高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板15 平面向量（原卷版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

模板一、向量的数量积运算

1.模板解决思路

平面向量的数量积的运算有两种形式:一是相据长度和夹角计算;二是利用坐标来计算.对于第一种形式,要注意确定这两个向量的夹角，若夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.对于第二种形式，可通过建立坐标系,确定相关向量的坐标再求解.

2.模板解决步骤

①第一步利用已知条件得到相关的数量积、模或夹角的关系。

②第二步将要求的数量积转化为已知的数量积、模或夹角的运算.

③第三步代人化简,求出结果.

知识点1.平面向量的数量积

已知两个非零向量与b,我们把数量|||b|cos叫作与b的数量积(或内积),记作b,即b=|| |b|cos.其中是与b的夹角，||cos(|b|cos)叫作向量在b方向上(b在方向上)的投影

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

知识点2.平面向量数量积的性质

设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则

(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

知识点3.平面向量数量积的运算律

1.a·b＝b·a(交换律).

2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).

3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

例题1

如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，

（1）利用单位圆､向量知识证明：

（2）若，，，，求的值

例题2

如图，在平面四边形中，，，且角与角互补.

（1）求面积的最大值；

（2），求的周长

模板二、求向量的坐标

1.模板解决思路

求向量的坐标,若所给条件比较简单可先将向量用其他已知坐标的向量表示出来，然后代人坐标计算可得.而对于所给条件较复杂的一般是用待定系数法，先设出坐标，然后利用条件得出关于参数的方程(组),最后解出来可得.

2.模板解决步骤

①第一步设出向量的坐标.

②第二步根据条件p,列出关于坐标的方程(组).

③第三步解方程(组),得向量的坐标.

知识点1.平面向量加、减运算的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

知识点2.平面向量数乘运算的坐标表示

已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

知识点3.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.

注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.

知识点4.平面向量数量积的坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

则a·b＝x1x2＋y1y2.

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.

(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(3)cos θ＝＝.

例题1

已知向量，．

（1）求的坐标以及与之间的夹角；

（2）当时，求的取值范围．

例题2

已知，，．

（1）求与的夹角的大小;

（2）若，求k的值．

模板三、平面向量的实际应用

1.模板解决思路

同用其他数学知识解决实际问题一样,用平面向量解决实际问题，也是先将实际问题转化为数学问题,然后利用平面向量相关知识解决数学问题，最后将数学结果转化为实际问题的答案.

2.模板解决步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

①第-步；建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

②第二步；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

③第三步；把运算结果“翻译”成几何关系.

知识点1.向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

知识点2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤

(1)利用线性运算证明的四个步骤

①选取基底.

②用基底表示相关向量.

③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.

④把几何问题向量化.

(2)利用坐标运算证明的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系.

②把相关向量坐标化.

③用向量的坐标运算找出相应关系.

④把几何问题向量化.

知识点3.利用向量解决平面几何求值

(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：

选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.

②坐标法：

建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.

例题1

在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足 ，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为 ．过点 的直线TA，TB与此椭圆分别交于点 ， ，其中 ， ， ．   

（1）求椭圆C的标准方程；   

（2）当T在直线 时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．   

例题2

如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ，直线 ： 与椭圆E相交于A、B两点，线段 的中垂线交椭圆E于C、D两点. 

（1）求椭圆E的标准方程；   

（2）求线段 长的最大值；   

（3）求 的值.