高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板10 直线与方程专项练习（解析版）

模板10直线与方程专项练习

一、单选题

1．（2021·全国高三其他模拟（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，点，则的平分线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

如图，依题意知，，而 点在双曲线上，故，

，.

设的平分线交x轴于M，设，则，

有，即，，

化简解得，故的平分线所在直线的斜率，

所以的平分线的方程为，即.

故选：A.

2．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））已知抛物线的焦点为F，直线l为准线，点E在拋物线上.若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】

因为在上的射影点在第四象限，所以在第一象限，设与轴的交点为点，如下图所示：

因为，，所以，所以，

又因为轴，所以，

又因为，所以为等边三角形，所以,

所以，所以直线的斜率为，

故选：A.

3．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知集合，.若，则实数（    ）

A．3 B． C．3或 D．或1

【答案】A

【详解】

因为，所以直线与直线没有交点，

所以直线与直线互相平行，

所以，解得或，

当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，

当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，

所以的值为，

故选：A.

4．（2021·全国高三其他模拟）平行直线l1：x﹣y﹣1＝0和l2：x﹣y+2＝0与圆E：x²+y²﹣4y＝0分别相交于A、B和C、D四点，则四边形ABDC的对角线AD的长度为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，得，所以圆心坐标为，半径，

圆心到直线的距离，

所以，所以，

过点作于点，则，又过圆心，所以

所以，即.

故选：.

5．（2021·北京海淀·101中学高三其他模拟）定义曲线为椭圆的“倒椭圆”，已知椭圆，它的倒椭圆为，过上任意一点做直线垂直轴于点，作直线垂直轴于点，则直线与椭圆的公共点个数为（    ）

A．0 B．1

C．2 D．与点的位置关系

【答案】B

【详解】

设点,

则,,，

所以直线的方程为，

进而与椭圆联立方程得：，

所以，

所以方程有且只有一个实数根，故直线与椭圆的公共点个数为个.

故选：B

6．（2021·江苏省天一中学高三其他模拟）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ）

A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上

B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行

C．若，则直线经过线段M，N的中点；

D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；

【答案】A

【详解】

解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．

对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；

对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；

对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；

故选A

7．（2021·北京市十一学校）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．无数

【答案】C

【详解】

作出f（x）的函数图象如图所示：

表示点和点所在直线的斜率，即曲线上只有一个点且是整数和点所在直线的斜率大于零.

如图所示，动点在直线上运动.

因为,

当时，只有点这个点满足，

当时，只有点这个点满足.

所以.

所以满足条件的整数有4个.

故选：C.

8．（2021·全国高三专题练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

设，则，

整理可得，故，

在中，，

则，

设原点到直线的距离为，则需满足，

，解得或.

故选：C.

二、多选题

9．（2021·江苏省前黄高级中学高三其他模拟）已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A．在区间上单调递减，上单调递增

B．的最小值为，没有最大值

C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称

D．方程的实根个数为2

【答案】ABD

【详解】

由题意，函数，

可理解为动点到两个定点的距离之和，

如图所示，

当时，随着的增大，越靠近原点时，越小，则越小，

即越小，函数在上单调递减，

当时，随着的增大，越靠近原点时，越大，则越大，

即越大，函数在上单调递增，所以A正确；

当点与点重合时，取得最小值，点越向左远离或向右远离时，越大，无最大值，，即函数有最小值，无最大值，所以B正确；

当点与点重合时，取得最小值，若函数有对称轴，则对称轴的方程为，而，可得，则不是对称轴，

所以存在实数，使得函数的图象关于对称是错误的，所以C不正确；

因为与点重合时，，当时，；当时，；当时，，由在上单调递增，所以存在，使得的实根个数为2，所以D正确.

故选：ABD.

10．（2021·福建高三三模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】

设，

由，得，得，

由，得，得，

由，得，得，

，

，

，

若为重心、为外心、为垂心，则，

所以，化简得，此时双曲线的离心率，

若为重心、为垂心、为外心，则，

所以，化简得不成立；

若为重心、为垂心、为外心，则，

所以，化简得，此时双曲线的离心率，

若为重心，为垂心、为外心，则，

，化简得，此时双曲线的离心率；

若为重心、为垂心、为外心，则，

所以，化简得或，

此时双曲线的离心率或，

若为重心，为垂心、为外心，则，

所以，化简得或都不成立.

综上所述：或或或.

故选：ABD

11．（2021·江苏高三二模）数学家称为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（    ）

A． B．黄金椭圆离心率

C．设直线OQ的倾斜角为θ，则 D．交点Q坐标为(b,ωb)

【答案】AC

【详解】

A：方程的一个根为，正确；

B：由题意知，，则，错误；

C：易知，且，则，所以，即，两边平方得，即，正确；

D：由，结合知：Q点纵坐标为，而，错误.

故选：AC

12．（2021·长岭县第二中学高三三模）已知实数，满足方程.则下列选项正确的是（    ）

A．的最大值是

B．的最大值是

C．过点做的切线，则切线方程为

D．过点做的切线，则切线方程为

【答案】AD

【详解】

对于AB，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，即，解得，即，，即的最大值是，故A正确，B错误；

对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．（2021·陕西高三其他模拟（文））斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.

【答案】

【详解】

解：设，，，，

则①，②，

是线段的中点，

，，

直线的方程是，

，

①②两式相减可得：，

，

，

，

，

故答案为：.

14．（2021·重庆高三三模）在三棱锥中，，二面角的大小为，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为__________．

【答案】

【详解】

解：如图，过作 于，平面于，

过作于，连接，

则为二面角的平面角，

由，

得．

又，所以，

在 中，以 所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则直线的方程为，

直线的方程为，

所以直线与的交点坐标为，

所以的轨迹为线段，

长度为．

故答案为：．

15．（2021·湖南高三其他模拟）已知直线(斜率大于)的倾斜角的正弦值为，在轴上的截距为，直线与抛物线交于两点.若，则___________.

【答案】4

【详解】

依题意，直线的倾斜角为45º，斜率k=1，直线的方程为：y=x+2，

由得，设，则，

从而有，

即，而p>0，解得p=4.

故答案为：4

16．（2021·沙坪坝·重庆八中高三其他模拟）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

【答案】

【详解】

∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

四、解答题

17．（2021·上海高三其他模拟）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．

（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？

（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．

【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m.

【详解】

解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①

因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，

可设的斜率为，则＝，

又C（6，0），

所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…②

由①②组成方程组，求得点A（，15）；

所以|AB|＝＝2，

即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；

（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，

则M（6，），A（，15），

所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣），

令yN＝0，解得xN＝7，

所以CN＝7﹣6＝.

所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m．

18．（2021·全国高三其他模拟）如图所示，已知椭圆：与直线：．点在直线上，由点引椭圆的两条切线，，，为切点，是坐标原点．

（1）若点为直线与轴的交点，求的面积；

（2）若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值．

【答案】(1)4；(2)，证明见解析.

【详解】

(1)由题意易知，显然过点P与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为，

与椭圆方程联立 ，消并整理得，

由得，即切线方程为，

此时切点坐标为，易知为直角三角形，，

所以.

(2)设，则切线为，切线为，

设，则，，

所以直线的方程为————①

又点在直线：上，所以，即，

代入①，得，即 ，

所以直线过定点 ，又因为，所以点D在以为直径，为圆心的定圆上，所以为定值，且.

19．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点（在轴上方），连接并延长，交椭圆于点．

（1）若轴，求直线的方程；

（2）求时的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）由椭圆方程知：，，

当轴时，，直线的的斜率为，

直线的方程为：，即．

（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

由，得：；

若直线的斜率存在，设的方程为，

设点，，

联立得：，

，，

，，

，

当时，，当时，，

．

又直线的斜率不存在时，，

的取值范围为．

20．（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆交于、两点．

（1）点的坐标为，若，求直线的方程；

（2）若直线过椭圆的右焦点，且点在第一象限，求、分别为直线、的斜率）的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）设，，，，由可得为线段的中点，

由两式相减可得，

而为线段的中点，即有，，

则，可得，

故直线的方程为，

即.

（2）由椭圆方程可得，，所以，，，

所以，，，

当直线的斜率不存在时，，，，．

当直线的斜率存在时，则的斜率不为0，

设直线的方程为，，与椭圆方程联立，

可得，设，，，，

则，，

所以

，

所以，

因为在第一象限，所以，

所以，．

21．（2021·全国高三专题练习（理））已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝.

（1）求直线CD的方程；

（2）求圆P的方程.

【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40

【详解】

（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.

所以.

则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），

所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.

（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，

所以（a＋1）2＋b2＝40.②

由①②解得或

所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.

所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.

22．（2021·山东高三其他模拟）已知抛物线．

（1）若C与圆在第一象限内交于两点，求直线的方程；

（2）直线过点交C于两点，点B关于x轴的对称点为E，直线交x轴于点P，求证：P为定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【详解】

（1）解：联立，解得或，

所以，可得直线的方程为，

即．

（2）证明：设直线，，，，，

联立，得，

所以，，即，

，，

由，，三点共线得，所以，

所以，

所以，

所以，

解得，即点，

所以为定点．