高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板14 抛物线与方程专项练习 （原卷版）

模板14抛物线与方程

专项练习

一、单选题

1.过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于 ， 两点，与抛物线的准线交于点 ，且 ， ，则 （    ）           

A. 3                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 6

2.已知抛物线 ，过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点 ， ，且抛物线的准线与 轴的交点为 ，则以下结论错误的是（    ）           

A.               B.               C.               D. 

3.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与该抛物线交于 ， 两点，直线 与该抛物线的准线交于 点，且点 为 的中点，则 等于（    ）           

A.                                          B.                                          C. 4                                         D. 2

4.已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线 上，过线段 的中点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的最小值为（   ）           

A. 1                                         B.                                          C. 2                                         D. 

5.已知抛物线 与圆 相交于A，B两点，点M为劣弧 上不同A，B的一个动点，平行于 轴的直线MN交抛物线于点N，则 的周长的取值范围为（    ）           

A. (3，5)                                 B. (5，7)                                 C. (6，8)                                 D. (6，8]

6.已知过抛物线 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， ，抛物线的准线l与x轴交于点C， 于点M，则四边形AMCF的面积为（   ）           

A.                                      B.                                      C.                                      D. 

7.已知抛物线 的焦点F是椭圆 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（    ）           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

8.如图，抛物线 和圆 ，直线 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆 四点， ，则 的值为（     ）

A.                                        B.                                        C. 1                                       D. 

二、多选题

9.已知抛物线 的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线 于点M，N，则下列说法正确的有（    ）           

A. 点F坐标为                                                   B. 抛物线 的准线方程为
C. 线段MN长为4                                                    D. 直线 与抛物线 相切

10.已知双曲线 ： 的实轴长是2，右焦点与抛物线 ： 的焦点 重合，双曲线 与抛物线 交于 、 两点，则下列结论正确的是（    ）           

A. 双曲线 的离心率为                                 B. 抛物线 的准线方程是
C. 双曲线 的渐近线方程为                D. 

11.已知 为抛物线 ： 的焦点.设 是准线上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，线段 的中点为 ，则（    ）           

A.  的最小值为4          B. 直线 过点           C.  轴          D. 线段 的中垂线过定点

12.已知抛物线 过点 则下列结论正确的是(    )           

A. 点P到抛物线焦点的距离为
B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C. 过点P与抛物线相切的直线方程为
D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值

三、填空题

13.已知F为抛物线C： 的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若 ， ，则直线FA的斜率为________．   

14.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于   ， 两点， ，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为________．   

15.已知抛物线 焦点为 为坐标原点，直线 过点 与抛物线交于 两点，与 轴交于 ，若 ，则 的面积为________.   

16.已知抛物线   与椭圆 有一个公共焦点 ，则点 的坐标是________；若抛物线的准线与椭圆交于 两点， 是坐标原点，且 是直角三角形，则椭圆 的离心率 ________.   

四、解答题

17.已知抛物线 ，过抛物线上第四象限的点 作抛物线的切线，与 轴交于点 ．过 做 的垂线，交抛物线于 、 两点，交 于点 ． 

（1）求证：直线 过定点；   

（2）若 ，求 的最小值．   

18.已知抛物线 的焦点为 ，点 ，圆 与抛物线 交于 ， 两点，直线 与抛物线交点为 .   

（1）求证：直线 过焦点 ；   

（2）过 作直线 ，交抛物线 于 ， 两点，求四边形 面积的最小值.   

19.如图所示，已知抛物线： ，F是抛物线的焦点，过F点作直线AB交抛物线于A，B两点，记A点的坐标为（ ），B点的坐标为（ ），且存在某一情况满足 =| |=2． 

（1）当 =| |=2，求AB直线的方程及p的值；   

（2）设点P的坐标为（0，t），且|AF|＜|BF|，点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平行于x轴，且PC恰好与抛物线相切．若CA，CB分别与x轴相交于D，E，设△ADF，△BEF和△ABC的面积分别为 ， ， ，求 的最大值   

20.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.   

（1）若 ，求 的面积.   

（2）已知圆 ，过点P（4,4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切.   

21.如图，已知抛物线 ，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A､C和B､D两点，且A  ， D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和P点之间. 

（1）若P为抛物线的焦点，且 ，求点A的坐标；   

（2）若P为动点，且 的面积是 面积的3倍，求 的值.   

22.已知抛物线 的焦点为F，点 ，点P为抛物线C上的动点．   

（1）若 的最小值为5，求实数a的值；   

（2）设线段 的中点为 ，其中 为坐标原点，若 ，求 的面积．