高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板08 三角恒等交换专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板08 三角恒等交换专项练习 （解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模板8三角恒等交换
一、单选题
1.（2020高三上·湖北期末）已知 θ 为锐角，且满足如 tan3θtanθ=11 ，则 tan2θ 的值为（    ）
A. 34                                          B. 43                                          C. 23                                          D. 32
【答案】 B
【解析】 tan3θ=tanθ+tan2θ1-tanθtan2θ=tanθ+2tanθ1-tan2θ1-tanθ×2tanθ1-tan2θ=3tanθ-tan3θ1-3tan2θ ，
故 tan3θtanθ=3tanθ-tan3θ1-3tan2θtanθ=3-tan2θ1-3tan2θ=11 ，故 tan2θ=14 ，
因为 θ 为锐角，故 tanθ=12 ，故 tan2θ=2×121-14=43 ，
故答案为：B.
2.（2020高三上·吉林期中）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 α ， β ，且小正方形与大正方形面积之比为 1:25 ，则 cos(α-β) 的值为（    ）

A. 2425                                         B. 1                                         C. 725                                         D. 0
【答案】 A
【解析】设大的正方形边长为1，
由小正方形与大正方形面积之比为 1:25 ，
则小正方形的边长为 15 ，
可得： cosα-sinα=15 ，①
sinβ-cosβ=15 ，②
由图可得： cosα=sinβ ， sinα=cosβ ，
① × ②可得125=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαsinβ
=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β) ，
解得 cos(α-β)=2425 .
故答案为：A
3.（2020高三上·天津月考）已知tan(α﹣β)= 25 ，tan(α+ π4 )= 14 ，则tan(β+ π4 )等于（    ）
A. 318                                     B. 1318                                     C. -322                                     D. 1322
【答案】 C
【解析】解:由题可得, tan(β+π4)=tan[(α+π4)-(α-β)]
=tan(α+π4)-tan(α-β)1+tan(α-β)tan(α-β)=14-251+14×25=-322 ,
故答案为：C
4.（2020高三上·贵州月考）2sin275°-1 的值为（     ）
A. 12                                     B. -12                                     C. 32                                     D. -32
【答案】 C
【解析】 2sin275∘-1=-(1-2sin275∘)=-cos150∘=32 .
故答案为：C
5.（2020·丹东模拟）sin75°cos75°= （    ）
A. -14                                     B. -34                                     C. 14                                     D. 34
【答案】 C
【解析】由正弦二倍角公式及诱导公式，化简可得， sin75°cos75°=12sin(2×75°)=12sin150°=12sin30°=14
故答案为：C
6.（2020高三上·山西期中）若 α,β∈(π2,π) ,且 sinα=255 , sin(α-β)=-1010 ,则 sinβ= （   ）
A. 7210                                     B. 22                                     C. 12                                     D. 110
【答案】 B
【解析】β＝α-(α﹣β)，
∵ π2 ＜α <π ， π2 ＜β <π ， ∴-π<- β＜ -π2 ，
∴ -π2< α -β<π2 ，
∵sin（ α-β ） =-1010< 0，
∴ -π2<α-β ＜0，则cos（ α-β ） =1-sin2(α-β)=1-(-1010)2=90100=31010 ，
∵sinα =255 ，
∴cosα =-1-sin2α=-1-(255)2=-525=-55 ，
则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）
=255×31010-(-55)× （ -1010 ） =302-5250=25250=22 ，
故答案为：B。
7.（2019·长春模拟）已知函数 f(x)=sin(ωx+π3)-3cos(ωx+π3)   (ω>0) 在区间 [-3π4,π2] 上单调，且在区间 [0,2π] 内恰好取得一次最大值2，则 ω 的取值范围是(    )
A. (0,23]                                 B. [14,23]                                 C. (0,34]                                 D. [14,34]
【答案】 B
【解析】 f(x)=sin(ωx+π3)-3cos(ωx+π3) =2sinωx (ω>0) ，
∴[﹣ π2ω ， π2ω ]是函数含原点的递增区间．
又∵函数在[ -3π4,π2 ]上递增，
∴[﹣ π2ω ， π2ω ]⊇[ -3π4,π2 ]，
∴得不等式组：﹣ π2ω ≤ -3π4 ，且 π2 ≤ π2ω ，
又∵ω＞0，
∴0＜ω≤ 23  ，
又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，
根据正弦函数的性质可知 14   ×   π2ω   ≤2π 且 54   ×   π2ω   >2π
可得ω∈[ 14 ， 54) ．综上：ω∈ [14,23]
故答案为：B．
8.（2019·淄博模拟）函数 f(x)=sin(2x+θ)+cos2x ，若 f(x) 最大值为 G(θ) ，最小值为 g(θ) ，则（  ）
A. ∃θ0∈R ，使 G(θ0)+g(θ0)=π                         B. ∃θ0∈R ，使 G(θ0)-g(θ0)=π
C. ∃θ0∈R ，使 |G(θ0)⋅g(θ0)|=π                          D. ∃θ0∈R ，使 |G(θ0)g(θ0)|=π
【答案】 D
【解析】 cos2x=1+cos2x2     ⇒f(x)=sin(2x+θ)+12cos2x+12
∴f(x)=sin2xcosθ+cos2xsinθ+12cos2x+12=cosθsin2x+(sinθ+12)cos2x+12   =cos2θ+(sinθ+12)2sin(2x+φ)+12=54+sinθsin(2x+φ)+12
∴G(θ)=54+sinθ+12 ， g(θ)=12-54+sinθ
A 选项： G(θ)+g(θ)=1 ，所以 A 错误；
B 选项： .
∵sinθ∈[-1,1]     ∴G(θ)-g(θ)∈[1,3] ，所以 B 错误；
C 选项： |G(θ)⋅g(θ)|=|14-54-sinθ|=|-1-sinθ|=|1+sinθ|∈[0,2] ，所以 C 错误；
D 选项：|G(θ)g(θ)|=|54+sinθ+1212-54+sinθ|=|54+sinθ+14+54+sinθ14-54-sinθ|=|32+sinθ+54+sinθ-1-sinθ|=|32+sinθ+54+sinθ1+sinθ|=|1+12+54+sinθ1+sinθ|
设 54+sinθ=t∈(12,32]     ⇒sinθ=t2-54
⇒|G(θ)g(θ)-1|=|12+t1+t2-54|=|2(2t+1)(2t+1)(2t-1)|=|22t-1| 可知： |G(θ)g(θ)|∈[2,+∞) ，所以 D 正确.
故答案为： D
二、多选题
9.（2020高三上·湖南月考）下列各式的值计算正确的是（    ）
A. sin30°cos0°=0                                    B. -sin2π6+cos276π=-1
C. 3(tan55°-tan25°)-tan55°⋅tan25°=1     D. 1-cos60°2=12
【答案】 C,D
【解析】解：对于A选项，因为 sin30°cos0°=sin30°=12 ，所以A不符合题意；
对于B选项，因为 -sin2π6+cos276π=cos2π6-sin2π6=cosπ3=12 ，所以B不符合题意；
对于C选项，因为 tan30°=tan55°-tan25°1+tan55°⋅tan25°=33 ，所以 3(tan55°-tan25°)=1+tan55°⋅tan25° ，
所以 3(tan55°-tan25°)-tan55°⋅tan25°=1 ，所以C符合题意；
对于D选项，因为 1-cos60°2=1-(1-2sin230∘)2=sin30°=12 ，所以D符合题意.
故答案为：CD.
10.（2020高三上·大东月考）若 tan2x-tan(x+π4)=5 ，则 tanx 的值可能为（    ）
A. -63                                   B. -62                                   C. 63                                   D. 62
【答案】 B,D
【解析】设 tanx=t ， ∵tan2x-tan(x+π4)=2tanx1-tan2x-tanx+11-tanx=2t1-t2-t+11-t=2t-(t+1)21-t2 =2t-(t+1)21-t2 =t2+1t2-1=5 ， ∴t2=32 ，故 tanx=t=±62 .
故答案为：BD.
11.（2021高一下·江苏期中）已知复数 z=3cosα+icos2α(0<α<2π) 的实部与虚部之和为-2，则 α 的取值可能为（    ）
A. π3                                         B. 2π3                                         C. π                                         D. 5π3
【答案】 B,C
【解析】由题得 3cosα+cos2α=-2 ，
所以 3cosα+2cos2α-1=-2 ，
所以 2cos2α+3cosα+1=0 ，
所以 cosα=-12 或 cosα=-1 ，
因为 0<α<2π ，
所以α的取值为 2π3,43π,π 。
故答案为：BC
12.（2020高一下·大丰期中）下列各式中，值为 32 的是（    ）
A. sin15°cos15°             B. cos2π6-sin2π6             C. tan30°1-tan230°             D. 1+cos60°2
【答案】 C,D
【解析】因为 sin15∘cos15∘=12sin30∘=12×12=14 ，所以A不正确；
因为 cos2π6-sin2π6 =cosπ3=12 ，所以B不正确；
因为 tan30°1-tan230° =12×2tan30∘1-tan230∘=12tan60∘=32 ，所以 C 正确；
因为 1+cos60°2 =1+122=32 ，所以D符合题意.
故答案为：CD.
三、填空题
13.（2019·上海）设a1、a2∈R，且 12+sinα1 + 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于________．
【答案】 π4
【解析】解：根据三角函数的性质，可知sinα1 ， sin2α2的范围在[﹣1，1]，
要使 12+sinα1 + 12+sin2α2 =2，
∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．
则： α1=-π2+2k1π ，k1∈Z．
2α2=-π2+2k2π ，即 α2=-π4+k2π ，k2∈Z．
那么：α1+α2=（2k1+k2）π -3π4 ，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4 ﹣（2k1+k2）π|的最小值为 π4 ．
故答案为： π4 ．
14.（2019·浙江理）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=________，b=________．
【答案】 2；1
【解析】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ （ cos2x+ sin2x）+1= sin（2x+ ）+1，∴A= ，b=1，故答案为： ；1．
15.（2020高三上·临沂期中）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 AB 、直角边 BC 、 AC ， N 为 AC 的中点，点 D 在以 AC 为直径的半圆上.已知以直角边 AC ， BC 为直径的两个半圆的面积之比为3， sin∠DAB=35 ，则 cos∠DNC= ________．

【答案】 243+750
【解析】因为以直角边 AC ， BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，
所以 AC:BC=3,∴∠CAB=π6 ,
设 ∠DAB=α ，则 π6<α<π2 ，且 ∠DNC=2(α-π6)=2α-π3 ，
由已知得： sinα=35 ，整理得 cosα=45 ，
所以 cos2α=2cos2α-1=725 ， sin2α=2425 ，
所以 cos∠DNC=cos(2α-π3)=cos2α·cosπ3+sin2αsinπ3=243+750 ，
故答案为： 243+750。
16.（2019·广西模拟）在锐角 ΔABC 中， B>π6 ， sin(A+π6)=35 ， cos(B-π6)=45 ，则 sin(A+B)= ________．
【答案】 2425
【解析】 ∵sin(A+π6)=35,∴cos(A+π6)=±45 ,因为 cos(A+π6)=-45<-12=cos120∘ , ∴A+π6>2π3⇒A>π2 (舍)， ∴cos(A+π6)=45 ，由 cos(B-π6)=45⇒sin(B-π6)=35 ,
∴sin(A+B)=sin[(A+π6)+(B-π6)]=sin(A+π6)cos(B-π6)+cos(A+π6)sin(B-π6) =35×45+45×35=2425 .
四、解答题
17.（2019·河北模拟）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 (sinA-cosA)cosC   +(cosA+sinA)sinC=2 ， D 为边 AB 上一点， BC=2 ， BD=22 .
（1）求 ΔBCD 的面积；
（2）若 DA=DC ，求角 A 的大小.
【答案】 （1）解：由 (sinA-cosA)cosC+ (cosA+sinA)sinC =2 ，可知 sinAcosC-cosAcosC +cosAsinC+sinAsinC=2 ，即 sin(A+C)-cos(A+C)=2 ⇒sinB+cosB=2 ，
即 2(22sinB+22cosB)=2 ⇒sin(B+π4)=1 .
因为在 ΔABC 中， B∈(0,π) ，所以 B+π4=π2⇒B=π4 ，所以 SΔBCD=12BC×BD×sinB =12×2×22×sinπ4= 22×22=2 .
（2）解：在 ΔBCD 中，由余弦定理，可知 DC2=BD2+BC2-2BD×BC×cosB=8+4-2×22×2×cosπ4 =8+4-2×22×2×22=4 ，所以 DC=2 ，所以 DC=BC ，所以 ∠BDC=π4 .
又由已知 DA=DC ，得 ∠A=π8 ，
故角 A 的大小为 π8 .
【解析】(1)根据题意首先整理代数式再结合两角和差的正弦、余弦公式，化简可得sin ( A + C ) − cos ( A + C ) 的值，由三角形的内角和利用诱导公式求出sinB+cosB的值，再结合两角和差的正弦公式整理可得sin ( B + π4) = 1由角的取值范围求出角B的大小进而求出三角形的面积公式。(2)根据题意结合余弦定理代入数值求出边DC的值，由已知可得出 D C = B C ， ∠ B D C = π4 ， 再由边的关系即可求出 ∠A的值。
18.（2019·朝阳模拟）在 △ABC 中，已知 sinA=55 ， b=2acosA ，
（1）若ac=5，求 △ABC 的面积；
（2）若 B 为锐角，求 sinC 的值．
【答案】 （1）解：由 b=2acosA ，得 cosA>0 ，因为 sinA=55 ，所以 cosA=255 .
因为 b=2acosA ，所以 sinB=2sinAcosA=2×55×255=45 ．
故 △ABC 的面积 S=12acsinB=2 ．
（2）解：因为 sinB=45 ，且 B 为锐角，所以 cosB=35 .
所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=11525
【解析】（1）结合题意，计算出sinB的值，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。（2）利用正弦的两角和公式，展开，计算，即可得出答案。
19.（2019·闵行模拟）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m， AD=103m ，设∠GEB=θ．

（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；
（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．
【答案】 （1）解：由题意，∠GEB=θ．∠GEF=90°．则∠AEF=90°﹣θ，
E是AB的中点，AB=20m， AD=103m ，
∴EG= 10cosθ ，EF= 10cos(90°-θ) = 10sinθ ．
FG= EG2+EF2 = 10cosθsinθ
则 l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ
定义域： (θ∈[π6，π3])
（2）解：由（1）可知则 l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ ， (θ∈[π6，π3]) ；
化简可得l= 10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ ，
令t=sinθ+cosθ= 2 sin（ θ+π4 ）．
∵ (θ∈[π6，π3]) ；
∴ θ+π4 ∈[ 5π12 ， 7π12 ]，
可得sin（ θ+π4 ）∈[ 6+24 ，1]
则：t∈[ 3+12 ， 2 ]
可得：sinθcosθ= t2-12 ，且t≠1．
那么：l= 10+10tt2-12 = 20(1+t)t2-1 = 20t-1 ．
当t= 3+12 时，长度l取得最大值为 203+20 ；
此时：t= 2 sin（ θ+π4 ）= 3+12 ，即 θ+π4 = 5π12 或 7π12
∴ θ=π6 或 π3 ，
故得 θ=π6 或 π3 时，污水净化效果最好，此时管道的长度为 203+20
【解析】（1）利用三角函数定义表示出EG和FE的长度，利用勾股定理可得长度FG．三边之和可得污水管道的长度l．（2）根据（1）中的关系式利用三角函数公式化简，利用三角函数的有界限可得l的最大值，即污水净化效果最好．
20.（2020高三上·和平期末）在 △ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 asinA=4bsinB ， ac=3(a2-b2-c2) ．
（1）求 cosA 的值；
（2）求 sin(2B+A) 的值．
【答案】 （1）解：由 asinA=4bsinB 以及正弦定理可得 a2=4b2 ，得 a=2b ，
由 ac=3(a2-b2-c2) 得 b2+c2-a2=-ac3 =-2bc3 ，
所以 b2+c2-a22bc=-33 ，所以 cosA=-33 .
（2）解：由 cosA=-33 得 sinA=1-(-33)2=63 ，
由 asinA=4bsinB 得 sinB=asinA4b=sinA2=66 ，
又 A 为钝角，所以 B 为锐角，所以 cosB=1-sin2B=1-16=306 ，
所以 sin2B=2sinBcosB=2×66×306=53 ， cos2B=2cos2B-1=2×(306)2-1 =23 ，
所以 sin(2B+A) =sin2BcosA+cos2BsinA =53×(-33)+23×63=26-159 .
【解析】（1）利用已知条件结合正弦定理推出 a=2b ，由 ac=3(a2-b2-c2) ，得 b2+c2-a2=-ac3 =-2bc3 ，再利用余弦定理求出角A的余弦值。
（2）由（1）求出角A的余弦值结合同角三角函数基本关系式，从而求出角A的正弦值，再利用已知条件结合正弦定理求出角B的正弦值，再利用三角形中角A和角B的取值范围，从而结合同角三角函数基本关系式，求出角B的余弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式，从而求出角2B的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式，从而求出 sin(2B+A) 的值 。
21.已知α∈（ π2 ，π），sinα= 55 ．
（1）求sin（ π4  +α）的值；
（2）求cos（ 5π6 ﹣2α）的值．
【答案】 （1）解：α∈（ π2 ，π），sinα= 55 ．∴cosα=﹣ 1-sin2α  = -255
sin（ π4  +α）=sin π4  cosα+cos π4  sinα= 22×(-255)+22×55  =﹣ 1010 ；
∴sin（ π4  +α）的值为：﹣ 1010
（2）解：∵α∈（ π2 ，π），sinα= 55 ．∴cos2α=1﹣2sin2α= 35 ，sin2α=2sinαcosα=﹣ 45
∴cos（ 5π6 ﹣2α）=cos 5π6  cos2α+sin 5π6  sin2α= -32×35+12×(-45)  =﹣ 4+3310 ．
cos（ 5π6 ﹣2α）的值为：﹣ 4+3310 ．
【解析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（ π4  +α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（ 5π6 ﹣2α）的值．
22. 已知函数fx=sin2x-sin2x-π6,x∈R
（1）求fx最小正周期
（2）求fx在区间-π3,π4上的最大值和最小值
【答案】 （1）π
（2）fxmax=34,fxmin=-12
【解析】（1）由已知，有fx=1-cos2x2-1-cos2x-π32=1212cos2x+32sin2x-12cos2x-34sin2x-14cos2x=12sin2x-6π,所以fx的最小周期T=2π2=π
（2）音位fx在区间-π3,-π6上是减函数，在区间-π6,π4上是增函数，f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34,所以fx在区间-π3,π4上的最大值为34 ， 最小值为-12