人教版八下数学 第17章 勾股定理证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）         做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得  .【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴ .    ∴ .【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即   ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,  ∴  . 【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴  ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即  .同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .∴ ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.  ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.  ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为                   ①∵ = ，，∴ = .     ②把②代入①，得= = .∴  . 【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b，∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT―HT = b―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，∴ ==，即 .  【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴ . 【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，∴ ，即 ，∴ . 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴ = = r + r = 2r,即 ，∴ .∴ ，即 ，∵ ，∴ ，又∵ = = = = ，∴ ，∴ ，∴ ，      ∴ .【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 假设，即假设 ，则由==可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A，∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立.∴ . 【证法15】（辛卜松证明）         设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.∴  ,∴  . 【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴ DM = EM―ED = ―a = b.又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，∠AED = 90º， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE  + ∠FAD = 90º，∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴ 点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.∵ ，  ，  ，                ，∴ ===∴  .