高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板13 双曲线与方程专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板13 双曲线与方程专项练习 （解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板13双曲线与方程
专项练习
一、单选题
1.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 过第一､三象限的渐近线为l，过右焦点F作l的垂线，垂足为A，线段AF交双曲线于B，若 |BF|=2|AB| ，则此双曲线的离心率为（    ）
A. 2                                       B. 3                                       C. 5                                       D. 6
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】解析设双曲线的焦距为 2c .由 AF⊥l 知，直线 AF 的方程为 y=-ab(x-c) ，
由 {y=-ab(x-c)y=bax 可得 {x=a2cy=abc ，即 A(a2c,abc)
设 B(x0,y0) ，则 BF=(c-x0,-y0) ， AB=(x0-a2c,y0-abc) .
由 |BF|=2|AB| 可得 BF=2AB ，故 c-x0=2(x0-a2c) ， -y0=2(y0-abc) ，
解得 x0=c2+2a23c ， y0=2ab3c ，
将B点坐标代入到双曲线方程中可得 (c2+2a2)29a2c2-4a29c2=1 ，化简得 c2=5a2 ，故 e=5 .
故答案为：C
2.已知双曲线的方程为 x2a2-y2b2=1(a>0，b>0) ，它的一个顶点到一条渐近线的距离为 d ，已知 d≥23c （ c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（    ）
A. [62，3]                     B. [62，2]                     C. (2，3)                     D. (1，62]∪[3，+∞)
【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】设双曲线的方程的一个顶点为 (a,0) 到一条渐近线 y=bax 的距离为 d ，则有
d=|ab|a2+b2≥23c ， ∴a2(c2-a2)c2≥29c2 ， ∴2e4-9e2+9≤0 ，得
32≤e2≤3 ，又 ∵ 双曲线的离心率 e>1 ， ∴e∈[62，3] ，
故答案为：A。
3.点 P 为双曲线 x2a2-y29=1(a>0) 右支上一点， F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF1|=7,|PF2|=3 ，则双曲线的一条渐进方程是（  ）
A. 2x+3y=0                      B. 4x+9y=0                      C. 3x-2y=0                      D. 9x-4y=0
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】由题意，点 P 为双曲线右支上一点， F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，
因为 |PF1|=7,|PF2|=3 ，由双曲线的定义，可得 2a=|PF1|-|PF2|=4 ，解得 a=2 ，
所以双曲线的一条渐进方程是 y=±bax=±32x ，即 3x±2y=0 .
所以双曲线的一条渐进方程是 3x-2y=0 .
故答案为：C.
4.设双曲线 C 的方程为 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) ，过抛物线 y2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l．若C的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（    ）
A. x24-y24=1                    B. x2-y24=1                    C. x24-y2=1                    D. x2-y2=1
【答案】 D
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 (1,0) ，所以直线 l 的方程为 x+yb=1 ，即直线的斜率为 -b ，
又双曲线的渐近线的方程为 y=±bax ，所以 -b=-ba ， -b×ba=-1 ，因为 a>0,b>0 ，解得 a=1,b=1 ．
故答案为：D．
5.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)  的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1+d2=6,  则双曲线的方程为（   ）

A. x23-y29=1                    B. x29-y23=1                    C. x24-y212=1                    D. x212-y24=1
【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】解：∵ ca=2⇒c=2a ，则 b=3a
∴双曲线方程为 x2a2-y23a2=1
⇒ 渐进性方程为 y=±3x
又 A(c,b2a) ，即： A(2a,3a) ，则 B(2a,-3a)
∴ d1=|2a3-3a|2=(23-3)a2d2=|+2a3+3a|2=(23+3)a2
即： d1+d2=6⇒23a=6⇒a=3
∴双曲线方程为 x23-y29=1
故答案为：A
6.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 (a>0 ,  b>0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ， B两点. 设A ， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1+d2=6 ，则双曲线的方程为（   ）
A. x24-y212=1                    B. x212-y24=1                    C. x23-y29=1                    D. x29-y23=1 
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】解： ca=2⇒c=2a
∴ b=3a
∴双曲线渐近线方程为 y=±3x
又 A(c,b2a),B(c,-b2a) 即 A(2a,3a),B(2a,-3a)
则 d1=|23a-3a|2=(23-3)a2d2=23a+3a2⇒d1+d2=23a=6⇒a=3
则b=3
∴双曲线方程为 x23-y29=1
故答案为：C
7.设双曲线C： x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 5 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 8
【答案】 A
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】 ∵ca=5 ， ∴c=5a ，根据双曲线的定义可得 ||PF1|-|PF2||=2a ，
S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=4 ，即 |PF1|⋅|PF2|=8 ，
∵F1P⊥F2P ， ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2 ，
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|=4c2 ，即 a2-5a2+4=0 ，解得 a=1 ，
故答案为：A.
8.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左､右顶点分别是 A ， B ，右焦点为 F ，点 P 在过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 上，当 △ABP 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A. y=±33x                        B. y=±22x                        C. y=±x                        D. y=±2x
【答案】 C
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】根据双曲线的对称性，不妨设点 P 的坐标为 (2,y0) (y0>0) ，由于 |AB| 为定值，由正弦定理可知当 sin∠APB 取得最大值时， △APB 的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan∠APB 取得最大值，∵tan∠APF=a+cy0 ， tan∠BPF=c-ay0 ，
∴tan∠APB=tan(∠APF-∠BPF)=a+cy0-c-ay01+a+cy0⋅c-ay0=2ay0+b2y0≤2a2y0⋅b2y0=ab ，
当且仅当 y0=b2y0 (y0>0) ，即当 y0=b 时，等号成立，此时 ∠APB 最大，此时 △APB 的外接圆面积取最小值，点 P 的坐标为 (c,b) ，代入 x2a2-y2b2=1 ，可得 c2a2=2 ，即 a2+b2a2=2 ，即 b2a2=1 ，所以双曲线的渐近线方程为： y=±x 。
故答案为：C
二、多选题
9.设 F1,F2 同时为椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 与双曲线 C2:x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0) 的左右焦点，设椭圆 C1 与双曲线 C2 在第一象限内交于点 M ，椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1,e2,O 为坐标原点，若（    ）
A. |F1F2|=2|MO| ，则 1e12+1e22=2 B. |F1F2|=2|MO| ，则 1e12+1e22=2
C. |F1F2|=4|MF2| ，则 e1e2 的取值范围是 (23,32) D. |F1F2|=4|MF2| ，则 e1e2 的取值范围是 (23,2)
【答案】 B,D
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】如图，设 |MF1|=m,|MF2|=n ，焦距为 2c ，由椭圆定义可得 m+n=2a ，

由双曲线定义可得 m-n=2a1 ，解得 m=a+a1 ， n=a-a1 ，
当 |F1F2|=2|MO| 时，则 ∠F1MF2=90∘ ，所以 m2+n2=4c2 ，
即 a2+a12=2c2 ，由离心率的公式可得 1e12+1e22=2 ，故 B 正确.
当 |F1F2|=4|MF2| 时，可得 n=12c ，即 a-a1=12c ，可得 1e1-1e2=12 ，
由 012 ，即 10) 的左、右焦点分别为 F1(-5,0) ， F2(5,0) ，
所以焦点在x轴上，且c=5；
A选项，若离心率为 54 ，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为： x216-y29=1 ，A符合题意；
B选项，若双曲线过点 P(5,94) ，则 2a=|PF1|-|PF2|=414-94=8 ，解得 a=4 ，又 c=5 ，解得：b=3；此时双曲线的方程为： x216-y29=1 ，B符合题意；
C选项，若双曲线的渐近线方程为 3x±4y=0 ，则 ba=34 ，又 c2=a2+b2=25 解得 a=4,b=3 ，所以此时双曲线的方程为： x216-y29=1 ，C符合题意；
D选项，若 2a=4 ，则 a=2 ，所以 b2=c2-a2=21 D不符合题意；
故答案为：ABC.
11.已知O为坐标原点， F1,F2 分别为双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0，b>0) 的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（    ）
A. 若 |PO|=|PF2| ，则双曲线的离心率 e≥2
B. 若 △POF2 是面积为 3 的正三角形，则 b2=23
C. 若 A2 为双曲线的右顶点， PF2⊥x 轴，则 |F2A2|=|F2P|
D. 若射线 F2P 与双曲线的一条渐近线交于点Q，则 ||QF1|-|QF2||>2a
【答案】 A,B
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】由题意，对于A，因为 |PO|=|PF2| ，所以 OF2 的中垂线 x=c2 与双曲线有交点，即有 c2≥a ，解得 e≥2 ，A符合题意；对于B，因为 |PF2|=|OF2|=|OF1|=c=2 ，解得 |PF1|=23 ，所以 a=|PF1|-|PF2|2=3-1 ，所以 b2=c2-a2=23 ，B符合题意；对于C，由题意可得 |F2A2|=c-a,|F2P|=b2a 显然不等， C不符合题意；
对于D，若 P 为右顶点时，则 Q 为坐标原点，此时 ||QF1|-|QF2||=00,b>0) 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P ，满足 |PF2|=|F1F2| ，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（    ）
A. 渐近线方程为 4x±3y=0       B. 渐近线方程为 3x±4y=0       C. 离心率为 53       D. 离心率为 54
【答案】 A,C
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】解：设 |PF2|=|F1F2|=2c ，
由 |PF1|-|PF2|=2a ，可得 |PF1|=2c+2a ，
由 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长 2a ，
设 PF1 的中点 M ，
由等腰三角形 PF1F2 的性质可得， F2M⊥PF1 ，
即有 |PF1|=2(2c)2-(2a)2=4c2-a2=4b ，
∴2c+2a=4b ，即 c+a=2b ，
可得 c2=a2+b2=(2b-a)2 ，
即有 3b=4a ，
则双曲线的渐近线方程为 y=±bax=±43x ，即 4x±3y=0 ；
离心率 e=ca=1+(ba)2=1+169=53 ．
故答案为：AC．
三、填空题
13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) ，过双曲线的右焦点 F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 M 、 N ，若四边形 FMON 为正方形，则双曲线 C 的离心率为________.
【答案】 2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】如下图所示：

易知 x 轴为 ∠MON 的角平分线，由于四边形 FMON 为正方形， ∴∠MON=π2 ，则 ∠FOM=π4 ， ∴ba=tanπ4=1 ，
因此，双曲线 C 的离心率为 e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+(ba)2=2 .
故答案为： 2 .
14.已知 F1 ， F2 分别是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左右焦点， c 是双曲线 C 的半焦距，点 A 是圆 O:x2+y2=c2 上一点，线段 F2A 交双曲线 C 的右支于点 B ，且有 |F2A|=a ， AB=23AF2 ，则双曲线 C 的离心率是________．
【答案】 62
【考点】双曲线的简单性质
【解析】如下图所示：

因为 |F2A|=a ， AB=23AF2 ，所以 |BA|=23a ， |BF2|=13a ，
又 |F1B|-|F2B|=2a ，所以 |F1B|=73a ，又 ∠F2AF1=90∘,|F2F1|=2c ，所以
|F1A|2=|F1B|2-|AB|2=|F1F2|2-|AF2|2 ，
即 |F1A|2=(7a3)2-(2a3)2=(2c)2-a2 ，化简得 2c2=3a2 ，所以 e=ca=62 ，
故答案为： 62 ．
15.已知 F1 ， F2 分别是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点，点 P 是双曲线 C 上一点，且 ∠F1PF2=π2 ， △F1PF2 的面积为 a2 ，则双曲线 C 的渐近线方程为________.
【答案】 x±y=0
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】 ∵||PF1|-|PF2||=2a ， |PF1|2+|PF2|2=4c2 ，
则 2|PF1|⋅|PF2|=|PF1|2+|PF2|2-||PF1|-|PF2||2=4c2-4a2=4b2 ，所以， |PF1|⋅|PF2|=2b2 ，
因为 ∠F1PF2=π2 ，所以， S△F1PF2=12|PF1||PF2|=b2=a2 ，可得 a=b .
因此，双曲线 C 的渐近线方程为 y=±bax=±x ，即x±y=0.
故答案为：x±y=0.
16.已知梯形 ABCD 满足 AB//CD,∠BAD=45° ，以 A,D 为焦点的双曲线 Γ 经过 B,C 两点．若 |CD|=7|AB| ，则 Γ 的离心率为________．
【答案】 324
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】如图所示，以 AD 中点O为原点，以 AD 为x轴，建立直角坐标系．
设点C关于点O对称的点为 C' ，由对称性知，B，A， C' 三点共线．设 Γ 的方程为 x2a2-y2b2=1(a>0，b>0) ， A(-c,0) ， B(x1,y1), C'(x2,y2) ，则直线 BC' 方程为 y=x+c ，由 {y=x+c,x2a2-y2b2=1 得 (b2-a2)y2-2b2cy+b4=0 ，
所以 Δ=4b4c2-b4(b2-a2) > 0 ， y1+y2=2b2cb2-a2,y1y2=b4b2-a2 ，
由 |CD|=7|AB| ，所以 |y2|=7|y1| ，

因为 y1,y2 异号，所以 y2=-7y1 ，
由 {y2=-7y1,y1+y2=2b2cb2-a2, ，解得 {y1=-b2c3(b2-a2)y2=7b2c3(b2-a2) ，
代入 y1y2=b4b2-a2 ，得 -7c2=9(b2-a2) ，
因为 b2=c2-a2 ，所以 9a2=8c2 ，
所以 Γ 的离心率 e=ca=324 ．
四、解答题
17.在直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x 是双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的一条渐近线，点 A(1,0) 在双曲线C上，设 M(m,n)(n≠0) 为双曲线上的动点，直线 AM 与y轴相交于点P ， 点M关于y轴的对称点为N ， 直线 AN 与y轴相交于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得 |TP+TQ|=|PQ| ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得 △MPQ 的面积最小.
【答案】 （1）解：由已知得 {ba=2a=1 ，所以 a=1 ， b=2 ，所以双曲线方程为 x2-y24=1
（2）解：设 T(x0,0) ，因为 AM:y=nm-1(x-1) ，令 x=0 得 P(0,-nm-1) ， AN:y=n-m-1(x-1) ，令 x=0 得 Q(0,nm+1)
因为 |TP+TQ|=|PQ|=|TP-TQ| ，平方可得 TP⋅TQ=0 ，所以 x02-nm+1⋅nm-1=0⇒x02=n2m2-1 ，
因为 m2-n24=1 ，所以 n2m2-1=4 ，故 x0=±2 ，存在 T(±2,0)
（3）解：因为 S△MPQ=12|m|⋅|nm+1+nm-1|= 12|m|⋅|2mnm2-1|=|m2nm2-1|
=|4m2nn2|=4m2|n|= 4(1+n24)|n|=|n+4n|≥4 ，
当且仅当 n=±2 时，取得最小值，
此时M的坐标是 (2,2) 或 (2,-2) 或 (-2,2) 或 (-2,-2)
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】(1)利用已知条件直线 y=2x 是双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的一条渐近线结合双曲线的渐近线的方程求解方法，从而求出a,b的关系式，再利用点A(1,0)在双曲线上结合代入法求出a的值，从而求出b的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2）设 T(x0,0) ，再利用点斜式设出直线 AM:y=nm-1(x-1) ，令 x=0 ，得 P(0,-nm-1) ，再利用点斜式设出直线 AN:y=n-m-1(x-1) ，令 x=0 ，得 Q(0,nm+1) ， 再利用三角形法则得出 |TP+TQ|=|PQ|=|TP-TQ| ，平方结合数量积的运算法则和数量积的定义，可得 TP⋅TQ=0 ，再利用数量积的坐标表示得出 x02=n2m2-1 ，因为点M在双曲线上结合代入法得出 n2m2-1=4 ， 故 x0=±2 ，所以在x轴上存在点 T(±2,0) ， 使得 |TP+TQ|=|PQ| 。
（3）利用三角形的面积公式结合已知条件，得出 S△MPQ= |n+4n| ， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出三角形 △MPQ 的面积的最小值，进而求出此时M的坐标。
18.已知等轴双曲线C： x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)经过点( 52 ， 12 ).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点， kAP+kAQ 为定值 λ ，求点A的坐标及实数 λ 的值.
【答案】 （1）由题意 a=b ，且 54a2-14b2=1 解得 a=b=1 ，
所以双曲线 C 的标准方程为 x2-y2=1.
（2）①由对称性可设 E(x,y),F(-x,-y) ，且 x≥1 ，则 BE⋅BF=(x,y-1)⋅(-x,-y-1)=-x2-y2+1 ，
因为 E 点在双曲线 C 上，所以 x2-y2=1 ，所以 y2=x2-1 ，所以 BE⋅BF=2(1-x2)≤0 ，
当 |x|=1 时， BE⋅BF=0,∠EBF 为直角，
当 |x|>1 吋， BE⋅BF0x1+x2=--2t1-t2x1x2=-21-t2 ，由 1-t2≠0 且 Δ>0 ，解得 t20,b>0) 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 (3,1) ，渐近线方程为 y=±x ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： ∠EAF=∠EBF ．
【答案】 （1）由双曲线C的渐近线方程为 y=±x ，可设双曲线C的方程为 x2-y2=λ ，
由题意可得 λ=(3)2-12=2 ，因此，双曲线C的方程为 x22-y22=1 ；
（2）设点 E(x1,y1) 、 F(x2,y2) 且 x1>x2>0 ，
tan∠EAF=tan(∠EAB-∠FAB)=kAE-kAF1+kAEkAF=y1x1+2-y2x2+21+y1x1+2⋅y2x2+2
=y1(x2+2)-y2(x1+2)(x1+2)(x2+2)+y1y2 ，
由已知可得 x12-y12=2 ，则 (x1-2)(x1+2)=y12 ，则 y1x1-2=x1+2y1 ，
同理可得 y2x2-2=x2+2y2 ，
tan∠EBF=tan(∠xBF-∠xBE)=kBF-kBE1+kBEkBF=y2x2-2-y1x1-21+y1x1-2⋅y2x2-2
=x2+2y2-x1+2y11+x1+2y1⋅x2+2y2=y1(x2+2)-y2(x1+2)y1y2+(x1+2)(x2+2)=tan∠EAF ，
易知 ∠EAF 、 ∠EBF∈(0,π) ，故 ∠EAF=∠EBF .
【考点】双曲线的标准方程，曲线与方程
【解析】（1）由双曲线C的渐近线方程为 y=±x  ， 可设双曲线C的方程为 x2-y2=λ  ， 把点 (3,1)  代入方程即可得出双曲线C的方程； 
（2） 设点 E(x1,y1) 、 F(x2,y2) 且 x1>x2>0  ， 由已知可得  y1x1-2=x1+2y1  ， y2x2-2=x2+2y2  ， 则tan∠EAF=tan(∠EAB-∠FAB)=y1(x2+2)-y2(x1+2)(x1+2)(x2+2)+y1y2 =tan∠EBF ， 即可得证。
20.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的离心率为 52 ，点 P(4,3) 在 C 上．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）设过点 (1,0) 的直线l与曲线 C 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 QM⋅QN 为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
【答案】 （1）解：由题意， {16a2-3b2=1ca=52,a2+b2=c2 ，解得 a2=4 ， b2=1 ．
∴双曲线方程为 x24-y2=1 ；
（2）解：设直线 l 的方程为 x=my+1 ，设定点 Q(t,0) ，
联立 {x24-y2=1x=my+1, ，得 (m2-4)y2+2my-3=0 ．
∴ m2-4≠0 ，且 △=4m2+12(m2-4)>0 ，解得 m2>3 且 m2≠4 ．
设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，
∴ y1+y2=-2mm2-4 ， y1y2=-3m2-4 ，
∴ x1+x2=m(y1+y2)+2=-2m2m2-4+2=-8m2-4 ，
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-3m2m2-4-2m2m2-4+1
=-4m2+4m2-4=-4-20m2-4 ．
∴ QM⋅QN=(x1-t,y1)⋅(x2-t,y2)=(x1-t)(x2-t)+y1y2
=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=-4-20m2-4+t8m2-4-3m2-4+t2=-4+t2+8t-23m2-4
为常数，与 m 无关，
∴ 8t-23=0 ，即 t=238 ，此时 QM⋅QN=27364 ．
∴在 x 轴上存在定点 Q(238,0) ，使得 QM⋅QN 为常数．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1） 由题意得 {16a2-3b2=1ca=52,a2+b2=c2 ， 解得  a2=4 ， b2=1 ， 即可得出双曲线 C 的方程；
（2） 设直线 l 的方程为 x=my+1 ，设定点 Q(t,0) ， M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 联立 {x24-y2=1x=my+1, ， 得 (m2-4)y2+2my-3=0 ， 利用根与系数的关系可得 y1+y2=-2mm2-4 ， y1y2=-3m2-4 ，QM→⋅QN→=-4+t2+8t-23m2-4 ， 可得结论。
21.双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左顶点为 A ，右焦点为 F ，动点 B 在 C 上．当 BF⊥AF 时， |AF|=|BF| ．
（1）求 C 的离心率；
（2）若 B 在第一象限，证明： ∠BFA=2∠BAF ．
【答案】 （1）解：设双曲线的半焦距为 c ，则 F(c,0) ， B(c,±b2a) ，
因为 |AF|=|BF| ，故 b2a=a+c ，故 c2-ac-2a2=0 ，即 e2-e-2=0 ，
故 e=2 .
（2）解：设 B(x0,y0) ，其中 x0>a,y0>0 .
因为 e=2 ，故 c=2a ， b=3a ，
故渐近线方程为： y=±3x ，所以 ∠BAF∈(0,π3) ， ∠BFA∈(0,2π3) ，
当 x0>a,x0≠2a 时，
又 tan∠BFA=-y0x0-c=-y0x0-2a ， tan∠BAF=y0x0+a ，
所以 tan2∠BAF=2y0x0+a1-(y0x0+a)2=2y0(x0+a)(x0+a)2-y02=2y0(x0+a)(x0+a)2-b2(1-x02a2)
=2y0(x0+a)(x0+a)2-3a2(x02a2-1)=2y0(x0+a)(x0+a)2-3(x02-a2)=2y0(x0+a)-3(x0-a)
=-y0x0-2a=tan∠BFA ，
因为故 2∠BAF∈(0,2π3) ，
故 ∠BFA =2∠BAF .
当 x0=2a ，由（1）可得 ∠BFA=π2,∠FAB=π4 ，故 ∠BFA =2∠BAF .
综上， ∠BFA =2∠BAF .
【考点】双曲线的简单性质
【解析】（1） 设双曲线的半焦距为 c ，结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，则 F(c,0) ，再利用动点 B 在双曲线 C 上，所以 B(c,±b2a) ， 因为 |AF|=|BF| ，故 b2a=a+c ， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形结合一元二次方程求根的方法，从而求出双曲线的离心率。
（2） 因为点 B 在第一象限， 所以设 B(x0,y0) ，其中 x0>a,y0>0 ，由（1）求出的双曲线离心率结合离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线中 a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的关系式，从而求出双曲线渐近线方程，所以 ∠BAF∈(0,π3) ， ∠BFA∈(0,2π3) ，当 x0>a,x0≠2a 时，再利用直线的倾斜角与直线斜率的关系式结合两点求斜率公式，从而求出 tan∠BFA=-y0x0-2a ， tan∠BAF=y0x0+a ， 再利用二倍角的正切公式，从而求出tan2∠BAF=tan∠BFA ，因为 2∠BAF∈(0,2π3) ，故 ∠BFA =2∠BAF ， 当 x0=2a ，由（1）可得 ∠BFA=π2,∠FAB=π4 ，故 ∠BFA =2∠BAF ，从而证出 ∠BFA=2∠BAF 。
22.已知 A 、 B 是双曲线 C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的两个顶点，点 P 是双曲线上异于 A 、 B 的一点， O 为坐标原点，射线 OP 交椭圆 C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 于点 Q ，设直线 PA 、 PB 、 QA 、 QB 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 .
（1）若双曲线 C1 的渐近线方程是 y=±12x ，且过点 (5,12) ，求 C1 的方程；
（2）在（1）的条件下，如果 k1+k2=158 ，求 ΔABQ 的面积；
（3）试问： k1+k2+k3+k4 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.
【答案】 （1）解：由于双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±12x ，可设双曲线 C1 的方程为 x24-y2=λ ，
将点 (5,12) 的坐标代入双曲线 C1 的方程得 λ=(5)24-(12)2=1 ，
因此，双曲线 C1 的方程为 x24-y2=1 ；
（2）解：设射线 OP 所在直线的方程为 y=kx ，设点 P(x0,y0) ，则 y0=kx0 ，
因为点 P 在双曲线 C1 上，所以 x024-y02=1 ，可得 x02-4=4y02 .
∵k1+k2=y0x0+2+y0x0-2=2x0y0x02-4=2x0y04y02=x02y0=12k=158 ， ∴k=415 .
所以，射线 OP 所在直线的方程为 y=415x .
联立直线 OP 的方程与椭圆 C2 的方程 {y=415xx24+y2=1 ，解得 y2=64289 ，
所以，点 Q 的纵坐标为 ±817 ，因此， ΔABQ 的面积为 S=12×4×817=1617 ；
（3）解：设点 P(x0,y0) 、 Q(x1,y1) ，
由于点 P 在双曲线 C1 上，则 x02a2-y02b2=1 ，得 x02-a2=a2y02b2 ，
k1=y0x0+a ， k2=y0x0-a ， ∴k1+k2=y0x0+a+y0x0-a=2x0y0x02-a2=2x0y0a2b2y02=2b2x0a2y0=2b2ka2 ，
同理可得 k3+k4=-2b2ka2 ，因此， k1+k2+k3+k4=0 .
【考点】双曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】（1）设双曲线 C1 的方程为 x24-y2=λ ，将点 (5,12) 的坐标代入双曲线 C1 的方程，求出 λ 的值，可求出双曲线 C1 的方程；（2）设点 P 的坐标为 (x0,y0) ，设直线 PQ 的方程为 y=kx ，则 y0=kx0 ，由点 P 在双曲线 C1 上得出 x024-y02=1 ，可得出 x02-4=4y02 ，利用斜率公式以及条件 k1+k2=158 可求出射线 OP 的方程，由此可得出点 Q 的纵坐标，由此计算出 ΔABQ 的面积；（3）由题意得出 k1=k3 ，设点 P(x0,y0) 、 Q(x1,y1) ，则 y0x0=y1x1=k ，利用斜率公式得出 k1+k2=2b2ka2 ， k3+k4=-2b2ka2 ，由此可得出 k1+k2+k3+k4 的值.