精品解析：2021年山西省太原市中考数学一模试题（解析版）

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2021年山西省太原市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1. 计算（﹣3）×（﹣1）的结果是（　　）
A. ﹣4 B. ﹣3 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】原式利用乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
故选： C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
2. 下列运算结果正确的是（　　）
A. （﹣a2）•a3＝a5 B. （a﹣5b）（a+5b）＝a2﹣5b2
C. 2x（x﹣5）＝2x2﹣10x D. x6÷x2＝x3
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘多项式和同底数幂的除法计算后判断即可．
【详解】解：对于 A 选项：（﹣a2）•a3＝−a5 ，原选项计算错误，不符合题意；
对于 B 选项： （a﹣5b）（a+5b）＝a2﹣25b2 ，原选项计算错误，不符合题意；
对于 C 选项：计算正确，符合题意；
对于 D 选项： x6÷x2＝x4 ，原选项计算错误，不符合题意；
故选 C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘多项式和同底数幂的除法，掌握相关定义，能分别依据定义正确计算是解题关键．
3. 如图，将含30°角的直角三角板ABC放在平行线α和b上，∠C＝90°，∠A＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数等于（　　）

A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等可得∠4，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论．
【详解】解：

∵∠A＝30°，∠1＝20°，
∴Ð 1= Ð 3，Ð4 = Ð3 + ÐA =20°+30°=50°，
∵a∥b ，
\Ð2 =Ð 4=50° ．
故选 B．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质．能正确识图是解题关键．
4. 小红同学对数据25，32，23，25，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】利用中位数、平均数、众数和方差的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为25与32的平均数，与被涂污数字无关．
故选：．
【点睛】本题主要考查了统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数、方差；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集画图即可．
【详解】解：，
由①得，x＜3，
由②得，x≥－2，
故不等式组的解集为－2≤x＜3．
故选 ：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6. 用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（　　）
A. （x﹣5）2＝24 B. （x﹣5）2＝26 C. （x+5）2＝24 D. （x+5）2＝26
【答案】B
【解析】
【分析】先移项、再配方即可解答
【详解】解：，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了配方法，解题关键是正确利用完全平方公式配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
7. 刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（ ）．

A. 《周髀算经》 B. 《九章算术》 C. 《孙子算经》 D. 《海岛算经》
【答案】D
【解析】
【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答．
【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键．
8. 去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约102万亿元，其中第三产业约占55%，由此可知，第三产业总值为（　　）
A. 4.59×1013元 B. 5.61×1014元
C. 5.61×1013元 D. 4.59×1014元
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出，第三产业总值为56.1万亿元，再用科学记数法的表示形式．
【详解】解：经计算，第三产业总值为102 ´55 %=56.1（万亿元）=5.61 ´1013元，
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9. 如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物．他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向山的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　）

A. 2千米 B. 2千米 C. 2千米 D. 千米
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据等腰三角形的判定可得千米，然后利用直角三角形的性质即可得．
【详解】如图，由题意得，千米，，

，
，
千米，
，，
在中，千米，
即该建筑物离地面的高度为2千米，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
10. 如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆上的一点，点D为AO上一点，AB＝8，∠B＝60°，△DB'C与△DBC关于直线DC对称，连接B'O交半圆于点E若B'C与半圆相切，则图中阴影部分的面积等于（　　）


A. 3π﹣4 B. 2π﹣4 C. 3π﹣8 D. 8﹣2π
【答案】D
【解析】
【分析】连接OC，根据利用等边三角形的性质和扇形面积公式分别求出和代入运算即可．
【详解】连接OC如图所示：


∴OC=OB， Ð B =ÐOCB=，
∴ OC= OB= BC=4，
又∵BC==4 ，
因为B'C与半圆相切，
∴∠B'OC＝90°，
∴OC==4 ，,
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆有关的计算，涉及到了圆的性质，切线的性质和判定，三角形的面积公式，扇形面积公式，利用图形作差表示出阴影部分的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接写在答题卡相应位置．
11. 化简（x﹣1）2﹣x2的结果是___．
【答案】
【解析】
【分析】先根据完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
12. 在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是___．

【答案】
【解析】
【分析】先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有 3 种情况，分别是ab,ac,bc;其中能够让一个灯泡发光的情况有ac和bc 共2 种，所以概率为；
故答案为：.


【点睛】本题考查了随机事件的概率问题，解题的关键是牢记概率公式等，考查了学生对概率的理解与应用．
13. 如图，∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一点，AB＝5cm，按以下步骤作图，第一步：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；第二步：作直线MN交射线AP于点D，连接BD；第三步：以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AP于点C，连接BC，线段CD的长为___cm．

【答案】5
【解析】
【分析】先根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理可得，据此利用等腰三角形的判定即可得．
【详解】解：由题意得：垂直平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
14. 某体育器材商场以a元/台的价格购进一种家用健身器材，提价60%作为标价后，为了迎合消费者的心理，再按八折促销，在不考虑其他因素的前提下，每售出一台该器材商场可获利___元．
【答案】
【解析】
【分析】根据“利润售价进价”列式计算即可得．
【详解】由题意得：该器材的售价为（元/台），
则每售出一台该器材商场的利润为（元），
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式、整式的减法，依据题意，正确求出该器材的售价是解题关键．
15. 如图，在▱ABCD中，AD＝6，对角线BD⊥CD，∠BAD＝30°，∠BAD与∠CDB的平分线交于点E，延长DB到点F，使DF＝AD，连接EF，则EF的长为___．

【答案】
【解析】
【分析】延长AE交DC的延长线于点G．作，交DG于点I．过点E作于点H．由角平分线的性质和三角形内角和定理可求出，即．又根据题意易证，即．由三角形外角性质可求出，即可设，则，．又易证为等腰直角三角形，即得出．由，即可列出关于x的方程，解出x，即得到的长，最后利用勾股定理即可求出的长，即的长．
【详解】如图，延长AE交DC的延长线于点G．作，交DG于点I．过点E作于点H．

根据题意可知，
∴．
∵AE平分，
∴．
∴，
∴，
∴,
∵DE平分，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
由三角形外角性质可得，
∴设，则，．
∵，
∴，
∴，
解得：．
∴．
在中，．
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质以及勾股定理等知识．综合性强，较难．作出辅助线是解答本题的关键．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）解答时应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤．
16. （1）计算：（﹣）-2+sin45°﹣（﹣4+2）2，
（2）化简再求值：，其中x＝﹣3+．
【答案】（1）8；（2），
【解析】
【分析】（1）分别计算负整数指数幂、特殊角三角函数、乘方，再计算二次根式的乘法，最后依次相加减即可；
（2）先计算括号内的异分母分式的加法，然后将除法化为乘法后约分，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=8；
（2）原式=
=
=．
将x＝﹣3+代入
原式=．
【点睛】本题考查实数的混合运算、分式的化简求值．（1）中能分别正确计算负整数指数幂、特殊角三角函数、乘方、二次根式的乘法是解题关键；（2）中切记除法化为乘法后方能约分．
17. 正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）求这两个函数的表达式．
【答案】（1）A（1，3），B（-1，-3）；（2），．
【解析】
【分析】（1）反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称；
（2）由k的值可直接写出函数解析式．
【详解】解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称，
又∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为-3，
∴点A的纵坐标是3，点B的横坐标是-1．
∴A（1，3），B（-1，-3）；
（2）把A（1，3）的值代入函数与可得，
，
两函数解析式分别为，．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据反比例函数图象的中心对称性求得A、B的坐标是解题的关键．
18. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．

【答案】∠ABD=102°．
【解析】
【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∠AOB＝96°，
∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，
又∵点D是的中点，
∴，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键．
19. 为丰富同学们的生活体验，学校计划引进“晋式传统刺绣，仕女面塑艺术，唐风篆刻，汉风传统彩绘艺术”四个太原市非物质文化遗产项目，为学生提供课后服务，要求每名学生必须且只能选定其中一个项目，在开学第一周，随机抽取部分学生进行了问卷调查，为了方便统计，这四个项目依次用字母A，B，C，D标记，将结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），结合图中信息解答下列问题：

（1）被调查的学生共有　 　人；在扇形统计图中，B所对应的圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1600学生，请估计选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数．
【答案】（1）100，54°；（2）补全条形统计图见解析；（3）估计选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数为560人．
【解析】
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用A组频数20除以A组所占百分比20%，即可得到本次抽样调查学生总数，再利用360°乘以B组所占百分比得到扇形统计图中B所在扇形的圆心角度数即可；
（2）先利用100乘以30%求得C组频数，再利用100减去A、C、D组的频数得到B组的频数，进而补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体，用1600乘以样本中选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数所占的百分比即可估计全校选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数．
【详解】解：（1）20÷20%=100（人），
1－20%－30%－35÷100＝15%，
360°×15%＝54°，
故答案为：100，54°；
（2）C组：100×30%＝30（人），
B组：100－20－30－35＝15（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）（人），
答：估计选定“汉风传统彩绘艺术”项目的人数为560人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
20. 太原市是山西省政府命名的“山西省园林城市”，从2018年起，我市围绕“一核”“三圈”，以“两个百万亩森林建设”为重点建设十大骨干工程，到2018年底，林地面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，建设整洁、优美、宜居的现代化城市，再现锦绣太原城盛景，经过两年的努力，到2020年底我市林地面积约423.5万亩．
（1）求这两年林地面积的年平均增长率；
（2）若要实现到2021年底林地面积至少为508.2万亩的目标，求2021年林地面积的增长率不低于多少．
【答案】（1）这两年林地面积的年平均增长率为 10%；（2）2021 年林地面积的增长率不低于 20%．
【解析】
【分析】（1）依据增长率公式列出方程即可求解；
（2）设 2021 年林地面积的增长率为 y，列出一元一次不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设这两年林地面积的年平均增长率为x.
350(1+x )2= 423.5 ， x1= 0.1 =10%; x2=2.1(舍);
答：这两年林地面积的年平均增长率为 10%.
（2）设 2021 年林地面积的增长率为 y. 根据题意得， 423.5´ (1+y ) ³ 508.2，
y ³ 0.2 ；
答：2021 年林地面积的增长率不低于 20%.
【点睛】本题考查了平均增长率的问题，要求学生能从题干中找出相等关系或不等关系，列出方程或不等式进行求解，解题的关键是牢记增长率公式．
21. 某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其他费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．
任务1：该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
小明的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×0.05＝10（元）；如果3天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×2×0.05+200×0.05＝30（元）；如果4天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×3×0.05+200×2×0.05+200×0.05＝60（元），他发现已有的数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是他解决这个问题的过程，请解答相关问题．
（1）计算得到x与y的部分对应值如下表，请补全表格；
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Y/元
…
455.0
430.0
420.0


415.7
417.5
420.0
423.0
…
（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点；

（3）结合图象：养殖场　 　天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
任务2：提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．
【答案】任务1：（1）补全表格；416.0，415.0；（2）见解析；（3）6；任务2：需要考虑这一优惠条件，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出x与y的函数关系，再求出和对应的y值，再补充表格即可；
（2）根据表格信息一一对应描点即可；
（3）根据图中得出信息，求出10天购买一次饲料享受优惠费用，再和原来10天购买一次饲料的费用比较得出结论．
【详解】任务1：
（1）设每天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为元，
饲料的保管费与其他费用每天比前一天少（元）．
∴ 天饲料的保管费用共：

=
=
=
∴
∴当时，
当时，
补全表格；
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Y/元
…
455.0
430.0
420.0
4160
415.0
415.7
417.5
420.0
423.0
…
（2）如图所示；

（3）由图可知，养殖场6天购买一次饲养才能使平均每天支付的总费用最少，
若考虑此优惠条件，则10天购买一次饲料，
当时，，享受优惠后90%=380.7（元），
由（2）可知，不享受优惠时，最小为415，
∵，∴需要享受这一优惠条件．
【点睛】本题考查了函数与实际问题的应用，理解题意，学会运用函数与方程的思想是解题的关键．
22. 综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现

（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；
（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得；通过勾股定理，得；再通过勾股定理计算，记得得到答案；
（3）过点作交于点；根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．
详解】（1）由题意得，∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE
∴AD=AE
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∴∠ECD=90°，BD⊥CE．
（2）由（1）得：△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∵，BD＝2DC，即,
∴，
∵AD=AE
∴
∴∠B=∠ACB=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°
∴CD2+CE2=DE2，即，
∴；
（3）如图，过点作交于点

∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴
∴
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
23. 综合与实践
如图1，抛物线y＝﹣x2﹣x+6与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线AC的表达式；
（2）点E在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，求t的值．
【答案】（1）直线AC的表达式为；（2）点E1的坐标为；点E2的坐标为；点E3的坐标为；点E4的坐标为；（3）t的值为5．
【解析】
【分析】(1)根据，得：，解得，，进而求出直线AC的表达式；
(2)求出，，，由两点间距离公式得：，，，得到A、C、E三点形成，分为三种情况分别进行求解即可；
(3) 记OC中点D，作于点H ，过点C作AO平行线交PQ于点G，连接DG，求证，再进行求解即可．
【详解】解：(1)令，得：，
解得：，，
，，
令，得：，
，
∴直线AC的表达式：，
(2)对称轴：，
设，，，
由两点间距离公式得：
，，，
∵A、C、E、F为矩形，
∴A、C、E三点形成，
①当时，
∴，
∴，
解得：，
，
②当，
∴，
∴，
解得：，
，
③当，
∴，
∴，
解得：，，
，，
综上所述：、、、，
(3)记OC中点D，作于点H ，过点C作AO平行线交PQ于点G，连接DG，如图所示：

∵DP为角平分线
∴，
∴，，

∴，
∴，
∴，


∴，

∴，

∴，
∴，
∴，


直线AC表达式：，
，
设的解析式为：


PQ的解析式为：，
将点代入PQ得，
，
解得：，，
经检验：，都是原方程的根，但不合题意，舍去，
故
【点睛】本题考查了二次函数相关解析式，锐角三角函数的应用，属于综合题目，正确读懂题意是解题的关键．