高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板11 圆与方程（原卷版）

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模板一、求圆的方程

1.模板解决思路

求满足一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径,待定系数法也是经常使用的方法.在一一些问题中借助平面几何中关圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用

2.模板解决步骤

①第-步根据条件，选择合适的形式，设出圆的方程.

②第二步利用条件p,列出方程(组).③第三步解方程(组),得到圆的方程.3.典型例题

知识点一、圆的一般方程

1．圆的一般方程

当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

知识点二、圆的标准方程

(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.

(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.

例题1

已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为.

（1）若，求的标准方程；

（2）求面积最小时的值.

例题2

已知经过圆上点的切线方程是.

（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；

（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，

①求证：直线AB过定点.

②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程.

模板二、求直线与圆位置关系中的参数

1.模板解决思路

直线与圆的位置关系是圆的重点内容,由于圆的特殊性，解答直线与圆的位置关系问题的方法多种多样繁简不一，要注意方法的选择，对于求参数的取值范围问题，一般将直线与圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题，然后根据距离公式列出方程(不等式(组)),解方程(不等式(组)),得解.

2.模板解决步骤

①第一步求出圆心和半径.

②第二步将直线与圆满足某种位置关系的问题转化为关于圆心和半径的几何问题.

③第三步根据几何问题 ，列出关于参数的方程(不等式(组)).

④第四步解方程(不等式(组)),求出参数的值(或取值范围).

知识点1.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

知识点2.直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

例题1

在直角坐标系中，直线的参数方程是是参数)．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（1）当时，请判断直线与曲线的位置关系；

（2）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且||，求直线的倾斜角．

例题2

已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点.

（1）若，求的面积.

（2）已知圆，过点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点分别为，，求证直线也与圆相切.

模板三、求圆与圆的位置关系中的参数

1.模板解决思路

根据两圆位置关系求参数的值或取值范围时，一般将两圆的位置关系(转化为圆心和半径的几何问题，利用距离公式列出方程(组)或不等式(组),解出所求结果.

2.模板解决步骤

①第一步将两个圆的方程写成标准方程，确定两圆的圆心和半径.

②第二步将两圆满足某种位置关系的问题转化成关于两圆圆心和半径的几何问题.

③第三步根据几何问题， 列出关于参数的方程(组)或不等式(组).

④第四步解方程(组 )或不等式(组),求出参数的值或取值范围.

知识点1.两圆的位置关系及其判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：

(2)代数法：设两圆的一般方程为

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，

联立方程得

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

例题1

已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线，是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.

例题2

已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上，

（1）判断圆与圆的位置关系；

（2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值.