高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板20 导数及其应用（解析版）

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模板一、求函数的单调区间

1.模板解决思路

求函数的单调区间即为求使其导函数为正(或负)的x值的范围，先正确求出函数的导函数，然后再在函数的定义域内解导函数的不等式即可.

2.模板解决步骤

①第一步；根据所给函数的特点，确定函数的定义域.

②第二步；利用导数运算法则求出函数的导数.

③第三步；在函数定义域内，解不等式>0,得函数的单调递增区间;解不等式<0,得函数的单调递减区间.

知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求出导数f′(x)的零点；

(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：

例题1

已知函数在点处的切线斜率为0.函数

（1）试用含的代数式表示；

（2）求的单调区间；

（3）令，设函数在､处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于，的公共点.

【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）证明见解析

【详解】

（1）由，得，

∵在点处的切线斜率为0，

∴，∴；

（2）由（1）得，则

，

令，则或，

①当时，，

当时，，此时单调递减；

当时，，

此时在和上单调递增；

②当时，，此时恒成立，且仅有时，

∴在上单调递增；

③当时，，

同理可得的增区间为和，单调减区间为；

综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为和；当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为和；

（3）当时，，

令，则或，

由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，

∴函数在和3处取得极值，

∴，，所以.

∴直线的方程为，

由得，

令，

易得，，

而的图象在(0，2)内是一条连续不断的曲线，

故在(0，2)内存在零点，即线段与曲线有异于，的公共点.

例题2

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，不等式恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

解：（1）由题知

当时，恒成立，在R上单调递增；

当时，，列表得：

所以的单调递增区间是和

的单调递减区间是

（2）

令

（负值舍去）

当时，单调递增，

当时，单调递减

所以即

模板二、求函数的极值

1.模板解决思路

求函数的极值的重点在于解使导函数等于0的方程的根，再观察导函数的值在根的两侧是否变号,根据符号的变化特点判断函数值是否为极值.

2.模板解决步骤

①第一步求出已知函数的导函数.

②第二步解方程=0,求出其解.

③第三步观察符号的变化情况，当=0时:如果在附近的左侧>0，右侧<0,那么是极大值,是极大值点;在附近的左侧<0,右侧>0，那么是极小值,是极小值点.

知识点一、函数极值的定义

1．极小值点与极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

2．极大值点与极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

知识点二、函数极值的求法与步骤

1．求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

2．求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．

(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．

例题1

已知函数，是的导函数．

（1）若函数极小值为-1，求实数的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数，求在上的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【详解】

（1）由题意，函数，可得，

所以，可得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得极小值，解得.

即实数的值.

（2）由题意，当，不等式恒成立，

即在恒成立，

即在恒成立，

令，，

根据二次函数的性质，可得，解得，

即实数的范围.

（3）因为，

①若，则时，，所以，

从而的最小值为，

②若，则时，，所以，

当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为，

③若，则时，，

当时，的最小值为；

当时，的最小值为．

因为，，所以的最小值为．

综上所述：．

例题2

已知函数.

（1）求的极值；

（2）已知，函数，若关于的不等式恒成立，试确定的取值范围.

【答案】（1）的极大值为，不存在极小值；（2）.

【详解】

（1），

当时，，

∴在区间上是增函数，

∴不存在极值，

当时，由得：，

∴在区间上是增函数，在上是减函数.

∴的极大值为，不存在极小值.

（2）由题意在内无零点.

当时，

若时，，在上单调递减，；

若时，，在上单调递减，且此时.

所以，在上有一个零点.

当时，若，则，

所以此时单调递减，

令，则，

所以，即，

故在上无零点.

若时，.

（ⅰ）当时，，单调递增，

又，，

所以此时在上有一个零点.

（ⅱ）当时，，此时在上没有零点.

（ⅲ）当时，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

，

所以此时没有零点.

故的取值范围为.

模板三、求函数的最值

1.模板解决思路

解决本模板的依据是在闭区间上，函数的最值一定在极 值点或端点处取得，故可通过比较函数在极值点和端点处的函数值的大小求得最值，若在其他区间类型上，则可结合函数的单调性求解.

2.模板解决步骤

①第一步求出导数,令=0,得，

②第二步求出，,和定义域区间端点函数值(a) ,(b).

③第三步比较,,和(a)，(b),最大的即为最大值,最小的即为最小值

知识点一、函数最值的定义

1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．

知识点二、求函数的最大值与最小值的步骤

函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；

(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

知识点三、解决生活中的优化问题应当注意的问题

(1)在求实际问题的最大(小)值时，-定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去

(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使=0的情形.如果函数在这点有极大(小值，那么不与端点比较，也可以知道过锁是最大(小)值.

(3)东决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间

例题1

设函数，其中，，为常数．

（1）若，，试讨论函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，且，证明：，并求的最小值（用，的代数式表示）．

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）解：依题意得的定义域为，当时，．

若，，则，从而在上单调递增；

若，，则，从而在上单调递减；

若，，令，得，列表如下：

若，，令得，列表如下：

（2）证明：函数在上单调递增，则对任意实数均成立，

取实数，，则两式相加得：，

令，则，从而．

又由，当时，，若，则不恒成立，又，从而，从而．

下证．

记，，，由于，

在点处的切线方程为：．

接下来，我们证明，

构造函数，．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

从而，故成立．

考虑到直线与直线斜率相等，即它们平行，

又由于恒成立，从而恒成立，

即，即．　

例题2

已知函数．

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）当时，，有，

令，有，

令，可得，令，可得，

即函数的增区间为，减区间为，

故，即，所以函数单调递增，

又由，，

故函数在区间上的值域为；

（2）令，则恒成立可化为时恒成立.

令，有，

①当时，在递增，故，可得此时函数单调递增，又由，故有，满足题意；

②当时，令，可得函数单调递增，又由，，可得存在，使得，可得函数的减区间为，又由，有，不合题意.

综上所述，正数的取值范围为．