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四川省广元2019届高三一诊模拟数学（理）试卷
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这是一份四川省广元2019届高三一诊模拟数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了考试时间，已知中，，点在边上，且等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试时间：120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则=（ ）
A． B． C. D．
2.若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数 满足：，当时，，那么的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4.已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
5.在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，
凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，
代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，
如图是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）
A．192 B．186 C．180 D．198
7.执行如图所示的程序框图，若=4，则输出的结果为（ ）
A.1 B. C.2 D.
8.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，
则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(π,60) D.eq \f(π,3)
9.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0 C．2 D．50
10.已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记，，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，在正方体中，点为线段的中点．
设点在线段上，直线与平面所成的角为，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知（为常数）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，那么展开式中项的系数为 ．
14.某学校分别从甲、乙两班各抽取7名同学在某次物理
测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众
数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩82分以上
的同学中选取3名组成学习经验交流小组，那么选取的
小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是 种．
15．若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是 ．
16．若函数是偶函数，是奇函数，已知，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，那么点的坐标为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.(本小题满足12分)已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，
且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；
若不存在，说明理由．
18．（本小题满分12分）已知中，，点在边上，且．
（1）若，，求；
（2）求的周长的取值范围．
19．（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．
（1）若选取的3组数据恰好是连续天的数据（=0表示数据来自互不相邻的三天），求 的分布列及期望；
（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差的线性回归方程．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：，．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若且，证明：．
请考生在22、23题中任选一题作答．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的极坐标方程是．以极点为原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线的参数方程化成普通方程；
（2）当m=0时，直线与曲线异于原点的交点为，直线与曲线异于原点的交点为，求的面积．
23. [选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数，，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若，且，证明：．
参考答案：
1-5 BACBA 6-10 ADACC 11-12 BC
13.40 14.28 15. 16.
解：，
可得x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）
时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减．
可知y=|f（x）|大致图象如图所示，设|f（x）|=t，
则|f（x）|2﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的
实数解，即为t2﹣mt﹣2m﹣3=0有两个根t1，t2，
①若t1=1，t2=0，时，t1+t2=m=1，t1•t2=﹣2m﹣3=0，不存在实数m，
②若t1=1，t2＞1时，当有一个根为1时，12﹣m﹣2m﹣3=0，m=﹣，
代入t2﹣mt﹣2m﹣3=0另一根为﹣，不符合题意．
③t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）时，
设h（t）=t2﹣mt﹣2m﹣3
h（1）=12﹣m﹣2m﹣3＞0，h（0）=﹣2m﹣3＜0
﹣＜m＜﹣，∴m的取值范围为（﹣，﹣）．故选：C
16.解：函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，
可得f（﹣x）﹣sin（﹣x+φ）=f（x）﹣sin（x+φ），
即f（﹣x）=f（x）﹣sinxcsφ﹣csxsinφ﹣sinxcsφ+csxsinφ=f（x）﹣2sinxcs ①
f（x）﹣cs（x+φ）是奇函数，
可得f（﹣x）﹣cs（﹣x+φ）+f（x）﹣cs（x+φ）=0，
f（﹣x）+f（x）﹣csxcsφ﹣sinxsinφ﹣csxcsφ+sinxsinφ=0，
即为f（﹣x）+f（x）﹣2csxcsφ=0，②
由①②可得f（x）=（sinx+csx）csφ，
导数为f′（x）=（csx﹣sinx）csφ，
∃x1∈（0，π），使得函数f（x）
在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，
可得f′（x1）•f′（x1+）=1，
可得（csx1﹣sinx1）csφ•（cs（x1+）﹣sin（x1+））csφ=1，
即为（csx1﹣sinx1）（﹣sinx1﹣csx1）cs2φ=1，
即为（sin2x1﹣cs2x1）cs2φ=1，
即有﹣cs2x1•cs2φ=1，
可得cs2φ=1，cs2x1=﹣1，
x1∈（0，π），可得x1=，
即有f（x1）=（1+0）•csφ=±1，
即P（，±1）．
故答案为：（，±1）．
17.解：（1）{an}是公差为d的等差数列，且a1=3，a4=12，
可得3+3d=12，解得d=3，
则an=3+3（n﹣1）=3n；
数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列，
可得b1﹣a1=1，b4﹣a4=8，且q3=8，解得q=2，
则{bn﹣an}的首项为1，公比q为2，
则bn﹣an=2n﹣1，
可得bn=3n+2n﹣1；
（2）证明：=
==﹣，=﹣，则前n项和Sn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=﹣＜，
由3n+3+2n递增，可得﹣递增，即有Sn≥S1=﹣=，
则：≤Sn＜．
18.解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，
则：=，
所以：=．
在△ABC中，利用正弦定理：
，
解得：=，
（2）△ABC中，利用正弦定理得：=，
所以：，=，
由于：0＜A＜120°，
则：l△ABC==，
=2+，
=，
由于：0＜A＜120°，
则：30°＜A+30°＜150°，
得到：，
所以△ABC的周长的范围是：
19.解：（1）由题意知，ξ=0，2，3；
则P（ξ=0）==，P（ξ=3）==，
∴P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=3）=，
∴ξ的分布列为：
数学期望为Eξ=0×+2×+3×=2.1；
（2）由题意，计算=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27，
（xi﹣）（yi﹣）=﹣1×（﹣2）+1×3+0×（﹣1）=5，
=（﹣1）2+12+02=2，
∴==，=﹣=27﹣×12=﹣3，
∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；
当x=10时，y=×10﹣3=22，且|22﹣23|＜2，
当x=8时，y=×8﹣3=17，且|17﹣16|＜2；
∴所求得线性回归方程是可靠的．
20
21.解：（1）由+1＞0在（﹣1，0）上恒成立．
当a＞0时，x＞﹣a，∴﹣a≤﹣1，可得a≥1．
当a＜0时，x＜﹣a，∴﹣a＞0，可得a＜0．
故a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
当a≥1时，可得f（x）在（﹣1，0）上单调递增．
当a＜0时，
f′（x）=ex+≥0在（﹣1，0）上恒成立，此时x+a＜0．
故ex（x+a）+1≤0，⇔a≤﹣e﹣x﹣x=g（x），x∈（﹣1，0），
∵g′（x）=e﹣x﹣1=＞0，∴a≤g（﹣1）=1﹣e．
综上可得：f（x）在（﹣1，0）上单调递增，实数a的取值范围是（﹣∞，1﹣e]∪[1，+∞）．
（2）证明：a∈（0，1]且x＞0，f（x）＞2x⇔ex﹣1+ln＞2x．
∵x+1，故只要证明：x＞0，ex﹣1+ln（x+1）＞2x．
令h（x）=ex﹣1+ln（x+1）﹣2x（x＞0）．
h′（x）=ex+﹣2，
h″（x）=ex﹣，即h′（x）在（0，+∞）上单调递增，h′（x）＞h′（0）=0．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）＞h（0）=0．
故a∈（0，1]且x＞0时，f（x）＞2x．
22.解：（1）线C的极坐标方程是ρ=4csθ．
转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x
直线的参数方程，
转化为直角坐标方程为：y=x﹣m．
（2）当m=0时，
求得：A（2，），B（2，﹣），
所以：=
23.解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，
可得m=1；
（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）
=3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9，
当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x/摄氏度
10
11
13
12
8
发芽y/颗
23
25
30
26
16
ξ
0
2
3
P
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试时间：120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则=（ ）
A． B． C. D．
2.若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数 满足：，当时，，那么的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4.已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
5.在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，
凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，
代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，
如图是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）
A．192 B．186 C．180 D．198
7.执行如图所示的程序框图，若=4，则输出的结果为（ ）
A.1 B. C.2 D.
8.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，
则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(π,60) D.eq \f(π,3)
9.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0 C．2 D．50
10.已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记，，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，在正方体中，点为线段的中点．
设点在线段上，直线与平面所成的角为，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知（为常数）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，那么展开式中项的系数为 ．
14.某学校分别从甲、乙两班各抽取7名同学在某次物理
测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众
数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩82分以上
的同学中选取3名组成学习经验交流小组，那么选取的
小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是 种．
15．若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是 ．
16．若函数是偶函数，是奇函数，已知，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，那么点的坐标为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.(本小题满足12分)已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，
且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；
若不存在，说明理由．
18．（本小题满分12分）已知中，，点在边上，且．
（1）若，，求；
（2）求的周长的取值范围．
19．（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．
（1）若选取的3组数据恰好是连续天的数据（=0表示数据来自互不相邻的三天），求 的分布列及期望；
（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差的线性回归方程．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：，．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若且，证明：．
请考生在22、23题中任选一题作答．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的极坐标方程是．以极点为原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线的参数方程化成普通方程；
（2）当m=0时，直线与曲线异于原点的交点为，直线与曲线异于原点的交点为，求的面积．
23. [选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数，，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若，且，证明：．
参考答案：
1-5 BACBA 6-10 ADACC 11-12 BC
13.40 14.28 15. 16.
解：，
可得x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）
时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减．
可知y=|f（x）|大致图象如图所示，设|f（x）|=t，
则|f（x）|2﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的
实数解，即为t2﹣mt﹣2m﹣3=0有两个根t1，t2，
①若t1=1，t2=0，时，t1+t2=m=1，t1•t2=﹣2m﹣3=0，不存在实数m，
②若t1=1，t2＞1时，当有一个根为1时，12﹣m﹣2m﹣3=0，m=﹣，
代入t2﹣mt﹣2m﹣3=0另一根为﹣，不符合题意．
③t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）时，
设h（t）=t2﹣mt﹣2m﹣3
h（1）=12﹣m﹣2m﹣3＞0，h（0）=﹣2m﹣3＜0
﹣＜m＜﹣，∴m的取值范围为（﹣，﹣）．故选：C
16.解：函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，
可得f（﹣x）﹣sin（﹣x+φ）=f（x）﹣sin（x+φ），
即f（﹣x）=f（x）﹣sinxcsφ﹣csxsinφ﹣sinxcsφ+csxsinφ=f（x）﹣2sinxcs ①
f（x）﹣cs（x+φ）是奇函数，
可得f（﹣x）﹣cs（﹣x+φ）+f（x）﹣cs（x+φ）=0，
f（﹣x）+f（x）﹣csxcsφ﹣sinxsinφ﹣csxcsφ+sinxsinφ=0，
即为f（﹣x）+f（x）﹣2csxcsφ=0，②
由①②可得f（x）=（sinx+csx）csφ，
导数为f′（x）=（csx﹣sinx）csφ，
∃x1∈（0，π），使得函数f（x）
在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，
可得f′（x1）•f′（x1+）=1，
可得（csx1﹣sinx1）csφ•（cs（x1+）﹣sin（x1+））csφ=1，
即为（csx1﹣sinx1）（﹣sinx1﹣csx1）cs2φ=1，
即为（sin2x1﹣cs2x1）cs2φ=1，
即有﹣cs2x1•cs2φ=1，
可得cs2φ=1，cs2x1=﹣1，
x1∈（0，π），可得x1=，
即有f（x1）=（1+0）•csφ=±1，
即P（，±1）．
故答案为：（，±1）．
17.解：（1）{an}是公差为d的等差数列，且a1=3，a4=12，
可得3+3d=12，解得d=3，
则an=3+3（n﹣1）=3n；
数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列，
可得b1﹣a1=1，b4﹣a4=8，且q3=8，解得q=2，
则{bn﹣an}的首项为1，公比q为2，
则bn﹣an=2n﹣1，
可得bn=3n+2n﹣1；
（2）证明：=
==﹣，=﹣，则前n项和Sn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=﹣＜，
由3n+3+2n递增，可得﹣递增，即有Sn≥S1=﹣=，
则：≤Sn＜．
18.解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，
则：=，
所以：=．
在△ABC中，利用正弦定理：
，
解得：=，
（2）△ABC中，利用正弦定理得：=，
所以：，=，
由于：0＜A＜120°，
则：l△ABC==，
=2+，
=，
由于：0＜A＜120°，
则：30°＜A+30°＜150°，
得到：，
所以△ABC的周长的范围是：
19.解：（1）由题意知，ξ=0，2，3；
则P（ξ=0）==，P（ξ=3）==，
∴P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=3）=，
∴ξ的分布列为：
数学期望为Eξ=0×+2×+3×=2.1；
（2）由题意，计算=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27，
（xi﹣）（yi﹣）=﹣1×（﹣2）+1×3+0×（﹣1）=5，
=（﹣1）2+12+02=2，
∴==，=﹣=27﹣×12=﹣3，
∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；
当x=10时，y=×10﹣3=22，且|22﹣23|＜2，
当x=8时，y=×8﹣3=17，且|17﹣16|＜2；
∴所求得线性回归方程是可靠的．
20
21.解：（1）由+1＞0在（﹣1，0）上恒成立．
当a＞0时，x＞﹣a，∴﹣a≤﹣1，可得a≥1．
当a＜0时，x＜﹣a，∴﹣a＞0，可得a＜0．
故a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
当a≥1时，可得f（x）在（﹣1，0）上单调递增．
当a＜0时，
f′（x）=ex+≥0在（﹣1，0）上恒成立，此时x+a＜0．
故ex（x+a）+1≤0，⇔a≤﹣e﹣x﹣x=g（x），x∈（﹣1，0），
∵g′（x）=e﹣x﹣1=＞0，∴a≤g（﹣1）=1﹣e．
综上可得：f（x）在（﹣1，0）上单调递增，实数a的取值范围是（﹣∞，1﹣e]∪[1，+∞）．
（2）证明：a∈（0，1]且x＞0，f（x）＞2x⇔ex﹣1+ln＞2x．
∵x+1，故只要证明：x＞0，ex﹣1+ln（x+1）＞2x．
令h（x）=ex﹣1+ln（x+1）﹣2x（x＞0）．
h′（x）=ex+﹣2，
h″（x）=ex﹣，即h′（x）在（0，+∞）上单调递增，h′（x）＞h′（0）=0．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）＞h（0）=0．
故a∈（0，1]且x＞0时，f（x）＞2x．
22.解：（1）线C的极坐标方程是ρ=4csθ．
转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x
直线的参数方程，
转化为直角坐标方程为：y=x﹣m．
（2）当m=0时，
求得：A（2，），B（2，﹣），
所以：=
23.解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，
可得m=1；
（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）
=3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9，
当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x/摄氏度
10
11
13
12
8
发芽y/颗
23
25
30
26
16
ξ
0
2
3
P
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