高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式（原卷版）

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模板一、利用不等式的性质求代数式的取值范围

1.模板解决思路

利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一-类常见的综合问题,解这类题目时,常利用不等式性质3的推论即“同向(异向)不等式的两边可以对应相加(相减)”。但应注意，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，得出错误答案.正确解法是先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性不等关系的运算”,求得待求的范围.

2.模板解决步骤

①第一步；把待求的代数式用已知的两个代数式表达出来，即令c=ma+nb(其中m，n为常数)，并求出m，n的值

②第二步；分别求出ma，nb的取值范围

③第三步；求出ma，nb的取值范围即得代数式c的取值范围

知识点1.不等式的性质

知识点2.比较两个实数大小的依据

如果a-b是正数，那么a>b；

如果a-b等于零，那么a=b；

如果a-b是负数，那么a<b；

还可以表示为：a-b>0a>b；  a=b<0a<b

例题1

设不等式的解集为.

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

例题2

已知函数．

（1）请写出函数在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数的图象；

（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．

模板二、利用基本不等式求最值

1. 模板解决思路

(1)运用基本不等式求最值时，要注意:

一是各项或因式为正值，

二是和或积为定值,

三是各项或因式能相等，

即“一正、二定、三相等". 这三个条件缺一不可，

(2)常用方法

①拆项、添项、配凑

此法常用在求分式型函数的最值中，

如

②常值代换

这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求的最小值”和“已知“=1

(a,b ,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.

2.模板解决步骤

①第一步；将要求最值的表达式变形为两项和或积的形式

②第二步；利用基本不等式将变形后的代数式放缩为一个定值.

③第三步；写出等号成立的条件,求出最值

知识点一、基本不等式

1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

知识点二、最值定理

(1)                                               两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0,b>0,且a+b=M,.M为定值，则ab，等号当且仅当a=b时成立

即atb=M,M为定值时,(ab )max=

(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立.

即ab=P,P为定值时,(a+b)max=2 .

例题1

已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．

例题2

已知函数，.

（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；

（2）若对于，，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.