高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板13 双曲线与方程专项练习 （原卷版）

模板13双曲线与方程

专项练习

一、单选题

1.已知双曲线 过第一､三象限的渐近线为l，过右焦点F作l的垂线，垂足为A，线段AF交双曲线于B，若 ，则此双曲线的离心率为（    ）           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

2.已知双曲线的方程为 ，它的一个顶点到一条渐近线的距离为 ，已知 （ 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（    ）           

A.                      B.                      C.                      D. 

3.点 为双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则双曲线的一条渐进方程是（  ）           

A.                       B.                       C.                       D. 

4.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（    ）           

A.                     B.                     C.                     D. 

5.已知双曲线  的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且  则双曲线的方程为（   ）
           

A.                     B.                     C.                     D. 

6.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A  ， B两点. 设A  ， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为（   ）         

A.                    B.                    C.                    D. 

7.设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1  ， F2  ， 离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）           

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 8

8.已知双曲线 的左､右顶点分别是 ， ，右焦点为 ，点 在过 且垂直于 轴的直线 上，当 的外接圆面积达到最小时，点 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）           

A.                         B.                         C.                         D. 

二、多选题

9.设 同时为椭圆 与双曲线 的左右焦点，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点，若（    ）           

A.  ，则  B.  ，则
C.  ，则 的取值范围是  D.  ，则 的取值范围是

10.已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，则能使双曲线C的方程为 的是（    ）           

A. 离心率为             B. 双曲线过点             C. 渐近线方程为             D. 实轴长为4

11.已知O为坐标原点， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（    ）           

A. 若 ，则双曲线的离心率   
B. 若 是面积为 的正三角形，则   
C. 若 为双曲线的右顶点， 轴，则   
D. 若射线 与双曲线的一条渐近线交于点Q，则   

12.设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（    ）           

A. 渐近线方程为        B. 渐近线方程为        C. 离心率为        D. 离心率为

三、填空题

13.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ，过双曲线的右焦点 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 、   ，若四边形 为正方形，则双曲线 的离心率为________.   

14.已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是双曲线 的半焦距，点 是圆 上一点，线段 交双曲线 的右支于点 ，且有 ， ，则双曲线 的离心率是________．   

15.已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线 上一点，且 ， 的面积为 ，则双曲线 的渐近线方程为________.   

16.已知梯形 满足 ，以 为焦点的双曲线 经过 两点．若 ，则 的离心率为________．   

四、解答题

17.在直角坐标系 中，直线 是双曲线 的一条渐近线，点 在双曲线C上，设 为双曲线上的动点，直线 与y轴相交于点P  ， 点M关于y轴的对称点为N  ， 直线 与y轴相交于点Q.   

（1）求双曲线C的方程；   

（2）在x轴上是否存在一点T？使得 ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；   

（3）求M点的坐标，使得 的面积最小.   

18.已知等轴双曲线C： (a>0，b>0)经过点( ， ).   

（1）求双曲线C的标准方程；   

（2）已知点B(0，1). 

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点， 为定值 ，求点A的坐标及实数 的值.

19.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 ，渐近线方程为 ．   

（1）求双曲线C的方程；   

（2）设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： ．   

20.已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．   

（1）求双曲线 的方程；   

（2）设过点 的直线l与曲线 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．   

21.双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在 上．当 时， ．   

（1）求 的离心率；   

（2）若 在第一象限，证明： ．   

22.已知 、 是双曲线 的两个顶点，点 是双曲线上异于 、 的一点， 为坐标原点，射线 交椭圆 于点 ，设直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 .   

（1）若双曲线 的渐近线方程是 ，且过点 ，求 的方程；   

（2）在（1）的条件下，如果 ，求 的面积；   

（3）试问： 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.