人．
21．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ABE的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，猜想∠CFB和∠CBF的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用尺规作∠ABE的角平分线即可；
（2）结合（1）和矩形的性质证明∠CBE＝∠BAE，再利用三角形外角的性质即可证明∠CFB和∠CBF的数量关系．
解：（1）如图，点F即为所求；
（2）∠CFB＝∠CBF，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠CBE＝∠BAE，
∵BF是∠ABE的角平分线，
∴∠FBA＝∠EBF，
∴∠CFB＝∠FAB+∠FBA＝∠CBE+∠EBF＝∠CBF．
即∠CFB＝∠CBF．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
1
﹣3
﹣
1
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x﹣的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式x﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
（3）利用图象即可解决问题．
解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
1
﹣3
﹣
1
…
函数y＝的图象如图所示：
（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
（3）由图象可知，不等式x﹣的解集为﹣0.2＜x＜0.9或x＞4．
23．重庆新晋打卡地渝中区十八梯于今年9月30日开街，十八梯重建之后保留了很多原址，在此基础上还打造了民国风文化街．小明在十八梯开店卖纪念品，国庆节期间生意火爆，10月7日商店共卖出180件纪念品A和60件纪念品B，销售额为11100元，已知纪念品A的销售单价比纪念品B的销售单价高15元．
（1）A，B两种纪念品的销售单价分别是多少元？
（2）随着国庆节的结束，游客大量减少，小明决定降价销售纪念品．纪念品A的销售单价在10月7日的基础上降低a%（其中a＞0），销量减少a%；纪念品B的销售单价在10月7日的基础上降低5元，销量减少a%，降价后纪念品A的销售额是纪念品B销售额的5倍，求a的值．
【分析】（1）设纪念品B的销售单价为x元，则纪念品A的销售单价为（x+15）元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出纪念品B的销售单价，再将其代入（x+15）中即可求出纪念品A的销售单价；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合降价后纪念品A的销售总额是纪念品B销售总额的5倍，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
解：（1）设纪念品B的销售单价为x元，则纪念品A的销售单价为（x+15）元，
依题意得：180（x+15）+60x＝11100，
解得：x＝35，
∴x+15＝35+15＝50．
答：纪念品A的销售单价为50元，纪念品B的销售单价为35元．
（2）依题意得：50（1﹣a%）×180（1﹣a%）＝5×（35﹣5）×60（1﹣a%），
整理得：5a2﹣200a＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
24．对于任意一个四位数m，将前两位所得两位数记为m1，后两位所得两位数记为m2，其中，这个四位数的千位数字与十位数字不能为0，记F（m）＝，若F（m）能被4整除，称这样的四位数是“航天数”．
例如∵F（1248）＝＝4，4能被4整除，∴1248是“航天数”．
又如∵F（5142）＝＝1，1不能被4整除，∴5142不是“航天数”．
（1）判断2799，8062是否是“航天数”？并说明理由；
（2）若一个航天数m，千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同．将前两位所得两位数m1，中间插入数字c（1≤c≤9，c为整数），得新三位数n，则三位数n比m1大180，求满足条件的所有航天数．
【分析】（1）利用“航天数”的定义进行判断即可；
（2）设这个航天数m的千位数字与个位数字为a，百位数字与十位数字为b，利用a，b，c分别表示出m1和n的值，由已知条件得到关于a，c的式子，根据数位上的数字的特征确定a，c的值，再利用“航天数”的意义得出a，b的关系式，从而确定出b的值，结论可求．
解：（1）2799是“航天数”，8062不是“航天数”，理由：
∵F（2799）＝＝8，8能被4整除，
∴2799是“航天数”；
∵F（8062）＝＝2，2不能被4整除，
∴8062不是“航天数”．
（2）设这个航天数m的千位数字与个位数字为a，百位数字与十位数字为b，
则m＝1000a+100b+10b++c．
∴F（m）＝＝＝|a﹣b|能被4整除．
∴|a﹣b|＝4或|a﹣b|＝8．
∵m1＝10a+b，
∴n＝100a+10c+b．
∵三位数n比m1大180，
∴100a+10c+b﹣（10a+b）＝180．
∴9a+c＝18．
∵1≤c≤9，c为整数，1≤a≤9，a为整数，
∴a＝1，c＝9．
∵1≤b≤9，b为整数，
∴b＝5或9．
∴满足条件的航天数为：1551或1991．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（，0）代入表达式求出b和c即可．
（2）过点P作PE∥x轴交CD于点E，可得△PGE是等腰直角三角形，所以PE＝PG，则PG+PQ＝PE+PQ，求PG+PQ的最小值，即求出PE+PQ的最小值；设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），分别表达PQ和PE，最后利用二次函数的最值问题，即可解答．
（3）由平移可知新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），当AP为菱形的边时，①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x＝4于点R，由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，可求出点M的坐标，再由点的平移可知，N1（2，2），N2（2，﹣2）；②以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，﹣），由点A和点P的坐标可知，直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣．所以直线MN的解析式为：y＝x﹣．最后利用中点坐标公式可知，N3（﹣4，﹣）．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．
（2）如图，过点P作PE∥x轴交CD于点E，
∴∠DEP＝45°，
∴△PGE是等腰直角三角形，
∴PE＝PG，
设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），
∴PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴PG+PQ＝PE+PQ
＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）
＝﹣2（t﹣1）2+，
∵﹣2＜0，
∴当点P（1，﹣3）时，PG+PQ的最大值为．
（3）存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵A（﹣1，0），B（，0），
∵原抛物线的轴对称为直线x＝
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；
由（2）知P（1，﹣3），
∴AP＝．
设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），
当AP为菱形的边时，
①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x＝4于点R，如图所示，
此时PM1＝PM2＝AP＝，PR＝3，
由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，
∴M1F＝1，M2F＝5，
∴M1（4，﹣1），M2（4，﹣5），
∵A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，
∴点M1（4，﹣1）向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点N1（2，2），
同理可得，N2（2，﹣2）；
②以点A为圆心，AP长为半径作圆，
∵AF＝5，且5＞，
∴此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．
当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，﹣），如图所示，
设MN与直线x＝4的交点为M3，
∵点A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣．
∴直线MN的解析式为：y＝x﹣．
∴M3（4，），
由中点坐标公式可知，N3（﹣4，﹣）．
综上，点N的坐标为N1（2，2），N2（2，﹣2），N3（﹣4，﹣）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写答题卡中对应的位置上．
26．在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；
（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；
（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．
【分析】（1）在Rt△BCD中求得BD和CD，进而求得结果；
（2）连接BG，CF，可证△BDG≌△EDF，从而∠DGB＝∠DFE，BG＝EF，进而证明BG⊥EF，从而推出∠ABG＝∠CFE，进而证明△ABG≌△FCE，从而得出结论；
（3）先推出∠ACH＝90°，从而得出H点在以AC为直径的圆上，判断出BH过圆心I，作HT⊥AC，EK⊥AC，可推出△BCD≌△BKD及△CTH∽△CKE，进而求得结果．
【解答】（1）解：如图1，
在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝DE＝，
∴CD＝1，
∴AD＝AC﹣CD
＝BC﹣AD
＝3﹣1
＝2，
∵CA＝CB，CA⊥CB，
∴AB＝＝3，
∴△ABD的周长是：3+2；
（2）证明：如图2，
连接BG交EF于N，连接CF交AB于M，AB与EF交于点P，DF与BG交于O，
∵∠BDE＝∠GDF＝90°，
∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF，
即：∠BDG＝∠FDE，
∵DE＝BD，DG＝DF，
∴△BDG≌△EDF（SAS），
∴BG＝EF，
∴∠BGD＝∠DFE，
∵∠DOG＝∠FOB，
∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°，
∵∠BPN＝∠MPF，
∴∠CFE＝∠ABG，
∵CF＝2CM＝2AM＝AB，
∴△GAB≌△ECF（SAS），
∴AG＝CE；
（3）如图3，
由（2）得，
△GAD≌△ECF，
∴∠GAB＝∠ECF，
∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM，
∴∠CAB＝∠BCM＝45°，
∴∠GAC＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH+∠ECB＝90°，
∴∠ACH+∠GAC＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴点H在以AC为直径的⊙I运动，
如图4，
当BH过I时，BH最大，
不妨设半径AI＝CI＝HI＝1，
∴BC＝AC＝2，
∴IB＝＝，
作HT⊥AC于T，作EK⊥AD于K，
∴∠HTI＝∠ACB＝90°，
∴HT∥BC，
∴△HTI∽△BCI，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴HT＝，TI＝，
∵∠BCD＝∠BDE＝∠K＝90°，
BD＝DE，
由“一线三等角”得，
△BCD≌△DKE，
∴CD＝EK，BC＝DK＝2，
∵tan∠KCE＝tan∠HCT，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
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