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高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板14 抛物线与方程专项练习 （解析版）
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这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板14 抛物线与方程专项练习 （解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板14抛物线与方程
专项练习
一、单选题
1.过抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A ， B 两点，与抛物线的准线交于点 P ，且 AP=2AF ， |BF|=2 ，则 p= （ ）
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】 A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】解：如图，设准线为 l ， l 与 x 轴交点为H ， 过 A 作 AE⊥l 于 E ，过 B 作 BC⊥l 于 C .
∵AP=2AF ，
∴F 是 PA 的中点，所以 |AE|=|AF|=|PF|=12|PA| .
在 RT△PEA 中，
∵sin∠EPA=|AE||AP|=12 ，
∴∠EPA=30∘ ，即 ∠HPF=30∘ .
在 RT△PHF 中，
∵|HF|=p ， ∴|PF|=2p ，
∵△PCB∼△PHF ，且 |BC|=|BF|=2 ，
∴|BC||HF|=|PB||PF| ，即 2p=2p-22p ，解得 p=3 .
故答案为：A.
2.已知抛物线 y2=2px(p>0) ，过抛物线的焦点 F 作直线与抛物线交于两点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，且抛物线的准线与 x 轴的交点为 M ，则以下结论错误的是（ ）
A. x1x2=p24 B. OA⋅OB=-34P2 C. ∠AMB=90° D. 1|FA|+1|FB|=2p
【答案】 C
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】设过抛物线 C ： y2=2px(p>0) 的焦点 F 的直线为： x=my+p2 ，
代入抛物线方程得： y2-2pmy-p2=0 ；
由直线上两点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，
则有 y1y2=-p2 ，
x1x2=(my1+p2)(my2+p2)=m2y1y2+p2m(y1+y2)+p24=p24 ，A正确，不符合题意
OA⋅OB=x1x2+y1y2=P24-P2=-3P24 ，B正确，符合题意
∵ M 点坐标为 (-p2,0) ，故 MA=(x1+p2,y1) ， MB=(x2+p2,y2)MA⋅MB=x1x2+p2(x1+x2)+p24+y1y2=m2p2
当 m≠0 时， MA⋅MB≠0 ，即 ∠AMB≠90° ，C错误，符合题意．
由 1|FA|+1|FB|=|AB|(x1+p2)(x2+p2)=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24
=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=2p ，D正确，符合题意
故答案为：C
3.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A ， B 两点，直线 l 与该抛物线的准线交于 C 点，且点 F 为 AC 的中点，则 |AB| 等于（ ）
A. 103 B. 163 C. 4 D. 2
【答案】 B
【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0) ，准线为 x=-1 ，设准线与 x 轴交于点 E ，则 EF=2 ，过 A 作 AM 垂直准线交于点 M ，过 B 作 BN 垂直准线交于点 N ，因为点 F 为 AC 的中点，所以 AM=4 ，则 xA=3 ，设过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 的方程为 y=k(x-1) ，
与抛物线联立得 {y=k(x-1)y2=4x ，
消去 y 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ，
∴x1·x2=1 ，
设点 A(x1 ， y1) ，点 B(x2 ， y2) ，
所以 x1=3 ， x2=13
则 |AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=3+13+2=163
故答案为：B
4.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ，点 A ， B 在抛物线 C 上，过线段 AB 的中点 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，若 ∠AFB=90° ，则 |AB||MN| 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 6
【答案】 B
【考点】抛物线的定义，抛物线的应用
【解析】设 |AF|=m ， |BF|=n ，过点 A ， B 分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 A1 ， B1 ，由抛物线的定义可得 |AA1|=m ， |BB1|=n ，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 |MN|=|AA1|+|BB1|2= m+n2 ，又 ∠AFB=90° ，所以 |AB|2=m2+n2 ，所以 |AB|2|MN|2=4(m2+n2)(m+n)2=4[1-2mn(m+n)2] ，又 (m+n)2≥4mn ，所以 2mn(m+n)2≤12 ，当且仅当 m=n 时取等号，所以 |AB|2|MN|2≥4×(1-12)=2 ，即 |AB||MN|≥2 ，所以 |AB||MN| 的最小值为 2 ，故答案为：B．
5.已知抛物线 C：y2=4x 与圆 E：(x-1)2+y2=9 相交于A，B两点，点M为劣弧 AB 上不同A，B的一个动点，平行于 x 轴的直线MN交抛物线于点N，则 △MNE 的周长的取值范围为（ ）
A. (3，5) B. (5，7) C. (6，8) D. (6，8]
【答案】 C
【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质
【解析】画出图象如下图所示.圆 E 的圆心为 (1,0) ，半径为3，抛物线的焦点为 (1,0) ，准线为 x=-1 .
由 {y2=4x(x-1)2+y2=9 解得 A(2,22),B(2,-22) ，所以 2
所以 △MNE 的周长为 ME+NE+MN=3+ND+MN=3+MD .
而 MD=xm+1∈(3,5) ，所以 3+MD∈(6,8) .
也即 △MNE 周长的取值范围是 (6,8) .
故答案为：C
6.已知过抛物线 y2=42x 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， AF=3FB ，抛物线的准线l与x轴交于点C， AM⊥l 于点M，则四边形AMCF的面积为（ ）
A. 123 B. 12 C. 83 D. 63
【答案】 A
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】过 B 作 BN⊥l 于 N ，过 B 作 BK⊥AM 于 K
设 |BF|=m ， |AF|=3m ，则 |AB|=4m ， |AK|=2m
∴∠BAM=60° ∴CF=p=32m=22 ∴m=423
∴|AM|=3m=42 ， |MC|=|AF|sin60∘=3m×32=26∴SAMCF=12(|CF|+|AM|)⋅|MC|=12×(22+42)×26=123
故答案为： A
7.已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点F是椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 ΔFAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 33 D. 32
【答案】 C
【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质
【解析】由题意可知,画出几何图形如下图所示:
由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与 y 轴交于椭圆的另一焦点 F' ,则 |FF'|=2c .
由椭圆定义可知 |AF'|+|AF|=2a ,且 ΔFAB 为正三角形
所以 |AF'|=12|AF|, 则 |AF'|=2a3,|AF|=4a3
由正三角形性质可知 ΔAF'F 为直角三角形
所以 (|AF'|)2+(|FF'|)2=|AF|2
即 (2a3)2+(2c)2=(4a3)2 ,化简可得 3c2=a2
所以 e=c2a2=13=33
故答案为：C
8.如图，抛物线 y2=2px(p>0) 和圆 x2+y2-px=0 ，直线 l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆 A,B,C,D 四点， |AB|•|CD|=2 ，则 p 的值为（ ）
A. 22 B. 2 C. 1 D. 22
【答案】 A
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用
【解析】抛物线 y2=2px 焦点 F(p2,0), 准线方程为 x=-p2 ，
圆 (x-p2)2+y2=14p2 的圆心是( p2 ,0)半径r= p2 ，
过抛物线 y2=2px 的焦点F的直线依次交抛物线及圆 (x-p2)2+y2=14p2 于点A ， B ， C ， D ，
A ， D在抛物线上，B ， C在圆上
①若直线的斜率不存在,则直线方程为x= p2 ，
代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为( p2 ,p),( p2 , p2 ),( p2 ,− p2 )( p2 ,−p)，
所以|AB|⋅|CD|= 12 p⋅ 12 p=2，
解得 p=22 ；
②若直线的斜率存在,设为k,则直线方程为y=k(x− p2 )，
因为直线过抛物线的焦点( p2 ,0)，
不妨设A(x1,y1),D(x2,y2)，
由抛物线的定义,|AF|= x1+ p2 ,|DF|= x2+ p2 ，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k2x2−(pk2+2p)x+ 14p2 k2=0，
由韦达定理有x1 x2= 14p2 ，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，
所以|BF|=|CF|=r= 12 p ，
从而有|AB|=|AF|−|BF|= x1 ，
|CD|=|DF|−|CF|= x2 ，
由|AB|⋅|CD|=2,即有x1 x2=2，
由 14p2 =2,解得 p=22 .
故答案为：A.
二、多选题
9.已知抛物线 Γ:x2=4y 的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线 Γ 于点M，N，则下列说法正确的有（ ）
A. 点F坐标为 (1,0) B. 抛物线 Γ 的准线方程为 y=-1
C. 线段MN长为4 D. 直线 y=x-2 与抛物线 Γ 相切
【答案】 B,C
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】由抛物线 Γ:x2=4y ，可得 2p=4 ，即 p=2 ，且焦点在 y 轴上，所以焦点为 F(0,1) ，
准线方程为 y=-1 ，所以A不正确，B符合题意；
令 y=1 ，可得 x2=4 ，解得 x=±2 ，所以 |MN|=4 ，所以C符合题意；
联立方程组 {y=x-2x2=4y ，整理得 x2-4x+8=0 ，可得 Δ=(-4)2-4×8<0 ，
所以直线 y=x-2 与抛物线没有公共点，所以D不正确.
故答案为：BC.
10.已知双曲线 C1 ： x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长是2，右焦点与抛物线 C2 ： y2=8x 的焦点 F 重合，双曲线 C1 与抛物线 C2 交于 A 、 B 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线 C1 的离心率为 23 B. 抛物线 C2 的准线方程是 x=-2
C. 双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±3x D. |AF|+|BF|=203
【答案】 B,C
【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】由双曲线 C1 ： x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为2，可得 a=1 ，
又由抛物线 C2 ： y2=8x 的焦点 F 重合，可得双曲线的右焦点为 (2,0) ，即 c=2 ，
则 b2=c2-a2=3 ，可知双曲线 C1 ： x2-y23=1 ，
所以双曲线 C1 的离心率为 e=ca=2 ，抛物线 C2 的准线方程是 x=-2 ，
双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±3x ，
所以A不正确；B、C符合题意，
联立方程组 {y2=8x3x2-y2=3 ，解得 {x=3y=±26 ，
所以 |AF|+|BF|=xA+xB+p=3+3+4=10 ，所以D不正确.
故答案为：BC.
11.已知 F 为抛物线 C ： y2=4x 的焦点.设 P 是准线上的动点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ，则（ ）
A. |AB| 的最小值为4 B. 直线 AB 过点 F C. PM⊥y 轴 D. 线段 AB 的中垂线过定点
【答案】 A,B,C
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】由题意可得 F(1,0) ，准线 x=-1 ，设 P(-1,t) ， A(x1,y1),B(x2,y2) ，
y2=4x⇒y=±2x ，所以 y'=±1x=2y ，
不妨设 A 在 x 轴上方，则 kPA=2y1 ， kPB=2y2 ，
∴ 直线 PA ： y=2y1(x-x1)+y1 ，
直线 PB ： y=2y2(x-x2)+y2 ，
将两直线联立可得 x=y1y24=-1 ， y=y1+y22=t ，
则 y1y2=-4 ， x1x2=y12y2216=1 ，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=x12+x22-2+4(x1+x2)+8=|x1+x2+2|
又 x1+x2=y12+y224≥2|y1y2|4=2 ，
所以 |AB| 的最小值为4，A符合题意；
FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2) ，
(x1-1)y2-(x2-1)y1=(y124-1)y2-(y224-1)y1=(y1-y2)(y1y24+1)=0 ，
所以 FA,FB 共线，所以直线 AB 过点 F ，B符合题意；
因为 AB 中点的纵坐标为 y1+y22=t ，故 PM⊥y 轴，C符合题意；
由点差法可得 y12-y22=4(x1-x2) ，
∴kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2t ，
又 x1+x22=y12+y228=(y1+y2)2-2y1y28=t2+22 ，
∴AB 的垂直平分线方程为 y=-t2(x-t2+22)+t ，
故线段 AB 的中垂线不过定点，D不符合题意.
故答案为：ABC
12.已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1) 则下列结论正确的是( )
A. 点P到抛物线焦点的距离为 32
B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为 532
C. 过点P与抛物线相切的直线方程为 x-2y+1=0
D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值
【答案】 B,C,D
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】因为抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1) ，
所以 p=12 ，
所以抛物线方程为： y2=x ，焦点坐标为 F(14,0)
对于A， |PF|=1+14=54 ，A不符合题意.
对于B， kPF=43 ，所以 lPF:y=43(x-14) ，与 y2=x 联立得： 4y2-3y-1=0 ，
所以 y1+y2=34,y1y2=-14 ，
所以 S△OPQ=12|OF|⋅|y1-y2|=12×14×(y1+y2)2-4y1⋅y2=532 ，B符合题意.
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为 y-1=k(x-1) ，与 y2=x 联立得： ky2-y+1-k=0 ，
Δ=1-4k(1-k)=0 4k2-4k+1=0 ，解得 k=12 ，
所以切线方程为 x-2y+1=0 ，C符合题意.
对于D， 依题意斜率存在，设 lPM: y-1=k(x-1) ，与 y2=x 联立得： ky2-y+1-k=0 ，
所以 yM+1=1k ，即 yM=1k-1 ，则 xM=(1k-1)2 ，
所以点 M((1k-1)2,1k-1) ，同理 N((-1k-1)2,-1k-1) ，
所以 kMN=1k-1-(-1k-1)(1k-1)2-(-1k-1)2=2k-4k=-12 ，D符合题意.
故答案为：BCD
三、填空题
13.已知F为抛物线C： y2=2px(p>0) 的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若 FA⊥FB ， tan∠FAB=13 ，则直线FA的斜率为________．
【答案】 34
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】解： y2=2px(p>0) 的焦点 F(p2,0) ，准线方程为 x=-p2 ，
如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M，
由 FA⊥FB ， tan∠FAB=|BF||AF|=13 ，
可设 |AF|=3t ， |BF|=t ，
可得 ∠AFN=∠FBM ，
sin∠AFN=yA3t=sin∠FBM=pt ，
即有 yA=3p ， xA=92p ，
则直线AF的斜率为 yAxA-p2=3p4p=34 ．
故答案为： 34 ．
14.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ，直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， AF⊥BF ，线段 AB 的中点为 M ，过点 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，则 |AB||MN| 的最小值为________．
【答案】 2
【考点】抛物线的定义
【解析】如图所示，设抛物线的准线为 l ，作 AQ⊥l 于点 Q ， BP⊥l 于点 P ，
由抛物线的定义可设： |AF|=|AQ|=a,|BF|=|BP|=b ，
由勾股定理可知： |AB|=|AF|2+|BF|2=a2+b2 ，
由梯形中位线的性质可得： |MN|=a+b2 ，
则： |AB||MN|=a2+b2a+b2≥12(a+b)2a+b2=2 .
当且仅当 a=b 时等号成立.
即 |AB||MN| 的最小值为 2 .
15.已知抛物线 x2=2py(p>0) 焦点为 F,O 为坐标原点，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A,B 两点，与 x 轴交于 C(2p,0) ，若 |AB|=17 ，则 △OCF 的面积为________.
【答案】 32
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】抛物线 x2=2py(p>0) 焦点 F(0,p2) ，而直线l过点 C(2p,0) ，则直线l的斜率为 k=-14 ，其方程为 y-p2=-14x ，即 x=-4y+2p ，
由 {x=-4y+2px2=2py 消去x得 8y2-9py+2p2=0 ，
显然 Δ>0 ，设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 y1+y2=9p8 ，而 |AB|=17 ，
由抛物线定义知， |AB|=|AF|+|BF|=(y1+p2)+(y2+p2)=17p8=17 ，解得 p=8 ，
即 F(0,4) ， C(16,0) ，而 ∠FOC=90∘ ，于是得 S△OCF=12⋅|OC|⋅|OF|=32 ，
所以 △OCF 的面积为32.
故答案为：32
16.已知抛物线 C: y2=4x 与椭圆 D :x2a2+y2b2=1 (a>b>0) 有一个公共焦点 F ，则点 F 的坐标是________；若抛物线的准线与椭圆交于 A , B 两点， O 是坐标原点，且 △AOB 是直角三角形，则椭圆 D 的离心率 e= ________.
【答案】 ( 1 , 0 )；5-12
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】由抛物线的标准方程得，其焦点坐标为 ( 1 , 0 ) ，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点 F(1,0) ，且抛物线准线方程为 x=-1 ，椭圆左焦点为 ( -1 , 0 ) ，
联立 x=-c 与椭圆 x2a2+y2b2=1 ，可得 |yA|=|yB|=b2a ，
因为 △AOB 是直角三角形，所以 b2a=c ，即 b2=ac ，
又 b2=a2-c2 ，所以 a2-c2=ac ，
左右同除 a2 可得 e2+e-1=0 ，解得 e=-1±52 ，
又 e∈(0,1) ，所以椭圆 D 的离心率 e=5-12 。
故答案为： ( 1 , 0 ) ； 5-12。
四、解答题
17.已知抛物线 E:x2=-2y ，过抛物线上第四象限的点 A 作抛物线的切线，与 x 轴交于点 M ．过 M 做 OA 的垂线，交抛物线于 B 、 C 两点，交 OA 于点 D ．
（1）求证：直线 BC 过定点；
（2）若 MB⋅MC≥2 ，求 |AD|⋅|AO| 的最小值．
【答案】 （1）证明：由题意，抛物线 E:x2=-2y ，则 y=-12x2 ，可得 y'=-x ，
设 A(2t,-2t2)(t>0) ，则 kAM=y'|x=2t=-2t ，
所以 lAM:y+2t2=-2t(x-2t) ，即 y=-2tx+2t2 ，所以 M(t,0) ，
又 kOA=-2t22t=-t ，所以 kBC=1t ，所以 lBC:y-0=1t(x-t) ，即 y=1tx-1 ，
所以直线 BC 过定点 (0,-1) ．
（2）解：联立方程 {y=1tx-1x2=-2y ，整理得 x2+2tx-2=0 ，
设 B(x1,y1) ， C(x2,y2) ，则 x1+x2=-2t ， x1x2=-2 ，
则 MB⋅MC=(x1-t,y1)⋅(x2-t,y2)=(x1-t)(x2-t)+y1y2
=x1x2-t(x1+x2)+t2+14x12x22=1+t2≥2 ，所以 t2≥1 ，
又由 |AD|=|1t⋅2t+2t2-1|1+1t2=2t2+1t2+1⋅t ， |AO|=(2t)2+(2t2)2=2t1+t2 ，
所以 |AD|⋅|AO|=2t2+1t2+1⋅t⋅2t⋅1+t2=(2t2+12)2-14 ，
因为 2t2≥2 ，所以当 2t2=2 ，即 t=1 时， |AD|⋅|AO| 的最小值是 6 ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 （1）设切点A的坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到切线方程，从而求出直线BC的方程，即可证明；
（2）联立直线与抛物线的方程， 设 B(x1,y1) ， C(x2,y2) ， 得到韦达定理，将 MB⋅MC≥2 利用向量的坐标表示出来，得到t的取值范围，利用点到直线的距离公式以及两点间距离公式得到 |AD|⋅|AO| 关于t的表达式，由二次函数的性质求解最值即可．
18.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，点 E(-1,0) ，圆 x2+y2=r2(r>0) 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，直线 BE 与抛物线交点为 D .
（1）求证：直线 AD 过焦点 F ；
（2）过 F 作直线 MN⊥AD ，交抛物线 C 于 M ， N 两点，求四边形 ANDM 面积的最小值.
【答案】 （1）由题意，设 A(x0,y0) ， B(x0-y0) ，
直线 BE 的方程为 y=-y0x0+1(x+1) ，
联立 {y=-y0x0+1(x+1)y2=4x ，得 y04y2+(x0+1)y+y0=0 ，
由题意可得，该方程有一个根为 -y0 ，
由韦达定理得 -y0yD=4 ， yD=-4y0 ，所以 D(4y02,-4y0) ，
则直线 FD 的斜率为 4y01-4y02=4y0y02-4 ，直线 AF 的斜率为 y0y024-1=4y0y02-4 ，
所以 kAF=kFD ，故 A ， F ， D 三点共线，所以直线 AD 过焦点 F .
（2）设直线 AD 方程为 y=k(x-1) ，则直线 MN 的方程为 y=-1k(x-1) ，
联立 {y=k(x-1)y2=4x ，得 k2x-(2k2+4)x+k2=0 ，
设 A(x1,y1) ， D(x2,y2) ，则 x1+x2=2k2+4k2=2+4k2 ，
所以 |AD|=x1+x2+2=4+4k2 ，同理可得 |MN|=4+4k2 ，
所以四边形 ANDM 面积为
S=12|MN|⋅|AD|=12(4+4k2)(4+4k2)=8(2+1k2+k2)≥32 ，
当且仅当 k=±1 时，四边形 ANDM 面积取得最小值，最小值为32.
【考点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】（1） 直线 FD 的斜率与直线 AF 的斜率相等来证明三点共线即可。
（2） 将直线 MN 的方程 于抛物线方程联立，根据根与系数的关系可得 |AD|=x1+x2+2=4+4k2 ，同理可得 |MN|=4+4k2 ， 代入面积公式，利用基本不等式求解最小值。
19.如图所示，已知抛物线： y2=2px（p>0） ，F是抛物线的焦点，过F点作直线AB交抛物线于A，B两点，记A点的坐标为（ x1，y1 ），B点的坐标为（ x2，y2 ），且存在某一情况满足 yA =| yB |=2．
（1）当 y1 =| y2 |=2，求AB直线的方程及p的值；
（2）设点P的坐标为（0，t），且|AF|＜|BF|，点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平行于x轴，且PC恰好与抛物线相切．若CA，CB分别与x轴相交于D，E，设△ADF，△BEF和△ABC的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ，求 S1·S2S32 的最大值
【答案】 （1）由题意易得AB直线方程：x= p2
将y=2与x= p2 代入抛物线方程：4 =2·p22 ，得p=2-
AB直线方程：x=1
（2）设C：（ xC，yC ），直线AB方程为y=-t（x-1）（t＞0）
将AB方程与抛物线联立，解得 y1+y2=-4t，y1y2=-4 ，
则 |AB| =4（1+t2）t2 ，
设直线PC方程为y=kx+t，将PC方程与抛物线联立，得 ky2-4y+4t=0
由相切可得 Δ=0 ，化简得 kt=1 ，将 k=1t 代入，解得C：（ t2，2t） ，
C到直线AB的距离 d=|t3+t|t2+1 ，
由直线AC方程（ y1+y3 ）y=4x+ y1y3 ，当y=0时，解得 xD=-y1y34 ，
同理直线BC方程（ y2+y3 ）y=4x+ y2y3 ，解得 xE=-y2y34 ，
故 S1·S2 = 12（xE - xD ）·（ y1-y2 ）= 164|(4+y1y3)(4+y3y2)y1y2 |=1+ t2 ，
S3 = 12|AB|·d=2（t2+1）32|t| ，故 S1·S2S32=1+t24（t2+1）3t2=14·（1+t2）t2（t2+1）3=14·1（t+1t）2≤116 ，
当且仅当 t=1 时等号成立，
故 S1·S2S32 的最大值为 116 .
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）由题意知A,B关于x轴对称，即可求解；
（2） 设C：（ xC，yC ） ， 直线AB方程为y=-t（x-1）（t＞0），分别计算 S1 ， S2 ， S3 ，化简即可。
20.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，直线 l:y=2x+a 与抛物线 C 交于 A ， B 两点.
（1）若 a=-1 ，求 △FAB 的面积.
（2）已知圆 M:(x-3)2+y2=4 ，过点P（4,4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切.
【答案】 （1）解：抛物线的焦点为F(1,0)，设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，
把 y=2x-1 方程代入抛物线 y2=4x ，
可得 4x2-8x+1=0 ，∴x1+x2=2,x1⋅x2=14,
∴|AB|=1+k2|x2-x1|=5(x1+x2)2-4x1x1=15 ,
点F到直线 l 的距离 d=15 ，∴S△ABF=12|AB|d=12×15×15=32
（2）解：设过点P的直线方程为 x=t(y-4)+4 ，
由直线与圆M相切得 |4t-1|1+t2=2 ，可得 12t2-8t-3=0 ，
设切线 PD,PE 的斜率分别为 t1,t2 ，则 t1+t2=23,t1t2=-14 ，
把 x=t(y-4)+4 代入抛物线方程可得 y2-4ty+16t-16=0 ,
则4， y1 是方程 y2-4ty+16t-16=0 的两根,
可得 y1=4t1-4 ,同理 y2=4t2-4 .
则有D（4（t1-1）2,4t1-4），E（4（t2-1）2,4t2-4）
直线DE： y-(4t1-4)=1t2+t1-2[x-4(t1-1)2],
即为 y-(4t1-4)=-34[x-4(t1-1)2]
则圆心 (3,0) 到直线DE的距离为 d=|-34[3-4(t1-1)2]+4t1-4|1+(34)2=15|12t12-8t1-13| ，
由 12t12-8t1-3=0 ，代入上式，化简可得 d=2 ，
所以直线DE与圆M相切.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）利用抛物线标准方程确定焦点位置，从而求出焦点坐标，再利用直线 l:y=2x+a 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式求出AB两点的距离，再利用点到直线的距离公式求出焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式求出三角形 △FAB 的面积 。
（2）利用点斜式设出设过点P的直线方程为 x=t(y-4)+4 ， 设切线 PD,PE 的斜率分别为 t1,t2 ， 再利用直线与圆相切的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，再结合韦达定理得出 t1+t2=23,t1t2=-14 ， 利用过点 P(4,4) 作圆 M 的两条切线，与曲线 C 交于另外两点分别为 D ， E ， 联立直线与切线的方程求出点D,E的坐标，进而利用两点式求出直线CD的方程，再利用点到直线的距离公式结合代入法求出圆心 (3,0) 到直线DE的距离，再利用直线与圆位置关系判断方法，从而 证出直线 DE 也与圆 M 相切。
21.如图，已知抛物线 y2=4x ，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A､C和B､D两点，且A ， D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和P点之间.
（1）若P为抛物线的焦点，且 |AP|=3 ，求点A的坐标；
（2）若P为动点，且 △CDP 的面积是 △ABP 面积的3倍，求 |OP||OE| 的值.
【答案】 （1）解：设 A(x,y) ，根据抛物线的定义，可得 |AP|=x+1=3 ，所以 x=2 ，可得 y2=8 ，
因为点A在第一象限，所以 y=22 ，所以点A的坐标为 (2,22)
（2）解：设 A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) ， E(e,0), P(m,0) ，
由于 SΔAPDSΔAPB=|PD||PB|, SΔAPDSΔCPD=|AP||PC| ，且 SΔCPD=3SΔAPB ，
所以 |PD||PB|=3|AP||PC| ，所以 -y4y2=-y1y3 ，所以 y3y4=3y1y2 .
假设有过点 (n,0) 的直线 l:x=ty+n 交抛物线 y2=4x 于M，N两点，
联立消去x的 y2-4ty-4n=0 ，则有 yM+yN=4t ， yMyN=-4n ，(*)
由(*)式可知 y1y3=-4m ， y2y4=-4m ， y1y2=-4e .
所以 y3y4=(-4my1)⋅(-4my2)=-16m24e=-4m2e=-12e=3y1y2 ，
所以 m=3e ，所以 |OP||OE|=me=3
【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】(1)由抛物线的定义即可求出|AP|=x+1=3 ， 整理计算出x=2 ， 从而得到抛物线的方程，对x赋值计算出点的坐标即可。
(2)根据题意由设而不求发设出点的坐标，再由已知条件整理得到SΔAPDSΔAPB=|PD||PB|, SΔAPDSΔCPD=|AP||PC|
|PD||PB|=3|AP||PC|即y3y4=3y1y2 ， 由假设法：由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，即
y1y3=-4m ， y2y4=-4m ， y1y2=-4e整理得到y3y4=(-4my1)⋅(-4my2)=-16m24e=-4m2e=-12e=3y1y2 ， 由此求出m=3e进而得出答案。
22.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为F，点 A(a,3) ，点P为抛物线C上的动点．
（1）若 |PA|+|PF| 的最小值为5，求实数a的值；
（2）设线段 OP 的中点为 M ，其中 O 为坐标原点，若 ∠MOA=∠MAO=∠AOF ，求 ΔOPA 的面积．
【答案】 （1）解：由题， F(1,0) ，若线段 AF 与抛物线 C 没有公共点，即 a>94 时，
设点P在抛物线准线 x=-1 上的射影为 D ，
则 D,P,A 三点共线时，
|PA|+|PF| 的最小值为 |AD|=a-(-1)=5 ，此时 a=4;
若线段 AF 与抛物线 C 有公共点，即 a≤94 时，
则 A,P,F 三点共线时， |PA|+|PF| 的最小值为：
|PF|=(a-1)2+32=5 ，此时 a=-3
综上，实数 a 的值为 -3 或 4 .
（2）解：因为 ∠MOA=∠MAO=∠AOF ，
所以 MA//x 轴且 MO=MA=MP，
设 M(t,3) ，则 P(2t,6) ，代入抛物线 C 的方程解得 2t=9,
于是 MO=MA=MP=3132 ，
所以 SΔOPA=12MA·yp=9132
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）分类讨论，当 a>94 时，线段 AF 与抛物线 C 没有公共点，设点 P 在抛物线准线 x=-1 上的射影为 D ，当 D,P,A 三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当 a≤94 时，线段 AF 与抛物线 C 有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.（2）由题意可得 MA//x 轴且 MO=MA=MP， 设 M(t,3) ，则 P(2t,6) ，代入抛物线方程求出 M,P ，再利用三角形的面积公式即可求解.
模板14抛物线与方程
专项练习
一、单选题
1.过抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A ， B 两点，与抛物线的准线交于点 P ，且 AP=2AF ， |BF|=2 ，则 p= （ ）
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】 A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】解：如图，设准线为 l ， l 与 x 轴交点为H ， 过 A 作 AE⊥l 于 E ，过 B 作 BC⊥l 于 C .
∵AP=2AF ，
∴F 是 PA 的中点，所以 |AE|=|AF|=|PF|=12|PA| .
在 RT△PEA 中，
∵sin∠EPA=|AE||AP|=12 ，
∴∠EPA=30∘ ，即 ∠HPF=30∘ .
在 RT△PHF 中，
∵|HF|=p ， ∴|PF|=2p ，
∵△PCB∼△PHF ，且 |BC|=|BF|=2 ，
∴|BC||HF|=|PB||PF| ，即 2p=2p-22p ，解得 p=3 .
故答案为：A.
2.已知抛物线 y2=2px(p>0) ，过抛物线的焦点 F 作直线与抛物线交于两点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，且抛物线的准线与 x 轴的交点为 M ，则以下结论错误的是（ ）
A. x1x2=p24 B. OA⋅OB=-34P2 C. ∠AMB=90° D. 1|FA|+1|FB|=2p
【答案】 C
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】设过抛物线 C ： y2=2px(p>0) 的焦点 F 的直线为： x=my+p2 ，
代入抛物线方程得： y2-2pmy-p2=0 ；
由直线上两点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，
则有 y1y2=-p2 ，
x1x2=(my1+p2)(my2+p2)=m2y1y2+p2m(y1+y2)+p24=p24 ，A正确，不符合题意
OA⋅OB=x1x2+y1y2=P24-P2=-3P24 ，B正确，符合题意
∵ M 点坐标为 (-p2,0) ，故 MA=(x1+p2,y1) ， MB=(x2+p2,y2)MA⋅MB=x1x2+p2(x1+x2)+p24+y1y2=m2p2
当 m≠0 时， MA⋅MB≠0 ，即 ∠AMB≠90° ，C错误，符合题意．
由 1|FA|+1|FB|=|AB|(x1+p2)(x2+p2)=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24
=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=2p ，D正确，符合题意
故答案为：C
3.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A ， B 两点，直线 l 与该抛物线的准线交于 C 点，且点 F 为 AC 的中点，则 |AB| 等于（ ）
A. 103 B. 163 C. 4 D. 2
【答案】 B
【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0) ，准线为 x=-1 ，设准线与 x 轴交于点 E ，则 EF=2 ，过 A 作 AM 垂直准线交于点 M ，过 B 作 BN 垂直准线交于点 N ，因为点 F 为 AC 的中点，所以 AM=4 ，则 xA=3 ，设过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 的方程为 y=k(x-1) ，
与抛物线联立得 {y=k(x-1)y2=4x ，
消去 y 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ，
∴x1·x2=1 ，
设点 A(x1 ， y1) ，点 B(x2 ， y2) ，
所以 x1=3 ， x2=13
则 |AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=3+13+2=163
故答案为：B
4.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ，点 A ， B 在抛物线 C 上，过线段 AB 的中点 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，若 ∠AFB=90° ，则 |AB||MN| 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 6
【答案】 B
【考点】抛物线的定义，抛物线的应用
【解析】设 |AF|=m ， |BF|=n ，过点 A ， B 分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 A1 ， B1 ，由抛物线的定义可得 |AA1|=m ， |BB1|=n ，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 |MN|=|AA1|+|BB1|2= m+n2 ，又 ∠AFB=90° ，所以 |AB|2=m2+n2 ，所以 |AB|2|MN|2=4(m2+n2)(m+n)2=4[1-2mn(m+n)2] ，又 (m+n)2≥4mn ，所以 2mn(m+n)2≤12 ，当且仅当 m=n 时取等号，所以 |AB|2|MN|2≥4×(1-12)=2 ，即 |AB||MN|≥2 ，所以 |AB||MN| 的最小值为 2 ，故答案为：B．
5.已知抛物线 C：y2=4x 与圆 E：(x-1)2+y2=9 相交于A，B两点，点M为劣弧 AB 上不同A，B的一个动点，平行于 x 轴的直线MN交抛物线于点N，则 △MNE 的周长的取值范围为（ ）
A. (3，5) B. (5，7) C. (6，8) D. (6，8]
【答案】 C
【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质
【解析】画出图象如下图所示.圆 E 的圆心为 (1,0) ，半径为3，抛物线的焦点为 (1,0) ，准线为 x=-1 .
由 {y2=4x(x-1)2+y2=9 解得 A(2,22),B(2,-22) ，所以 2
所以 △MNE 的周长为 ME+NE+MN=3+ND+MN=3+MD .
而 MD=xm+1∈(3,5) ，所以 3+MD∈(6,8) .
也即 △MNE 周长的取值范围是 (6,8) .
故答案为：C
6.已知过抛物线 y2=42x 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， AF=3FB ，抛物线的准线l与x轴交于点C， AM⊥l 于点M，则四边形AMCF的面积为（ ）
A. 123 B. 12 C. 83 D. 63
【答案】 A
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】过 B 作 BN⊥l 于 N ，过 B 作 BK⊥AM 于 K
设 |BF|=m ， |AF|=3m ，则 |AB|=4m ， |AK|=2m
∴∠BAM=60° ∴CF=p=32m=22 ∴m=423
∴|AM|=3m=42 ， |MC|=|AF|sin60∘=3m×32=26∴SAMCF=12(|CF|+|AM|)⋅|MC|=12×(22+42)×26=123
故答案为： A
7.已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点F是椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 ΔFAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 33 D. 32
【答案】 C
【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质
【解析】由题意可知,画出几何图形如下图所示:
由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与 y 轴交于椭圆的另一焦点 F' ,则 |FF'|=2c .
由椭圆定义可知 |AF'|+|AF|=2a ,且 ΔFAB 为正三角形
所以 |AF'|=12|AF|, 则 |AF'|=2a3,|AF|=4a3
由正三角形性质可知 ΔAF'F 为直角三角形
所以 (|AF'|)2+(|FF'|)2=|AF|2
即 (2a3)2+(2c)2=(4a3)2 ,化简可得 3c2=a2
所以 e=c2a2=13=33
故答案为：C
8.如图，抛物线 y2=2px(p>0) 和圆 x2+y2-px=0 ，直线 l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆 A,B,C,D 四点， |AB|•|CD|=2 ，则 p 的值为（ ）
A. 22 B. 2 C. 1 D. 22
【答案】 A
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用
【解析】抛物线 y2=2px 焦点 F(p2,0), 准线方程为 x=-p2 ，
圆 (x-p2)2+y2=14p2 的圆心是( p2 ,0)半径r= p2 ，
过抛物线 y2=2px 的焦点F的直线依次交抛物线及圆 (x-p2)2+y2=14p2 于点A ， B ， C ， D ，
A ， D在抛物线上，B ， C在圆上
①若直线的斜率不存在,则直线方程为x= p2 ，
代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为( p2 ,p),( p2 , p2 ),( p2 ,− p2 )( p2 ,−p)，
所以|AB|⋅|CD|= 12 p⋅ 12 p=2，
解得 p=22 ；
②若直线的斜率存在,设为k,则直线方程为y=k(x− p2 )，
因为直线过抛物线的焦点( p2 ,0)，
不妨设A(x1,y1),D(x2,y2)，
由抛物线的定义,|AF|= x1+ p2 ,|DF|= x2+ p2 ，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k2x2−(pk2+2p)x+ 14p2 k2=0，
由韦达定理有x1 x2= 14p2 ，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，
所以|BF|=|CF|=r= 12 p ，
从而有|AB|=|AF|−|BF|= x1 ，
|CD|=|DF|−|CF|= x2 ，
由|AB|⋅|CD|=2,即有x1 x2=2，
由 14p2 =2,解得 p=22 .
故答案为：A.
二、多选题
9.已知抛物线 Γ:x2=4y 的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线 Γ 于点M，N，则下列说法正确的有（ ）
A. 点F坐标为 (1,0) B. 抛物线 Γ 的准线方程为 y=-1
C. 线段MN长为4 D. 直线 y=x-2 与抛物线 Γ 相切
【答案】 B,C
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】由抛物线 Γ:x2=4y ，可得 2p=4 ，即 p=2 ，且焦点在 y 轴上，所以焦点为 F(0,1) ，
准线方程为 y=-1 ，所以A不正确，B符合题意；
令 y=1 ，可得 x2=4 ，解得 x=±2 ，所以 |MN|=4 ，所以C符合题意；
联立方程组 {y=x-2x2=4y ，整理得 x2-4x+8=0 ，可得 Δ=(-4)2-4×8<0 ，
所以直线 y=x-2 与抛物线没有公共点，所以D不正确.
故答案为：BC.
10.已知双曲线 C1 ： x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长是2，右焦点与抛物线 C2 ： y2=8x 的焦点 F 重合，双曲线 C1 与抛物线 C2 交于 A 、 B 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线 C1 的离心率为 23 B. 抛物线 C2 的准线方程是 x=-2
C. 双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±3x D. |AF|+|BF|=203
【答案】 B,C
【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】由双曲线 C1 ： x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为2，可得 a=1 ，
又由抛物线 C2 ： y2=8x 的焦点 F 重合，可得双曲线的右焦点为 (2,0) ，即 c=2 ，
则 b2=c2-a2=3 ，可知双曲线 C1 ： x2-y23=1 ，
所以双曲线 C1 的离心率为 e=ca=2 ，抛物线 C2 的准线方程是 x=-2 ，
双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±3x ，
所以A不正确；B、C符合题意，
联立方程组 {y2=8x3x2-y2=3 ，解得 {x=3y=±26 ，
所以 |AF|+|BF|=xA+xB+p=3+3+4=10 ，所以D不正确.
故答案为：BC.
11.已知 F 为抛物线 C ： y2=4x 的焦点.设 P 是准线上的动点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ，则（ ）
A. |AB| 的最小值为4 B. 直线 AB 过点 F C. PM⊥y 轴 D. 线段 AB 的中垂线过定点
【答案】 A,B,C
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】由题意可得 F(1,0) ，准线 x=-1 ，设 P(-1,t) ， A(x1,y1),B(x2,y2) ，
y2=4x⇒y=±2x ，所以 y'=±1x=2y ，
不妨设 A 在 x 轴上方，则 kPA=2y1 ， kPB=2y2 ，
∴ 直线 PA ： y=2y1(x-x1)+y1 ，
直线 PB ： y=2y2(x-x2)+y2 ，
将两直线联立可得 x=y1y24=-1 ， y=y1+y22=t ，
则 y1y2=-4 ， x1x2=y12y2216=1 ，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=x12+x22-2+4(x1+x2)+8=|x1+x2+2|
又 x1+x2=y12+y224≥2|y1y2|4=2 ，
所以 |AB| 的最小值为4，A符合题意；
FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2) ，
(x1-1)y2-(x2-1)y1=(y124-1)y2-(y224-1)y1=(y1-y2)(y1y24+1)=0 ，
所以 FA,FB 共线，所以直线 AB 过点 F ，B符合题意；
因为 AB 中点的纵坐标为 y1+y22=t ，故 PM⊥y 轴，C符合题意；
由点差法可得 y12-y22=4(x1-x2) ，
∴kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2t ，
又 x1+x22=y12+y228=(y1+y2)2-2y1y28=t2+22 ，
∴AB 的垂直平分线方程为 y=-t2(x-t2+22)+t ，
故线段 AB 的中垂线不过定点，D不符合题意.
故答案为：ABC
12.已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1) 则下列结论正确的是( )
A. 点P到抛物线焦点的距离为 32
B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为 532
C. 过点P与抛物线相切的直线方程为 x-2y+1=0
D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值
【答案】 B,C,D
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】因为抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1) ，
所以 p=12 ，
所以抛物线方程为： y2=x ，焦点坐标为 F(14,0)
对于A， |PF|=1+14=54 ，A不符合题意.
对于B， kPF=43 ，所以 lPF:y=43(x-14) ，与 y2=x 联立得： 4y2-3y-1=0 ，
所以 y1+y2=34,y1y2=-14 ，
所以 S△OPQ=12|OF|⋅|y1-y2|=12×14×(y1+y2)2-4y1⋅y2=532 ，B符合题意.
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为 y-1=k(x-1) ，与 y2=x 联立得： ky2-y+1-k=0 ，
Δ=1-4k(1-k)=0 4k2-4k+1=0 ，解得 k=12 ，
所以切线方程为 x-2y+1=0 ，C符合题意.
对于D， 依题意斜率存在，设 lPM: y-1=k(x-1) ，与 y2=x 联立得： ky2-y+1-k=0 ，
所以 yM+1=1k ，即 yM=1k-1 ，则 xM=(1k-1)2 ，
所以点 M((1k-1)2,1k-1) ，同理 N((-1k-1)2,-1k-1) ，
所以 kMN=1k-1-(-1k-1)(1k-1)2-(-1k-1)2=2k-4k=-12 ，D符合题意.
故答案为：BCD
三、填空题
13.已知F为抛物线C： y2=2px(p>0) 的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若 FA⊥FB ， tan∠FAB=13 ，则直线FA的斜率为________．
【答案】 34
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】解： y2=2px(p>0) 的焦点 F(p2,0) ，准线方程为 x=-p2 ，
如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M，
由 FA⊥FB ， tan∠FAB=|BF||AF|=13 ，
可设 |AF|=3t ， |BF|=t ，
可得 ∠AFN=∠FBM ，
sin∠AFN=yA3t=sin∠FBM=pt ，
即有 yA=3p ， xA=92p ，
则直线AF的斜率为 yAxA-p2=3p4p=34 ．
故答案为： 34 ．
14.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ，直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， AF⊥BF ，线段 AB 的中点为 M ，过点 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，则 |AB||MN| 的最小值为________．
【答案】 2
【考点】抛物线的定义
【解析】如图所示，设抛物线的准线为 l ，作 AQ⊥l 于点 Q ， BP⊥l 于点 P ，
由抛物线的定义可设： |AF|=|AQ|=a,|BF|=|BP|=b ，
由勾股定理可知： |AB|=|AF|2+|BF|2=a2+b2 ，
由梯形中位线的性质可得： |MN|=a+b2 ，
则： |AB||MN|=a2+b2a+b2≥12(a+b)2a+b2=2 .
当且仅当 a=b 时等号成立.
即 |AB||MN| 的最小值为 2 .
15.已知抛物线 x2=2py(p>0) 焦点为 F,O 为坐标原点，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A,B 两点，与 x 轴交于 C(2p,0) ，若 |AB|=17 ，则 △OCF 的面积为________.
【答案】 32
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】抛物线 x2=2py(p>0) 焦点 F(0,p2) ，而直线l过点 C(2p,0) ，则直线l的斜率为 k=-14 ，其方程为 y-p2=-14x ，即 x=-4y+2p ，
由 {x=-4y+2px2=2py 消去x得 8y2-9py+2p2=0 ，
显然 Δ>0 ，设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 y1+y2=9p8 ，而 |AB|=17 ，
由抛物线定义知， |AB|=|AF|+|BF|=(y1+p2)+(y2+p2)=17p8=17 ，解得 p=8 ，
即 F(0,4) ， C(16,0) ，而 ∠FOC=90∘ ，于是得 S△OCF=12⋅|OC|⋅|OF|=32 ，
所以 △OCF 的面积为32.
故答案为：32
16.已知抛物线 C: y2=4x 与椭圆 D :x2a2+y2b2=1 (a>b>0) 有一个公共焦点 F ，则点 F 的坐标是________；若抛物线的准线与椭圆交于 A , B 两点， O 是坐标原点，且 △AOB 是直角三角形，则椭圆 D 的离心率 e= ________.
【答案】 ( 1 , 0 )；5-12
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】由抛物线的标准方程得，其焦点坐标为 ( 1 , 0 ) ，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点 F(1,0) ，且抛物线准线方程为 x=-1 ，椭圆左焦点为 ( -1 , 0 ) ，
联立 x=-c 与椭圆 x2a2+y2b2=1 ，可得 |yA|=|yB|=b2a ，
因为 △AOB 是直角三角形，所以 b2a=c ，即 b2=ac ，
又 b2=a2-c2 ，所以 a2-c2=ac ，
左右同除 a2 可得 e2+e-1=0 ，解得 e=-1±52 ，
又 e∈(0,1) ，所以椭圆 D 的离心率 e=5-12 。
故答案为： ( 1 , 0 ) ； 5-12。
四、解答题
17.已知抛物线 E:x2=-2y ，过抛物线上第四象限的点 A 作抛物线的切线，与 x 轴交于点 M ．过 M 做 OA 的垂线，交抛物线于 B 、 C 两点，交 OA 于点 D ．
（1）求证：直线 BC 过定点；
（2）若 MB⋅MC≥2 ，求 |AD|⋅|AO| 的最小值．
【答案】 （1）证明：由题意，抛物线 E:x2=-2y ，则 y=-12x2 ，可得 y'=-x ，
设 A(2t,-2t2)(t>0) ，则 kAM=y'|x=2t=-2t ，
所以 lAM:y+2t2=-2t(x-2t) ，即 y=-2tx+2t2 ，所以 M(t,0) ，
又 kOA=-2t22t=-t ，所以 kBC=1t ，所以 lBC:y-0=1t(x-t) ，即 y=1tx-1 ，
所以直线 BC 过定点 (0,-1) ．
（2）解：联立方程 {y=1tx-1x2=-2y ，整理得 x2+2tx-2=0 ，
设 B(x1,y1) ， C(x2,y2) ，则 x1+x2=-2t ， x1x2=-2 ，
则 MB⋅MC=(x1-t,y1)⋅(x2-t,y2)=(x1-t)(x2-t)+y1y2
=x1x2-t(x1+x2)+t2+14x12x22=1+t2≥2 ，所以 t2≥1 ，
又由 |AD|=|1t⋅2t+2t2-1|1+1t2=2t2+1t2+1⋅t ， |AO|=(2t)2+(2t2)2=2t1+t2 ，
所以 |AD|⋅|AO|=2t2+1t2+1⋅t⋅2t⋅1+t2=(2t2+12)2-14 ，
因为 2t2≥2 ，所以当 2t2=2 ，即 t=1 时， |AD|⋅|AO| 的最小值是 6 ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 （1）设切点A的坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到切线方程，从而求出直线BC的方程，即可证明；
（2）联立直线与抛物线的方程， 设 B(x1,y1) ， C(x2,y2) ， 得到韦达定理，将 MB⋅MC≥2 利用向量的坐标表示出来，得到t的取值范围，利用点到直线的距离公式以及两点间距离公式得到 |AD|⋅|AO| 关于t的表达式，由二次函数的性质求解最值即可．
18.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，点 E(-1,0) ，圆 x2+y2=r2(r>0) 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，直线 BE 与抛物线交点为 D .
（1）求证：直线 AD 过焦点 F ；
（2）过 F 作直线 MN⊥AD ，交抛物线 C 于 M ， N 两点，求四边形 ANDM 面积的最小值.
【答案】 （1）由题意，设 A(x0,y0) ， B(x0-y0) ，
直线 BE 的方程为 y=-y0x0+1(x+1) ，
联立 {y=-y0x0+1(x+1)y2=4x ，得 y04y2+(x0+1)y+y0=0 ，
由题意可得，该方程有一个根为 -y0 ，
由韦达定理得 -y0yD=4 ， yD=-4y0 ，所以 D(4y02,-4y0) ，
则直线 FD 的斜率为 4y01-4y02=4y0y02-4 ，直线 AF 的斜率为 y0y024-1=4y0y02-4 ，
所以 kAF=kFD ，故 A ， F ， D 三点共线，所以直线 AD 过焦点 F .
（2）设直线 AD 方程为 y=k(x-1) ，则直线 MN 的方程为 y=-1k(x-1) ，
联立 {y=k(x-1)y2=4x ，得 k2x-(2k2+4)x+k2=0 ，
设 A(x1,y1) ， D(x2,y2) ，则 x1+x2=2k2+4k2=2+4k2 ，
所以 |AD|=x1+x2+2=4+4k2 ，同理可得 |MN|=4+4k2 ，
所以四边形 ANDM 面积为
S=12|MN|⋅|AD|=12(4+4k2)(4+4k2)=8(2+1k2+k2)≥32 ，
当且仅当 k=±1 时，四边形 ANDM 面积取得最小值，最小值为32.
【考点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】（1） 直线 FD 的斜率与直线 AF 的斜率相等来证明三点共线即可。
（2） 将直线 MN 的方程 于抛物线方程联立，根据根与系数的关系可得 |AD|=x1+x2+2=4+4k2 ，同理可得 |MN|=4+4k2 ， 代入面积公式，利用基本不等式求解最小值。
19.如图所示，已知抛物线： y2=2px（p>0） ，F是抛物线的焦点，过F点作直线AB交抛物线于A，B两点，记A点的坐标为（ x1，y1 ），B点的坐标为（ x2，y2 ），且存在某一情况满足 yA =| yB |=2．
（1）当 y1 =| y2 |=2，求AB直线的方程及p的值；
（2）设点P的坐标为（0，t），且|AF|＜|BF|，点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平行于x轴，且PC恰好与抛物线相切．若CA，CB分别与x轴相交于D，E，设△ADF，△BEF和△ABC的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ，求 S1·S2S32 的最大值
【答案】 （1）由题意易得AB直线方程：x= p2
将y=2与x= p2 代入抛物线方程：4 =2·p22 ，得p=2-
AB直线方程：x=1
（2）设C：（ xC，yC ），直线AB方程为y=-t（x-1）（t＞0）
将AB方程与抛物线联立，解得 y1+y2=-4t，y1y2=-4 ，
则 |AB| =4（1+t2）t2 ，
设直线PC方程为y=kx+t，将PC方程与抛物线联立，得 ky2-4y+4t=0
由相切可得 Δ=0 ，化简得 kt=1 ，将 k=1t 代入，解得C：（ t2，2t） ，
C到直线AB的距离 d=|t3+t|t2+1 ，
由直线AC方程（ y1+y3 ）y=4x+ y1y3 ，当y=0时，解得 xD=-y1y34 ，
同理直线BC方程（ y2+y3 ）y=4x+ y2y3 ，解得 xE=-y2y34 ，
故 S1·S2 = 12（xE - xD ）·（ y1-y2 ）= 164|(4+y1y3)(4+y3y2)y1y2 |=1+ t2 ，
S3 = 12|AB|·d=2（t2+1）32|t| ，故 S1·S2S32=1+t24（t2+1）3t2=14·（1+t2）t2（t2+1）3=14·1（t+1t）2≤116 ，
当且仅当 t=1 时等号成立，
故 S1·S2S32 的最大值为 116 .
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）由题意知A,B关于x轴对称，即可求解；
（2） 设C：（ xC，yC ） ， 直线AB方程为y=-t（x-1）（t＞0），分别计算 S1 ， S2 ， S3 ，化简即可。
20.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，直线 l:y=2x+a 与抛物线 C 交于 A ， B 两点.
（1）若 a=-1 ，求 △FAB 的面积.
（2）已知圆 M:(x-3)2+y2=4 ，过点P（4,4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切.
【答案】 （1）解：抛物线的焦点为F(1,0)，设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，
把 y=2x-1 方程代入抛物线 y2=4x ，
可得 4x2-8x+1=0 ，∴x1+x2=2,x1⋅x2=14,
∴|AB|=1+k2|x2-x1|=5(x1+x2)2-4x1x1=15 ,
点F到直线 l 的距离 d=15 ，∴S△ABF=12|AB|d=12×15×15=32
（2）解：设过点P的直线方程为 x=t(y-4)+4 ，
由直线与圆M相切得 |4t-1|1+t2=2 ，可得 12t2-8t-3=0 ，
设切线 PD,PE 的斜率分别为 t1,t2 ，则 t1+t2=23,t1t2=-14 ，
把 x=t(y-4)+4 代入抛物线方程可得 y2-4ty+16t-16=0 ,
则4， y1 是方程 y2-4ty+16t-16=0 的两根,
可得 y1=4t1-4 ,同理 y2=4t2-4 .
则有D（4（t1-1）2,4t1-4），E（4（t2-1）2,4t2-4）
直线DE： y-(4t1-4)=1t2+t1-2[x-4(t1-1)2],
即为 y-(4t1-4)=-34[x-4(t1-1)2]
则圆心 (3,0) 到直线DE的距离为 d=|-34[3-4(t1-1)2]+4t1-4|1+(34)2=15|12t12-8t1-13| ，
由 12t12-8t1-3=0 ，代入上式，化简可得 d=2 ，
所以直线DE与圆M相切.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）利用抛物线标准方程确定焦点位置，从而求出焦点坐标，再利用直线 l:y=2x+a 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式求出AB两点的距离，再利用点到直线的距离公式求出焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式求出三角形 △FAB 的面积 。
（2）利用点斜式设出设过点P的直线方程为 x=t(y-4)+4 ， 设切线 PD,PE 的斜率分别为 t1,t2 ， 再利用直线与圆相切的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，再结合韦达定理得出 t1+t2=23,t1t2=-14 ， 利用过点 P(4,4) 作圆 M 的两条切线，与曲线 C 交于另外两点分别为 D ， E ， 联立直线与切线的方程求出点D,E的坐标，进而利用两点式求出直线CD的方程，再利用点到直线的距离公式结合代入法求出圆心 (3,0) 到直线DE的距离，再利用直线与圆位置关系判断方法，从而 证出直线 DE 也与圆 M 相切。
21.如图，已知抛物线 y2=4x ，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A､C和B､D两点，且A ， D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和P点之间.
（1）若P为抛物线的焦点，且 |AP|=3 ，求点A的坐标；
（2）若P为动点，且 △CDP 的面积是 △ABP 面积的3倍，求 |OP||OE| 的值.
【答案】 （1）解：设 A(x,y) ，根据抛物线的定义，可得 |AP|=x+1=3 ，所以 x=2 ，可得 y2=8 ，
因为点A在第一象限，所以 y=22 ，所以点A的坐标为 (2,22)
（2）解：设 A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) ， E(e,0), P(m,0) ，
由于 SΔAPDSΔAPB=|PD||PB|, SΔAPDSΔCPD=|AP||PC| ，且 SΔCPD=3SΔAPB ，
所以 |PD||PB|=3|AP||PC| ，所以 -y4y2=-y1y3 ，所以 y3y4=3y1y2 .
假设有过点 (n,0) 的直线 l:x=ty+n 交抛物线 y2=4x 于M，N两点，
联立消去x的 y2-4ty-4n=0 ，则有 yM+yN=4t ， yMyN=-4n ，(*)
由(*)式可知 y1y3=-4m ， y2y4=-4m ， y1y2=-4e .
所以 y3y4=(-4my1)⋅(-4my2)=-16m24e=-4m2e=-12e=3y1y2 ，
所以 m=3e ，所以 |OP||OE|=me=3
【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】(1)由抛物线的定义即可求出|AP|=x+1=3 ， 整理计算出x=2 ， 从而得到抛物线的方程，对x赋值计算出点的坐标即可。
(2)根据题意由设而不求发设出点的坐标，再由已知条件整理得到SΔAPDSΔAPB=|PD||PB|, SΔAPDSΔCPD=|AP||PC|
|PD||PB|=3|AP||PC|即y3y4=3y1y2 ， 由假设法：由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，即
y1y3=-4m ， y2y4=-4m ， y1y2=-4e整理得到y3y4=(-4my1)⋅(-4my2)=-16m24e=-4m2e=-12e=3y1y2 ， 由此求出m=3e进而得出答案。
22.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为F，点 A(a,3) ，点P为抛物线C上的动点．
（1）若 |PA|+|PF| 的最小值为5，求实数a的值；
（2）设线段 OP 的中点为 M ，其中 O 为坐标原点，若 ∠MOA=∠MAO=∠AOF ，求 ΔOPA 的面积．
【答案】 （1）解：由题， F(1,0) ，若线段 AF 与抛物线 C 没有公共点，即 a>94 时，
设点P在抛物线准线 x=-1 上的射影为 D ，
则 D,P,A 三点共线时，
|PA|+|PF| 的最小值为 |AD|=a-(-1)=5 ，此时 a=4;
若线段 AF 与抛物线 C 有公共点，即 a≤94 时，
则 A,P,F 三点共线时， |PA|+|PF| 的最小值为：
|PF|=(a-1)2+32=5 ，此时 a=-3
综上，实数 a 的值为 -3 或 4 .
（2）解：因为 ∠MOA=∠MAO=∠AOF ，
所以 MA//x 轴且 MO=MA=MP，
设 M(t,3) ，则 P(2t,6) ，代入抛物线 C 的方程解得 2t=9,
于是 MO=MA=MP=3132 ，
所以 SΔOPA=12MA·yp=9132
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）分类讨论，当 a>94 时，线段 AF 与抛物线 C 没有公共点，设点 P 在抛物线准线 x=-1 上的射影为 D ，当 D,P,A 三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当 a≤94 时，线段 AF 与抛物线 C 有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.（2）由题意可得 MA//x 轴且 MO=MA=MP， 设 M(t,3) ，则 P(2t,6) ，代入抛物线方程求出 M,P ，再利用三角形的面积公式即可求解.
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