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云南省昭通市鲁甸县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题 （word版 含答案）
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这是一份云南省昭通市鲁甸县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题 （word版 含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南省昭通市鲁甸县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线y＝x2﹣kx﹣2经过点（﹣1，3），则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x+2）2＝11
4．关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与性质中，不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为x＝1
C．y随x的增大而增大 D．与x轴有交点
5．昭通苹果以其香甜可口闻名全国，我省某水果批发商以每千克5元的价格对外批发昭通苹果，每到秋收季节，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克3.2元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．5（1﹣2x）＝3.2 B．5（x﹣1）＝3.2
C．5（1﹣x）2＝3.2 D．3.2（1+x）2＝5
6．如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．2a+b＞0
C．4ac＞b2 D．当x＞1时，y＞0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．抛物线y＝﹣x2+5的顶点坐标是 ．
10．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
11．已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为﹣3，则k＝ ．
12．二次函数y＝2x2的图象经过点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
13．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+1＝0有实数根，则m的最大整数值为 ．
14．已知正方形ABCD中，点E在CD边上，AD＝3，DE＝2，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．解方程．
（1）x2﹣8x﹣2＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．
（1）证明：△CFD≌△ABC；
（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．
17．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度为多少？
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5）．
（1）直接写出a﹣b+c的值；
（2）求二次函数的解析式．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于x轴对称的图形△A1B1O，并写出A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出B2的坐标．
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1．
（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的解．
21．为了巩固“脱贫攻坚”的成果，云南某驻村干部指导农户进行柑橘种植和销售，已知柑橘的种植成本为4元/千克，经市场调查发现，今年国庆期间柑橘的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（4≤x≤24）成如图所示函数关系．
（1）根据函数图象提供的信息，求y与x的函数关系式；
（2）若国庆期间销售柑橘获取的利润W元，求出销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，△PCQ的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当t＝3s时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时，S＝S△ABC？
23．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于A（﹣4，0）、B（2，6）两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，所以是中心对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
2．若抛物线y＝x2﹣kx﹣2经过点（﹣1，3），则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】把点的坐标代入函数解析式即可求得k的值．
解：∵抛物线y＝x2﹣kx﹣2经过点（﹣1，3），
∴3＝1+k﹣2，
解得k＝4，
故选：D．
3．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x+2）2＝11
【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方公式即可．
解：x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11．
故选：B．
4．关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与性质中，不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为x＝1
C．y随x的增大而增大 D．与x轴有交点
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
解：A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，此选项描述正确；
C、∵抛物线的开口向上且对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故此选项描述错误；
D、因为Δ＝16＞0，所以该函数图象与x轴有两个交点，此选项描述正确；
故选：C．
5．昭通苹果以其香甜可口闻名全国，我省某水果批发商以每千克5元的价格对外批发昭通苹果，每到秋收季节，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克3.2元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．5（1﹣2x）＝3.2 B．5（x﹣1）＝3.2
C．5（1﹣x）2＝3.2 D．3.2（1+x）2＝5
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程；
解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：5（1﹣x）2＝3.2，
故选：C．
6．如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】直接利用旋转对称图形的性质，得出对应点到旋转中心距离相等，旋转角不变进而得出答案．
解：如图所示：（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是点B．
故选：B．
7．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
【分析】利用因式分解法求出方程的解，确定出三角形周长即可．
解：方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形；
当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11．
故选：B．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．2a+b＞0
C．4ac＞b2 D．当x＞1时，y＞0
【分析】根据对称轴的位置和与y轴的交点即可判断A；根据对称轴即可判断B；根据图象与x轴的交即可判断C，根据二次函数的性质即可判断D．
解：A、∵抛物线对称轴位于y轴的右侧可得a、b异号，与y轴的负半轴相交，则c＜0，
∴abc＞0，故本选项结论正确；
B、∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，故本选项结论错误；
D、由图象可知，当x＞1时，y的值由负转为正，故本选项结论错误．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．抛物线y＝﹣x2+5的顶点坐标是 （0，5） ．
【分析】根据抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
解：∵抛物线y＝﹣x2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）．
10．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
11．已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为﹣3，则k＝ 2 ．
【分析】已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为x1＝2，设另一根是x2，运用根与系数的关系即可列方程组，求解即可．
解：已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为x1＝﹣3，设另一根是x2，
则x2•x1＝﹣3，x1+x2＝﹣k，
则另一个根x2＝1，k＝2．
故答案是：2．
12．二次函数y＝2x2的图象经过点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1 ＜ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由抛物线开口向上，然后根据离对称轴水平距离的大小求解可得．
解：∵二次函数y＝2x2中a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴．
∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，
∵|2|＞|﹣1|，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+1＝0有实数根，则m的最大整数值为 2 ．
【分析】一元二次方程有实数根即△≥0且m﹣3≠0，根据△建立关于m的不等式，求m的取值范围，进一步确定m的最大整数值．
解：由题意知，Δ＝1﹣4（m﹣3）≥0且m﹣3≠0，
∴m≤且m≠3，
∴m的最大整数值是2．
故答案为：2．
14．已知正方形ABCD中，点E在CD边上，AD＝3，DE＝2，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则DF的长为 或 ．
【分析】分两种情况：①当点F落在边BC上时，由HL证得Rt△ABF≌Rt△ADE，得出BF＝DE＝2，则CF＝BC﹣BF＝1，再由勾股定理即可求解；
②当点F落在BC的延长线上时，同理Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），得出BF＝DE＝2，则CF＝BC+BF＝5，再由勾股定理即可求解．
解：①当点F落在边BC上时，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABF＝∠AFE＝∠C＝90°，
∵线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，
∴AF＝AE，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF＝DE＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣2＝1，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝；
②当点F落在BC的延长线上时，如图2所示：
同理可证：Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF＝DE＝2，
∴CF＝BC+BF＝3+2＝5，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝；
综上所述，DF的长为或，
古故答案为：或．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．解方程．
（1）x2﹣8x﹣2＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
解：（1）x2﹣8x﹣2＝0，
x2﹣8x＝2，
x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
∴x﹣4＝，
∴x1＝4+3，x2＝4﹣3；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．
（1）证明：△CFD≌△ABC；
（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】（1）由旋转的性质可得CB＝CE，AB＝DE＝BF，由“SSS”可证△ABC≌△CFD；
（2）延长BF交CE于点G，可证BF∥ED，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，
∴CF＝AC，
∵∠BCA＝30°，
∴BA＝AC，∠A＝60°，
∴AB＝CF，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS）；
（2）延长BF交CE于点G，
由（1）得，FC＝BF，
∴∠BCF＝∠FBC＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，
∵∠DEC＝∠ABC＝90°
∴∠BGE＝∠DEC，
∴BF∥ED，
∵，AB＝DE，
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
17．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度为多少？
【分析】设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为864m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小道的宽度为x米，则（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理得：x2﹣46x+88＝0，
解得：x1＝2，x2＝44（不符合实际，舍去），
答：小道的宽度为2米．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5）．
（1）直接写出a﹣b+c的值；
（2）求二次函数的解析式．
【分析】（1）把A（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c即可求得；
（2）根据顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），然后代入B的坐标求得a的值，从而求得函数的解析式．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（﹣1，4），
∴a﹣b+c＝4；
（2）设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2+4，
代入点B（2，﹣5）可得：﹣5＝a（2+1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于x轴对称的图形△A1B1O，并写出A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出B2的坐标．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对称点A1，B1即可；
（2）根据旋转变换的性质作出A，B的的定义A2，B2即可．
解：（1）如图，△A1B1O即为所求，A1（﹣1，﹣3）；
（2）由题意，△A2B2O即为所求，B2（3，4）．
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1．
（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的解．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝4（m﹣1）2≥0，然后利用判别式的意义得到结论；
（2）先把原点坐标代入解析式求出m，再解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝4m2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣2mx+2m﹣1得2m﹣1＝0，解得m＝，
方程化为：x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
即方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的解为x1＝0，x2＝1．
21．为了巩固“脱贫攻坚”的成果，云南某驻村干部指导农户进行柑橘种植和销售，已知柑橘的种植成本为4元/千克，经市场调查发现，今年国庆期间柑橘的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（4≤x≤24）成如图所示函数关系．
（1）根据函数图象提供的信息，求y与x的函数关系式；
（2）若国庆期间销售柑橘获取的利润W元，求出销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）把点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
解：（1）由图象可知y与x之间的关系式为：y＝kx+b，
代入（8，168），（16，120），
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+216；
（2）由题意可得：
W＝（x﹣4）（﹣6x+216）＝﹣6x2+240x﹣864＝﹣6（x﹣20）2+1536，
∴当x＝20时，W的最大值为1536，
答：销售单价定为20元/千克时，获得的利润最大，最大利润为1536元．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，△PCQ的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当t＝3s时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时，S＝S△ABC？
【分析】（1）根据题意表示出AP、CQ，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出t．
解：（1）由题意得：AP＝4tcm，CQ＝2tcm，
∴CP＝（20﹣4t）cm，
∴S＝CP•CQ＝×（20﹣4t）×2t＝﹣4t2+20t（0＜t＜5）；
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝6cm，
由勾股定理得：PQ＝＝＝10（cm）；
（3）S△ABC＝×20×15＝150（cm2），
由题意，得：﹣4t2+20t＝×150，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3，
则当t为2或3时，S＝S△ABC．
23．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于A（﹣4，0）、B（2，6）两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法直接可得答案；
（2）求出AB解析式，设点D的坐标为（m，m+4），由已知得S△AOD＝S△AOB，即可解得点D的坐标为（﹣1，3）；
（3）设点P的坐标为（m，n），①当四边形AOBP是平行四边形时，AB的中点即是OP的中点，可得，解得P（﹣2，6）；②当四边形AOPB是平行四边形时，AP的中点即是OB的中点，有，解得点P的坐标为（6，6）；③当四边形APOB是平行四边形时，可得，解得点P的坐标为（﹣6，﹣6）．
解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+m，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△AOB分成面积相等的两部分，
∴S△AOD＝S△AOB，
∴×4•（m+4）＝××4×6，解得：m＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形；
设点P的坐标为（m，n），而A（﹣4，0）、B（2，6）、O（0，0），
①当四边形AOBP是平行四边形时，AB的中点即是OP的中点，如图：
∴，解得，
∴P（﹣2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，AP的中点即是OB的中点，如图：
∴，解得，
∴点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，AO的中点即是PB的中点，如图：
∴，解得，
∴点P的坐标为（﹣6，﹣6）；
综上所述，点P的坐标为（﹣2，6）或（6，6）或（﹣6，﹣6）．
2021-2022学年云南省昭通市鲁甸县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线y＝x2﹣kx﹣2经过点（﹣1，3），则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x+2）2＝11
4．关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与性质中，不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为x＝1
C．y随x的增大而增大 D．与x轴有交点
5．昭通苹果以其香甜可口闻名全国，我省某水果批发商以每千克5元的价格对外批发昭通苹果，每到秋收季节，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克3.2元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．5（1﹣2x）＝3.2 B．5（x﹣1）＝3.2
C．5（1﹣x）2＝3.2 D．3.2（1+x）2＝5
6．如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．2a+b＞0
C．4ac＞b2 D．当x＞1时，y＞0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．抛物线y＝﹣x2+5的顶点坐标是 ．
10．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
11．已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为﹣3，则k＝ ．
12．二次函数y＝2x2的图象经过点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
13．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+1＝0有实数根，则m的最大整数值为 ．
14．已知正方形ABCD中，点E在CD边上，AD＝3，DE＝2，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．解方程．
（1）x2﹣8x﹣2＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．
（1）证明：△CFD≌△ABC；
（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．
17．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度为多少？
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5）．
（1）直接写出a﹣b+c的值；
（2）求二次函数的解析式．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于x轴对称的图形△A1B1O，并写出A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出B2的坐标．
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1．
（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的解．
21．为了巩固“脱贫攻坚”的成果，云南某驻村干部指导农户进行柑橘种植和销售，已知柑橘的种植成本为4元/千克，经市场调查发现，今年国庆期间柑橘的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（4≤x≤24）成如图所示函数关系．
（1）根据函数图象提供的信息，求y与x的函数关系式；
（2）若国庆期间销售柑橘获取的利润W元，求出销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，△PCQ的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当t＝3s时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时，S＝S△ABC？
23．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于A（﹣4，0）、B（2，6）两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，所以是中心对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
2．若抛物线y＝x2﹣kx﹣2经过点（﹣1，3），则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】把点的坐标代入函数解析式即可求得k的值．
解：∵抛物线y＝x2﹣kx﹣2经过点（﹣1，3），
∴3＝1+k﹣2，
解得k＝4，
故选：D．
3．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x+2）2＝11
【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方公式即可．
解：x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11．
故选：B．
4．关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与性质中，不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为x＝1
C．y随x的增大而增大 D．与x轴有交点
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
解：A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，此选项描述正确；
C、∵抛物线的开口向上且对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故此选项描述错误；
D、因为Δ＝16＞0，所以该函数图象与x轴有两个交点，此选项描述正确；
故选：C．
5．昭通苹果以其香甜可口闻名全国，我省某水果批发商以每千克5元的价格对外批发昭通苹果，每到秋收季节，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克3.2元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．5（1﹣2x）＝3.2 B．5（x﹣1）＝3.2
C．5（1﹣x）2＝3.2 D．3.2（1+x）2＝5
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程；
解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：5（1﹣x）2＝3.2，
故选：C．
6．如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】直接利用旋转对称图形的性质，得出对应点到旋转中心距离相等，旋转角不变进而得出答案．
解：如图所示：（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是点B．
故选：B．
7．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
【分析】利用因式分解法求出方程的解，确定出三角形周长即可．
解：方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形；
当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11．
故选：B．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．2a+b＞0
C．4ac＞b2 D．当x＞1时，y＞0
【分析】根据对称轴的位置和与y轴的交点即可判断A；根据对称轴即可判断B；根据图象与x轴的交即可判断C，根据二次函数的性质即可判断D．
解：A、∵抛物线对称轴位于y轴的右侧可得a、b异号，与y轴的负半轴相交，则c＜0，
∴abc＞0，故本选项结论正确；
B、∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，故本选项结论错误；
D、由图象可知，当x＞1时，y的值由负转为正，故本选项结论错误．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．抛物线y＝﹣x2+5的顶点坐标是 （0，5） ．
【分析】根据抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
解：∵抛物线y＝﹣x2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）．
10．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
11．已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为﹣3，则k＝ 2 ．
【分析】已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为x1＝2，设另一根是x2，运用根与系数的关系即可列方程组，求解即可．
解：已知方程x2+kx﹣3＝0的一个根为x1＝﹣3，设另一根是x2，
则x2•x1＝﹣3，x1+x2＝﹣k，
则另一个根x2＝1，k＝2．
故答案是：2．
12．二次函数y＝2x2的图象经过点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1 ＜ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由抛物线开口向上，然后根据离对称轴水平距离的大小求解可得．
解：∵二次函数y＝2x2中a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴．
∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，
∵|2|＞|﹣1|，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+1＝0有实数根，则m的最大整数值为 2 ．
【分析】一元二次方程有实数根即△≥0且m﹣3≠0，根据△建立关于m的不等式，求m的取值范围，进一步确定m的最大整数值．
解：由题意知，Δ＝1﹣4（m﹣3）≥0且m﹣3≠0，
∴m≤且m≠3，
∴m的最大整数值是2．
故答案为：2．
14．已知正方形ABCD中，点E在CD边上，AD＝3，DE＝2，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则DF的长为 或 ．
【分析】分两种情况：①当点F落在边BC上时，由HL证得Rt△ABF≌Rt△ADE，得出BF＝DE＝2，则CF＝BC﹣BF＝1，再由勾股定理即可求解；
②当点F落在BC的延长线上时，同理Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），得出BF＝DE＝2，则CF＝BC+BF＝5，再由勾股定理即可求解．
解：①当点F落在边BC上时，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABF＝∠AFE＝∠C＝90°，
∵线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，
∴AF＝AE，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF＝DE＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣2＝1，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝；
②当点F落在BC的延长线上时，如图2所示：
同理可证：Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF＝DE＝2，
∴CF＝BC+BF＝3+2＝5，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝；
综上所述，DF的长为或，
古故答案为：或．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．解方程．
（1）x2﹣8x﹣2＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
解：（1）x2﹣8x﹣2＝0，
x2﹣8x＝2，
x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
∴x﹣4＝，
∴x1＝4+3，x2＝4﹣3；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．
（1）证明：△CFD≌△ABC；
（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】（1）由旋转的性质可得CB＝CE，AB＝DE＝BF，由“SSS”可证△ABC≌△CFD；
（2）延长BF交CE于点G，可证BF∥ED，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，
∴CF＝AC，
∵∠BCA＝30°，
∴BA＝AC，∠A＝60°，
∴AB＝CF，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS）；
（2）延长BF交CE于点G，
由（1）得，FC＝BF，
∴∠BCF＝∠FBC＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，
∵∠DEC＝∠ABC＝90°
∴∠BGE＝∠DEC，
∴BF∥ED，
∵，AB＝DE，
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
17．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度为多少？
【分析】设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为864m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小道的宽度为x米，则（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理得：x2﹣46x+88＝0，
解得：x1＝2，x2＝44（不符合实际，舍去），
答：小道的宽度为2米．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5）．
（1）直接写出a﹣b+c的值；
（2）求二次函数的解析式．
【分析】（1）把A（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c即可求得；
（2）根据顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），然后代入B的坐标求得a的值，从而求得函数的解析式．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（﹣1，4），
∴a﹣b+c＝4；
（2）设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2+4，
代入点B（2，﹣5）可得：﹣5＝a（2+1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于x轴对称的图形△A1B1O，并写出A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出B2的坐标．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对称点A1，B1即可；
（2）根据旋转变换的性质作出A，B的的定义A2，B2即可．
解：（1）如图，△A1B1O即为所求，A1（﹣1，﹣3）；
（2）由题意，△A2B2O即为所求，B2（3，4）．
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1．
（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的解．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝4（m﹣1）2≥0，然后利用判别式的意义得到结论；
（2）先把原点坐标代入解析式求出m，再解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝4m2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣2mx+2m﹣1得2m﹣1＝0，解得m＝，
方程化为：x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
即方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的解为x1＝0，x2＝1．
21．为了巩固“脱贫攻坚”的成果，云南某驻村干部指导农户进行柑橘种植和销售，已知柑橘的种植成本为4元/千克，经市场调查发现，今年国庆期间柑橘的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（4≤x≤24）成如图所示函数关系．
（1）根据函数图象提供的信息，求y与x的函数关系式；
（2）若国庆期间销售柑橘获取的利润W元，求出销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）把点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
解：（1）由图象可知y与x之间的关系式为：y＝kx+b，
代入（8，168），（16，120），
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+216；
（2）由题意可得：
W＝（x﹣4）（﹣6x+216）＝﹣6x2+240x﹣864＝﹣6（x﹣20）2+1536，
∴当x＝20时，W的最大值为1536，
答：销售单价定为20元/千克时，获得的利润最大，最大利润为1536元．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，△PCQ的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当t＝3s时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时，S＝S△ABC？
【分析】（1）根据题意表示出AP、CQ，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出t．
解：（1）由题意得：AP＝4tcm，CQ＝2tcm，
∴CP＝（20﹣4t）cm，
∴S＝CP•CQ＝×（20﹣4t）×2t＝﹣4t2+20t（0＜t＜5）；
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝6cm，
由勾股定理得：PQ＝＝＝10（cm）；
（3）S△ABC＝×20×15＝150（cm2），
由题意，得：﹣4t2+20t＝×150，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3，
则当t为2或3时，S＝S△ABC．
23．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于A（﹣4，0）、B（2，6）两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法直接可得答案；
（2）求出AB解析式，设点D的坐标为（m，m+4），由已知得S△AOD＝S△AOB，即可解得点D的坐标为（﹣1，3）；
（3）设点P的坐标为（m，n），①当四边形AOBP是平行四边形时，AB的中点即是OP的中点，可得，解得P（﹣2，6）；②当四边形AOPB是平行四边形时，AP的中点即是OB的中点，有，解得点P的坐标为（6，6）；③当四边形APOB是平行四边形时，可得，解得点P的坐标为（﹣6，﹣6）．
解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+m，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△AOB分成面积相等的两部分，
∴S△AOD＝S△AOB，
∴×4•（m+4）＝××4×6，解得：m＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形；
设点P的坐标为（m，n），而A（﹣4，0）、B（2，6）、O（0，0），
①当四边形AOBP是平行四边形时，AB的中点即是OP的中点，如图：
∴，解得，
∴P（﹣2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，AP的中点即是OB的中点，如图：
∴，解得，
∴点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，AO的中点即是PB的中点，如图：
∴，解得，
∴点P的坐标为（﹣6，﹣6）；
综上所述，点P的坐标为（﹣2，6）或（6，6）或（﹣6，﹣6）．
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