北京市西城区2021_2022学年上学期九年级期中数学试卷（word版 含答案）

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1. 以下图形中，不是中心对称图形的是（   ）

A.            B.           C.                D.

2． 下列关于二次函数的说法正确的是（   ）

A．它的图象经过点（，）     B．它的图象的对称轴是直线      

C．  当x<0时，y随x的增大而减小  D．当x=0时，y有最大值为0

3. 如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°，

则∠BDC的度数是（   ）

A. 10°   B. 20°    C. 30°     D.40°

4. 若在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（    ）

A.     B.     C.   D.

5. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ）

A. 2+2x+2x2=18      B. 2(1+x)2=18      C. (1+x)2=18     D. 2+2(1+x)+ 2(1+x)2=18  

6. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（  ）

A.      B.       C.  D. 均不可能

7．如图7-1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛. 我们发现，

实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线. 如图7-2建立平面直角坐标系，

已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是                   ，

则该同学此次投掷实心球的成绩是（  ）

A. 2m       B. 6m        C. 8 m       D. 10 m

8. 已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y=x平行

②若此函数的图象为直线，则此函数的图象分布在第一、三、四象限

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象有可能与轴的负半轴相交

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧

所有合理推断的序号是（  ）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共8小题，共17分）

9. 二次函数的图象经过原点，则a的值为________．

10. 如图，方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的最小度数是___°.

11. 已知二次函数，若它的图象经过点，则 ___

（填“>” ,“<”或“=”）.

12. 如图，AB是⊙的直径，CD是⊙的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为   °

13. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点A（0，3），点

B（3，0），抛物线与x轴的另一交点C（－1，0），不等式－x2+2x+3>kx+b的解集为  .

14.如图14-1，舞台地面上有一段以点O为圆心的，主持人要站在的中点C的位置上．他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点  他的想法是正确的．请你先在图14-2中画出点C（不要求尺规作图），再写出确定点C所用方法的依据（填写定理原文）____________________________________．

15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是

s=60t-1.5t2. 飞机着陆后滑行_______米后才能停下来.

16．数学课上，张老师提出如下问题：

已知：如图,是⊙O的直径,射线交⊙O于.

求作：的中点D.

同学们分享了如下四种方案：

①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．

②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．

③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．

④如图4，在射线AC上截取AE，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点D．

上述四种方案中，正确的方案的序号是_____           _．

三.解答题

17. 解方程（1）         （2）x2-4x-6=0

18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
    求a的取值范围；
    当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解．

19.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)部分自变量和对应的函数值如下表：

求：这个二次函数的表达式．

20.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
求证：△AEB ≌△ADC；
连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

21．在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：

已知：如图21-1，在△ABC中，，请在图中的△ABC内（含边），画出使

的一个点P（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点P：

（1）以AB为直径，做⊙M，如图21-2；

（2）过点M作AB的垂线，交⊙M于点N；

（3）以点N为圆心，NA为半径作⊙N,分别交CA、CB边于F、 K在劣弧上任取一

点P即为所求点，如图21-3.

问题：                                                  

在（2）的操作中，可以得到∠ANB =_______°（依据：____________）填写定理原文

在（3）的操作中，可以得到∠APB =_______°（依据：____________）填写定理原文

22. 已知二次函数．

写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（方法不限，但要写出求解过程）；

在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
当时，结合图象直接写出函数y的取值范围；
若直线与抛物线没有公共点，直接写出k的取值范围．
 

23. 如图23-1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶．如图23-2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．

24.数学书上有一个数学活动，引起了小高的注意：

观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大.

91×99，92×98，…，98×92，99×91

请你先猜想，积最大的是   ×   . 你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？

25. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于

E，交BC于点F.

（1）求证：DF=BF

（2）若AC=6，⊙O的半径为5，求BD的长.

26. 已知二次函数y=ax2+bx-3a+2（a≠0）的图象经过点A（3，2）.

（1）            求该抛物线的对称轴，以及点A 的对称点B的坐标.

（2）            若该抛物线与x轴交于P（x1，0）和Q（x2，0）两点（其中x1<x2）

①若PQ=6，求a的值；

②若x1x2≤4x1，求a的取值范围.

27. 已知，如图.正方形ABCD，点F为平面内一点. 连接FC，H是FC的中点，连接DH，

将DH绕点H逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接HE、AE、EF.

（1）①补全图形

②猜想AE与EF的数量关系和位置关系，并证明你的猜想.

（2）在（1）的基础上，连接AF. 其中AB=a, AE= b，将△AEF绕点A旋转一周，直接写

出DH的最大值.

28．对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：

过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点均满

足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特

征 点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．

（1）已知点，

①在，，中，是的覆盖特征点的为___________；

②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，

求的取值范围．

（2）以点为圆心，半径为作圆，在抛物线
     上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．

草稿纸

一、选择题

1. D   2. C  3. B 4. C  5. D    6. A   7. D     8. C

二、填空题

9.        10. 90°     11.      12. 32°    13.   0＜x＜3

14. 图略.点C为弧AB的中点。连接弦AB，过O作AB 的垂线交弧AB于点C

（作出弦AB 的中点不得分；不标注点C的不得分）

垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧       

15.   600     16.  ①②③④ （写对1个，1分；写对2个或3个， 均为2分）

三、解答题

17. （1）x1=0.  x2=-3  （2）x=±√10+2

18. 解：根据题意得，解得 …3分
的最小整数值为0，
  此时方程变形为，
             ，
                  或，
                   所以，．……………2分

注：（1）得到a≥-1，导致（2）a取-1，正确求解方程的，两问各扣1分，

19．解：根据题意设y2的表达式为:．……………2分

把（0，0）代入得a=1．……………2分

∴ ……………1分

  设双根式或一般式，同等给分。解析式带入双跟或顶点时出错的，只得1分

20. 解：是等边三角形，
，．……………1分
线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，
，．
．
．

 ≌．……………2分
．……………3分
如图，
，，
为等边三角形．
，……………1分
又．
． ……………2分

21. （1）90°直径所对圆周角为90°……………2分

（2）45°同弧所对圆周角是圆心角的一半……………2分

22. （1）配方、公式、横标带入均可
；……………2分

如图……………1分

（3）．   ……………2分

（4）．  ……………1分

23. . 解：作OD⊥AB于E，交⊙O于点D，

∴AE=AB．

∵AB=8，

∴AE=4．  ……………2分

在Rt△AEO中，AO=5，

∴OE==3．……………2分

∴ED=2．……………1分

∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m.

24. （1）95×95 ……………2分

（2）设这两个两位数的个位分别是x和10-x，则这两个两位数可表示为90+x，90+10-x

y=(90+x)(90+10-x)

 =-(x+90)(x-100) 从双根式（或通过配方求得顶点坐标）可以看出，对称轴为直线x=5，当x=5时，函数有最大值……………6分

通过枚举列表得出答案的……………3分

借助二次函数图象、表格、解析式等辅助分析的……………4分

25.

（1）连接AD ，或延长DE交⊙O于点D’，推得∠1=∠2即可得证

其他方法正确均得分……………3分

（2）

由直径所对圆周角为90°，推得BC=8 ……………1分

由垂径定理得FB=4

由中位线定理得OF=3,DF=2

在Rt三角形DBF中求解BD=2√5 ……………2分

26. （1）将点A(3,2)代入二次函数解析式得：

9a+3b-3a+2=2，解得b=-2a

抛物线对称轴为：直线x=

∴对称轴为直线x=1     B(-1,2) ……………2分

（2）①由抛物线与x轴交于P(x1,0)和Q(x2,0)两点可知，

点P和点Q关于直线x=1对称.

又PQ=6，则x1=1-3=-2，x2=1+3=4

将点P(-2,0)代入二次函数解析式有

4a+4a-3a+2=0，解得a=   ……………4分

②由x1x2≤4x1可知，x1(x2-4)≤0

当a>0时，由图象可知，x2<3，则,x2-4<0，故此时需满足x1≥0

故f(0)=-3a+2≥0，f(1)=-4a+2<0，则

当a<0时，由图象可知，x1<-1，则,x1<0，故此时需满足x2≥4

故f(4)=5a+2≥0，则

综上，或  ……………7分

27.

补全图形……………1分

猜想相等且垂直  ……………1分

法一：

将△DHC绕H顺时针旋转90°，可推得四边形AEC’D为平行四边形，

再利用△DC’H≌△EFH得证

法二：

倍长EH到E’，连接DE、DE’、CE’ ，利用△DEE’为等腰直角三角形，以及中点倍长出平行四边形ECE’F，证明△DAE≌△DCE’

其他方法，正确同等给分……………5分

（2）(a+b)/√2  ……………1分

28. 解：（1）①， ．                                        ……………2分

②当时，结合函数图象可知符合题意．

当时，由题意得：

当且时，               

点为的覆盖的特征点．

又∵点在一次函数的图象上，

∴当直线过点时，解得：  

．

∴结合函数图象可知．

综上所述：．                      ……………5分

（2） 或．                                 ……………7分