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天津市河北区2021届高考数学质量调查试卷（一）（一模） （解析版）
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这是一份天津市河北区2021届高考数学质量调查试卷（一）（一模） （解析版），共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，6}，则集合A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{3，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}
2．设x∈R，则“|x|＞1”是“x2＞x”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝6，在所有过点P（2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A．2B．4C．2D．2
4．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的n，p的值分别为（ ）
A．200，0.015B．100，0.010C．100，0.015D．1000，0.010
5．函数f（x）＝e|x|﹣2x2﹣1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
7．已知函数f（x）＝x2，设a＝lg54，b＝lg，c＝2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）
C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（a）＞f（b）
8．已知函数f（x）＝2cs2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）在[0，]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2sin2x的图象
9．已知函数f（x）＝，若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（1，5）C．（2，3）D．（2，5）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上．
10．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 ．
11．二项式（﹣x）6的展开式中的常数项为 ．
12．袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X，若重复5次这样的实验，则X的数学期望为 ．
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝，BC＝，AA1＝2，则三棱锥D1﹣ACD的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 ．
14．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则a+2b的最小值为 ．
15．在直角梯形ABCD中，＝（λ＞0），∠B＝60°，AD＝，E为CD中点，若＝﹣1，则||的值为 ，λ的值为 ．
三、解答题：本大共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若csA＝，求sin（2A﹣C）的值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥DA，PD⊥DC，M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，PD＝2AB＝4．
（Ⅰ）若N是棱PD的中点，求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角C﹣MN﹣D的余弦值为，求DN的长．
18．已知数列{an}是等差数列，设Sn（n∈N*）为数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，bn＞0，若a1＝3，b1＝1，b3+S2＝12，a5﹣2b2＝a3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和；
（Ⅲ）若cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HF⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若S△SMG＝6S△SHN，求直线MN的方程．
20．（16分）已知函数f（x）＝﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已如函数g（x）＝3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，6}，则集合A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{3，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}
解：集合U＝{1，2，3，4，5，6}，
A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，6}，
∴∁UB＝{3，5}，
∴集合A∪（∁UB）＝{2，3，5}．
故选：D．
2．设x∈R，则“|x|＞1”是“x2＞x”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由|x|＞1，解得x＜﹣1或x＞1，
由x2＞x，解得x＜0或x＞1，
故由|x|＞1能够推出x2＞x，
由x2＞x不能够推出|x|＞1，
故“|x|＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件，
故选：A．
3．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝6，在所有过点P（2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A．2B．4C．2D．2
解：由条件可知圆心M（1，0），半径为：，P（2，﹣1）在圆的内部，
所以|MP|＝＝，
圆C：（x﹣1）2+y2＝6，在所有过点P（2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为2＝4．
故选：B．
4．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的n，p的值分别为（ ）
A．200，0.015B．100，0.010C．100，0.015D．1000，0.010
解：利用频率之和为1可得，p×10＝1﹣（0.018+0.022+0.025+0.020+0.005）×10＝0.1，解得p＝0.01，
根据频率、频数、样本容量之间关系可得，，解得n＝100．
故选：B．
5．函数f（x）＝e|x|﹣2x2﹣1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：f（﹣x）＝e|﹣x|﹣2（﹣x）2﹣1＝e|x|﹣2x2﹣1＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，
当x＞0且x→+∞，f（x）→+∞，排除A，
当x＞0时，f（x）＝ex﹣2x2﹣1，则f′（x）＝ex﹣4x，
∵f′（0）＝1＞0，f′（1）＝e﹣4＜0，f′（10）＞0，则f′（x）＝0有两个不同的零点，
即当x＞0时，函数至少有三个单调区间，排除B，
故选：D．
6．已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
解：由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2﹣a2＝9﹣4＝5，且焦点在x轴上，
所以双曲线的方程为：＝1．
故选：A．
7．已知函数f（x）＝x2，设a＝lg54，b＝lg，c＝2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）
C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（a）＞f（b）
解：∵函数f（x）＝x2在[0，+∞）上是增函数，
b＝lg＝lg53＜a＝lg54＜1，
∴c＝2＞20＝1，
∴c＞a＞b，
∴f（c）＞f（a）＞f（b）．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝2cs2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）在[0，]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2sin2x的图象
解：因为f（x）＝2cs2ωx+sin2ωx﹣1＝cs2ωx+sin2ωx＝2cs（2ωx﹣）的最小正周期为π，
所以π＝，解得ω＝1，故A错误；
由于f（x）＝2cs（2x﹣），可得f（x）的最大值为2，故B错误；
在[0，]上，2x﹣∈[﹣，0]，故f（x）＝2cs（2x﹣）单调递增，故C正确；
将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2cs[2（x﹣）﹣]＝2cs（2x﹣），故D错误．
故选：C．
9．已知函数f（x）＝，若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（1，5）C．（2，3）D．（2，5）
解：方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0得方程f（x）＝1或f（x）＝m，
作出函数y＝f（x）的图象，如图所示，由图可知，f（x）＝1有两个根，故f（x）＝m有三个根，
故m∈（1，2）．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上．
10．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 （5，﹣3） ．
解：＝+5＝5﹣3i，对应点的坐标为（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
11．二项式（﹣x）6的展开式中的常数项为 ．
解：展开式的通项公式为T＝C，
令3r﹣12＝0，解得r＝4，
所以展开式的常数项为C＝，
故答案为：．
12．袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X，若重复5次这样的实验，则X的数学期望为 3 ．
解：设事件A为“取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则＝；
由题意可得，重复5次这样的实验，事件A发生的次数X服从二项分布，X～B（5，），
则E（X）＝5×＝3．
故答案为：；3．
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝，BC＝，AA1＝2，则三棱锥D1﹣ACD的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 16π ．
解：如图：三棱锥D1﹣ACD的体积为：＝＝．
外接球的半径为：＝2，
所以外接球的表面积为：4π×22＝16π．
故答案为：；16π．
14．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则a+2b的最小值为 9 ．
解：∵正数a，b满足2a+b＝ab，
∴＝1．
则a+2b＝（a+2b）＝5+＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，
因此a+2b的最小值为9．
15．在直角梯形ABCD中，＝（λ＞0），∠B＝60°，AD＝，E为CD中点，若＝﹣1，则||的值为 2 ，λ的值为 ．
解：根据题意作出图形如图所示：
因为∠B＝60°，AD＝，所以BC＝2，
设||＝x，则＝（+）•（+）
＝•+•+•+•
＝×2×+×（﹣）×0+2×（﹣）x+1×（﹣）×x
＝3﹣x﹣x2＝﹣1，
解得x＝2，即||＝2，
所以λ＝．
故答案为：2；．
三、解答题：本大共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若csA＝，求sin（2A﹣C）的值．
解：（Ⅰ）∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，
∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴csC＝＝，
∵0＜C＜π，
∴C＝．
（Ⅱ）由csA＝，可得sinA＝，
∴sin2A＝2sinAcsA＝，cs2A＝2cs2A﹣1＝，
∴sin（2A﹣C）＝sin2AcsC﹣cs2AsinC＝×﹣×＝．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥DA，PD⊥DC，M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，PD＝2AB＝4．
（Ⅰ）若N是棱PD的中点，求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角C﹣MN﹣D的余弦值为，求DN的长．
解：（Ⅰ）证明：∵M是棱AD的中点，N是棱PD的中点，
∴MN∥PA，
∵MN⊂平面MNC，PA⊄平面MNC，
∴PA∥平面MNC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，4），B（2，2，0），M（1，0，0），N（0，0，2），C（0，2，0），
＝（2，2，﹣4），＝（﹣1，0，2），＝（﹣1，2，0），
设平面MNC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，1，1），
设直线PB与平面MNC所成角为θ，
则直线PB与平面MNC所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
（Ⅲ）设DN＝t，0≤t≤4，则N（0，0，t），＝（﹣1，0，t），
＝（﹣1，0，0），＝（﹣1，2，0），
设平面MNC的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝2，得＝（2，1，），
平面MND的法向量＝（0，1，0），
∵二面角C﹣MN﹣D的余弦值为，
∴＝＝，
由0≤t≤4，解得t＝．
∴DN的长为．
18．已知数列{an}是等差数列，设Sn（n∈N*）为数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，bn＞0，若a1＝3，b1＝1，b3+S2＝12，a5﹣2b2＝a3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和；
（Ⅲ）若cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），
则，
化简，得，
整理，得q2+q﹣6＝0，
解得q＝﹣3（舍去），或q＝2，
∴d＝q＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*，
bn＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an•bn＝（2n+1）•2n﹣1，
令数列{an•bn}的前n项和为Tn，
则Tn＝a1b1+a2b2+…+an•bn＝3•1+5•21+7•22+…+（2n+1）•2n﹣1，
2Tn＝3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，
两式相减，可得﹣Tn＝3+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n+1）•2n
＝3+2•（21+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n
＝3+2•﹣（2n+1）•2n
＝﹣（2n﹣1）•2n﹣1，
∴Tn＝（2n﹣1）•2n+1，n∈N*．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，Sn＝3n+•2＝n（n+2），
∴＝＝﹣，
∴cn＝＝，
∴数列{cn}的前2n项和为：
c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n
＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（21+23+…+22n﹣1）
＝1﹣+
＝+．
19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HF⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若S△SMG＝6S△SHN，求直线MN的方程．
解：（Ⅰ）根据题意可得，
解得a＝2，c＝1，b＝，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（﹣1，0），G（0，2），
因为HF⊥x轴，
所以xH＝﹣1，
因为S在y轴的正半轴，
所以H在x轴上方，
因为点H在椭圆上，
所以+＝1，解得yH＝，
所以H（﹣1，），即HF＝，
因为＝，即＝，解得OS＝1，
所以S（0，1），
所以＝，
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx+1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，
所以x1+x2＝﹣①，x1x2＝②，
因为S△SMG＝6S△SHN，
所以|SM|•|SG|•sin∠MSG＝6•|HS|•|SN|•sin∠HSN，
所以|SM|•|SG|＝6|HS|•|SN|，
所以|SM|＝3|SN|，
所以＝3，
所以（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1），
即x1＝﹣3x2③，
由①②③，解得k＝±，
所以直线MN的方程为y＝x+1，y＝﹣x+1，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝0，
此时＝＝2+，不合题意．
综上可得，直线MN的方程为y＝x+1，y＝﹣x+1．
20．（16分）已知函数f（x）＝﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已如函数g（x）＝3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）＝﹣1，定义域是（0，+∞），
∴f（1）＝﹣1，f′（x）＝，f′（1）＝，
故切线方程为y+1＝（x﹣1），即2x﹣ey﹣e﹣2＝0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）＝，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得x＞e，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得f（x）的极大值是f（e）＝﹣1＝1，
即f（x）的最大值是f（e）＝1，
∵g（x）＝3x3+2ax2+1，∴g′（x）＝9x2+4ax，
令g′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣，
若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，
则x∈[1，e]时，f（x）max≤g（x）min恒成立，
①当﹣＜1即a＞﹣时，g（x）在[1，e]上单调递增，
此时g（x）min＝g（1）＝4+2a，令4+2a≥1，得a≥﹣；
②当1≤﹣≤e时，即﹣≤a≤﹣时，g（x）在[1，﹣）递减，在（﹣，e]递增，
此时g（x）min＝g（﹣）＝+1，
令+1≥1，解得a≥0，不符合题意；
③当﹣＞e即a＜﹣时，g（x）在[1，e]递减，
故g（x）min＝g（e）＝3e3+2ae+1，
令3e3+2ae+1≥1，解得a≥﹣e2，
故﹣e2≤a＜﹣；
综上，实数a的取值范围是[﹣e2，﹣）∪[﹣，+∞）．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，6}，则集合A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{3，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}
2．设x∈R，则“|x|＞1”是“x2＞x”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝6，在所有过点P（2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A．2B．4C．2D．2
4．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的n，p的值分别为（ ）
A．200，0.015B．100，0.010C．100，0.015D．1000，0.010
5．函数f（x）＝e|x|﹣2x2﹣1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
7．已知函数f（x）＝x2，设a＝lg54，b＝lg，c＝2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）
C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（a）＞f（b）
8．已知函数f（x）＝2cs2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）在[0，]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2sin2x的图象
9．已知函数f（x）＝，若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（1，5）C．（2，3）D．（2，5）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上．
10．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 ．
11．二项式（﹣x）6的展开式中的常数项为 ．
12．袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X，若重复5次这样的实验，则X的数学期望为 ．
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝，BC＝，AA1＝2，则三棱锥D1﹣ACD的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 ．
14．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则a+2b的最小值为 ．
15．在直角梯形ABCD中，＝（λ＞0），∠B＝60°，AD＝，E为CD中点，若＝﹣1，则||的值为 ，λ的值为 ．
三、解答题：本大共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若csA＝，求sin（2A﹣C）的值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥DA，PD⊥DC，M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，PD＝2AB＝4．
（Ⅰ）若N是棱PD的中点，求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角C﹣MN﹣D的余弦值为，求DN的长．
18．已知数列{an}是等差数列，设Sn（n∈N*）为数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，bn＞0，若a1＝3，b1＝1，b3+S2＝12，a5﹣2b2＝a3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和；
（Ⅲ）若cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HF⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若S△SMG＝6S△SHN，求直线MN的方程．
20．（16分）已知函数f（x）＝﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已如函数g（x）＝3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，6}，则集合A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{3，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}
解：集合U＝{1，2，3，4，5，6}，
A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，6}，
∴∁UB＝{3，5}，
∴集合A∪（∁UB）＝{2，3，5}．
故选：D．
2．设x∈R，则“|x|＞1”是“x2＞x”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由|x|＞1，解得x＜﹣1或x＞1，
由x2＞x，解得x＜0或x＞1，
故由|x|＞1能够推出x2＞x，
由x2＞x不能够推出|x|＞1，
故“|x|＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件，
故选：A．
3．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝6，在所有过点P（2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A．2B．4C．2D．2
解：由条件可知圆心M（1，0），半径为：，P（2，﹣1）在圆的内部，
所以|MP|＝＝，
圆C：（x﹣1）2+y2＝6，在所有过点P（2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为2＝4．
故选：B．
4．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的n，p的值分别为（ ）
A．200，0.015B．100，0.010C．100，0.015D．1000，0.010
解：利用频率之和为1可得，p×10＝1﹣（0.018+0.022+0.025+0.020+0.005）×10＝0.1，解得p＝0.01，
根据频率、频数、样本容量之间关系可得，，解得n＝100．
故选：B．
5．函数f（x）＝e|x|﹣2x2﹣1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：f（﹣x）＝e|﹣x|﹣2（﹣x）2﹣1＝e|x|﹣2x2﹣1＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，
当x＞0且x→+∞，f（x）→+∞，排除A，
当x＞0时，f（x）＝ex﹣2x2﹣1，则f′（x）＝ex﹣4x，
∵f′（0）＝1＞0，f′（1）＝e﹣4＜0，f′（10）＞0，则f′（x）＝0有两个不同的零点，
即当x＞0时，函数至少有三个单调区间，排除B，
故选：D．
6．已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
解：由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2﹣a2＝9﹣4＝5，且焦点在x轴上，
所以双曲线的方程为：＝1．
故选：A．
7．已知函数f（x）＝x2，设a＝lg54，b＝lg，c＝2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）
C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（a）＞f（b）
解：∵函数f（x）＝x2在[0，+∞）上是增函数，
b＝lg＝lg53＜a＝lg54＜1，
∴c＝2＞20＝1，
∴c＞a＞b，
∴f（c）＞f（a）＞f（b）．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝2cs2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）在[0，]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2sin2x的图象
解：因为f（x）＝2cs2ωx+sin2ωx﹣1＝cs2ωx+sin2ωx＝2cs（2ωx﹣）的最小正周期为π，
所以π＝，解得ω＝1，故A错误；
由于f（x）＝2cs（2x﹣），可得f（x）的最大值为2，故B错误；
在[0，]上，2x﹣∈[﹣，0]，故f（x）＝2cs（2x﹣）单调递增，故C正确；
将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2cs[2（x﹣）﹣]＝2cs（2x﹣），故D错误．
故选：C．
9．已知函数f（x）＝，若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（1，5）C．（2，3）D．（2，5）
解：方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0得方程f（x）＝1或f（x）＝m，
作出函数y＝f（x）的图象，如图所示，由图可知，f（x）＝1有两个根，故f（x）＝m有三个根，
故m∈（1，2）．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上．
10．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 （5，﹣3） ．
解：＝+5＝5﹣3i，对应点的坐标为（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
11．二项式（﹣x）6的展开式中的常数项为 ．
解：展开式的通项公式为T＝C，
令3r﹣12＝0，解得r＝4，
所以展开式的常数项为C＝，
故答案为：．
12．袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X，若重复5次这样的实验，则X的数学期望为 3 ．
解：设事件A为“取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则＝；
由题意可得，重复5次这样的实验，事件A发生的次数X服从二项分布，X～B（5，），
则E（X）＝5×＝3．
故答案为：；3．
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝，BC＝，AA1＝2，则三棱锥D1﹣ACD的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 16π ．
解：如图：三棱锥D1﹣ACD的体积为：＝＝．
外接球的半径为：＝2，
所以外接球的表面积为：4π×22＝16π．
故答案为：；16π．
14．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则a+2b的最小值为 9 ．
解：∵正数a，b满足2a+b＝ab，
∴＝1．
则a+2b＝（a+2b）＝5+＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，
因此a+2b的最小值为9．
15．在直角梯形ABCD中，＝（λ＞0），∠B＝60°，AD＝，E为CD中点，若＝﹣1，则||的值为 2 ，λ的值为 ．
解：根据题意作出图形如图所示：
因为∠B＝60°，AD＝，所以BC＝2，
设||＝x，则＝（+）•（+）
＝•+•+•+•
＝×2×+×（﹣）×0+2×（﹣）x+1×（﹣）×x
＝3﹣x﹣x2＝﹣1，
解得x＝2，即||＝2，
所以λ＝．
故答案为：2；．
三、解答题：本大共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若csA＝，求sin（2A﹣C）的值．
解：（Ⅰ）∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，
∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴csC＝＝，
∵0＜C＜π，
∴C＝．
（Ⅱ）由csA＝，可得sinA＝，
∴sin2A＝2sinAcsA＝，cs2A＝2cs2A﹣1＝，
∴sin（2A﹣C）＝sin2AcsC﹣cs2AsinC＝×﹣×＝．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥DA，PD⊥DC，M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，PD＝2AB＝4．
（Ⅰ）若N是棱PD的中点，求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角C﹣MN﹣D的余弦值为，求DN的长．
解：（Ⅰ）证明：∵M是棱AD的中点，N是棱PD的中点，
∴MN∥PA，
∵MN⊂平面MNC，PA⊄平面MNC，
∴PA∥平面MNC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，4），B（2，2，0），M（1，0，0），N（0，0，2），C（0，2，0），
＝（2，2，﹣4），＝（﹣1，0，2），＝（﹣1，2，0），
设平面MNC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，1，1），
设直线PB与平面MNC所成角为θ，
则直线PB与平面MNC所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
（Ⅲ）设DN＝t，0≤t≤4，则N（0，0，t），＝（﹣1，0，t），
＝（﹣1，0，0），＝（﹣1，2，0），
设平面MNC的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝2，得＝（2，1，），
平面MND的法向量＝（0，1，0），
∵二面角C﹣MN﹣D的余弦值为，
∴＝＝，
由0≤t≤4，解得t＝．
∴DN的长为．
18．已知数列{an}是等差数列，设Sn（n∈N*）为数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，bn＞0，若a1＝3，b1＝1，b3+S2＝12，a5﹣2b2＝a3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和；
（Ⅲ）若cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），
则，
化简，得，
整理，得q2+q﹣6＝0，
解得q＝﹣3（舍去），或q＝2，
∴d＝q＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*，
bn＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an•bn＝（2n+1）•2n﹣1，
令数列{an•bn}的前n项和为Tn，
则Tn＝a1b1+a2b2+…+an•bn＝3•1+5•21+7•22+…+（2n+1）•2n﹣1，
2Tn＝3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，
两式相减，可得﹣Tn＝3+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n+1）•2n
＝3+2•（21+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n
＝3+2•﹣（2n+1）•2n
＝﹣（2n﹣1）•2n﹣1，
∴Tn＝（2n﹣1）•2n+1，n∈N*．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，Sn＝3n+•2＝n（n+2），
∴＝＝﹣，
∴cn＝＝，
∴数列{cn}的前2n项和为：
c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n
＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（21+23+…+22n﹣1）
＝1﹣+
＝+．
19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HF⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若S△SMG＝6S△SHN，求直线MN的方程．
解：（Ⅰ）根据题意可得，
解得a＝2，c＝1，b＝，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（﹣1，0），G（0，2），
因为HF⊥x轴，
所以xH＝﹣1，
因为S在y轴的正半轴，
所以H在x轴上方，
因为点H在椭圆上，
所以+＝1，解得yH＝，
所以H（﹣1，），即HF＝，
因为＝，即＝，解得OS＝1，
所以S（0，1），
所以＝，
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx+1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，
所以x1+x2＝﹣①，x1x2＝②，
因为S△SMG＝6S△SHN，
所以|SM|•|SG|•sin∠MSG＝6•|HS|•|SN|•sin∠HSN，
所以|SM|•|SG|＝6|HS|•|SN|，
所以|SM|＝3|SN|，
所以＝3，
所以（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1），
即x1＝﹣3x2③，
由①②③，解得k＝±，
所以直线MN的方程为y＝x+1，y＝﹣x+1，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝0，
此时＝＝2+，不合题意．
综上可得，直线MN的方程为y＝x+1，y＝﹣x+1．
20．（16分）已知函数f（x）＝﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已如函数g（x）＝3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）＝﹣1，定义域是（0，+∞），
∴f（1）＝﹣1，f′（x）＝，f′（1）＝，
故切线方程为y+1＝（x﹣1），即2x﹣ey﹣e﹣2＝0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）＝，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得x＞e，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得f（x）的极大值是f（e）＝﹣1＝1，
即f（x）的最大值是f（e）＝1，
∵g（x）＝3x3+2ax2+1，∴g′（x）＝9x2+4ax，
令g′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣，
若∀x1，x2∈[1，e]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，
则x∈[1，e]时，f（x）max≤g（x）min恒成立，
①当﹣＜1即a＞﹣时，g（x）在[1，e]上单调递增，
此时g（x）min＝g（1）＝4+2a，令4+2a≥1，得a≥﹣；
②当1≤﹣≤e时，即﹣≤a≤﹣时，g（x）在[1，﹣）递减，在（﹣，e]递增，
此时g（x）min＝g（﹣）＝+1，
令+1≥1，解得a≥0，不符合题意；
③当﹣＞e即a＜﹣时，g（x）在[1，e]递减，
故g（x）min＝g（e）＝3e3+2ae+1，
令3e3+2ae+1≥1，解得a≥﹣e2，
故﹣e2≤a＜﹣；
综上，实数a的取值范围是[﹣e2，﹣）∪[﹣，+∞）．
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