高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式专项练习 （解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模板19不等式
专项练习
一、单选题
1.若 x>0 ， y>0 且 x+y=xy ，则 xx-1+2yy-1 的最小值为（    ）
A. 3                                  B. 52+6                                  C. 3+6                                  D. 3+22
【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】因 x>0 ， y>0 且 x+y=xy ，则 xy=x+y>y ，即有 x>1 ，同理 y>1 ，
由 x+y=xy 得： (x-1)(y-1)=1 ，
于是得 xx-1+2yy-1=1+1x-1+2+2y-1=3+(1x-1+2y-1)≥3+21x-1⋅2y-1=3+22 ，
当且仅当 1x-1=2y-1 ，即 x=1+22,y=1+2 时取“=”，
所以 xx-1+2yy-1 的最小值为 3+22 .
故答案为：D
2.若实数x，y满足约束条件 {x-3y+4≥03x-y-4≤0x+y≥0 ，则z=3x+2y的最大值是（   ）
A. -1                                          B. 1                                          C. 10                                          D. 12
【答案】 C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】作出可行域和目标函数相应的直线，

平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
3.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（   ）
A. f （log3 14 ）＞ f （ 2-32 ）＞ f （ 2-23 ）                                B. f （log3 14 ）＞ f （ 2-23 ）＞ f （ 2-32 ）
C. f （ 2-32 ）＞ f （ 2-23 ）＞ f （log3 14 ）                             D. f （ 2-23 ）＞ f （ 2-32 ）＞ f （log3 14 ）
【答案】 C
【考点】不等式比较大小
【解析】解：∵ f(x) 是定义域为R的偶函数，∴ f(-x)=f(x) ，∴ f(log314)=f(-log34)=f(log34) ，
又∵ -32<-23<0 ，∴ 2-32<2-23<20=1 ，∵ log34>log33=1 ，∴ 2-32<2-23 ∵ f(x) 在 (0,∞) 单调递减，∴ f （ 2-32 ）＞ f （ 2-23 ）＞ f （log3 14 ），
故答案为：C.
4.设x，y满足约束条件 {2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0 ，则z=2x+y的最小值是（    ）
A. ﹣15                                        B. ﹣9                                        C. 1                                        D. 9
【答案】 A
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】解：x、y满足约束条件 {2x+2y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0 的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 {y=-32x-3y+3=0 解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．

5.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（   ）
A. c≤3                                 B. 3＜c≤6                                 C. 6＜c≤9                                 D. c＞9
【答案】 C
【考点】其他不等式的解法
【解析】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）
得 ，
解得 {a=6b=11 ，
则f（x）=x3+6x2+11x+c，
由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，
即6＜c≤9，
故选C．
6.函数 f(x)=x-3x+1 的最大值是（   ）
A. 14                                         B. 12                                         C. 22                                         D. 1
【答案】 A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】令 x-3=t(t⩾0) ，则 x=t2+3 ，
求函数 f(x)=x-3x+1 的最大值可化为： g(t)=tt2+4 ，
t=0 时， g(0)=0
t>0 ，有 0 当且仅当 t=2 时“ = ”成立，
综上， 0≤g(t)⩽14
f(x)=x-3x+1 的最大值为 14 ，
故答案为：A．
7.已知函数 f(x)=m⋅2x+x+m2-2 ，若存在实数 x ，满足 f(-x)=-f(x) ，则实数 m 的取值范围为（   ）
A. (-∞， -2]∪(0， 1]                                          B. [-2， 0)∪(0， 1]
C. [-2， 0)∪[1， +∞)                                           D. (-∞， -2]∪[1， +∞)
【答案】 A
【考点】一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】由题意知，方程 f(-x)=-f(x) 有解，
则 f(-x)=m⋅2-x-x+m2-2=-(m⋅2x+x+m2-2) ，
化简得 m(2-x+2x)+2m2-4=0 ，即 2-x+2x=4-2m2m ，
因为 2-x+2x≥2 ，所以 4-2m2m≥2 ，
当  m>0 时， 4-2m2m≥2 化简得 m2+m-2≤0 ， 解得 0 当 m<0 时， 4-2m2m≥2 化简得 m2+m-2≥0 ， 解得 m≤-2 ，
综上所述 m 的取值范围为 (-∞， -2]∪(0， 1] ．
故答案为：A
8.已知 x>0 ， y>0 ， 2x-1x=8y-y ，则 2x+y 的最小值为（   ）
A. 2                                       B. 22                                       C. 32                                       D. 4
【答案】 C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】由题意，知 2x-1x=8y-y ，可得 2x+y=1x+8y ，
则 (2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)(1x+8y)=2+16xy+yx+8≥10+216xy⋅yx=18 ，
当且仅当 16xy=yx 时，即 y=4x 时取得等号，
所以 2x+y≥18=32 ，即 2x+y 的最小值为 32 ，
故答案为：C．
二、多选题
9.已知 a>0,b>0 ，且 2a+8b=1 ，则（    ）
A. 3a-4b>33               B. a+2b⩽1               C. log2a+log2b⩽-6               D. a2+16b2<18
【答案】 A,B,C
【考点】基本不等式
【解析】对于A，因为 a>0,b>0 ，且 2a+8b=1 ，所以 2a-8b=2a-(1-2a)=4a-1>-1 ，所以 32a-8b>3-1=13 ，所以 3a-4b>33 ，A符合题意；
对于B， (2a+8b)2=2a+8b+22a⋅8b=1+22a⋅8b⩽1+(2a+8b)=2 ，所以 2a+8b⩽2 ，当且仅当 2a=8b ，即 a=14,b=116 时取等号，故 a+2b⩽1 ，B符合题意；
对于C， log2(2a)+log2(8b)=log2(16ab)⩽log2(2a+8b2)2=-2 ，当且仅当 2a=8b ，即 a=14,b=116 时取等号，故 log2(2a)+log2(8b)=1+log2a+3+log2b⩽-2 ，得 log2a+log2b⩽-6 ，C符合题意；
对于D，已知 a>0,b>0 ，且 2a+8b=1 ，所以 (2a+8b)2⩽2(2a)2+2(8b)2 ，即 1⩽8a2+128b2 ，则 a2+16b2⩾18 ，当且仅当 2a=8b ，即 a=14,b=116 时取等号，D不符合题意．
故答案为：ABC．
10.若正实数a，b满足 a+b=1 则下列说法正确的是（    ）
A. ab有最大值 14        B. a+b 有最大值 2        C. 1a+1b 有最小值2        D. a2+b2 有最大值 12
【答案】 A,B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】对A, ab≤(a+b2)2=(12)2=14 ,当且仅当 a=b=12 时取等号.A符合题意.
对B, (a+b)2=a+b+2ab≤a+b+a+b=2 ,故 a+b≤2 ,当且仅当 a=b=12 时取等号.B符合题意.
对C, 1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4 .当且仅当 a=b=12 时取等号.所以 1a+1b 有最小值4.C不符合题意.
对D, (a+b)2=1⇒a2+2ab+b2=1≤a2+(a2+b2)+b2 ,即 a2+b2≥12 ,故 a2+b2 有最小值 12 .D不符合题意.
故答案为：AB
11.关于 x 的方程 (x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0 ，下列命题正确的有（    ）
A. 存在实数 k ，使得方程无实根                            B. 存在实数 k ，使得方程恰有2个不同的实根
C. 存在实数 k ，使得方程恰有3个不同的实根         D. 存在实数 k ，使得方程恰有4个不同的实根
【答案】 A,B
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】设 t=x2-2x ，方程化为关于 t 的二次方程 t2+2t+k=0(*) .
当 k>1 时，方程 (*) 无实根，故原方程无实根.
当 k=1 时，可得 t=-1 ，则 x2-2x=-1 ，原方程有两个相等的实根 x=1 .
当 k<1 时，方程 (*) 有两个实根 t1,t2(t1-1 .
因为 t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1 ，所以 x2-2x=t1 无实根， x2-2x=t2 有两个不同的实根.
综上可知：A ， B项正确，C ， D项错误.
故选：AB
12.已知正实数 a,b 满足 a+b=ab ，则（    ）
A. ab≥6                          B. a+b≥4                          C. a+4b≥9                          D. ab2+ba2≥1
【答案】 B,C,D
【考点】基本不等式
【解析】解：因为 a+b=ab ，所以 a+b=ab≥2ab ，即 ab≥4 ，当且仅当 a=b=2 时取等号，A项错误；
由 a+b=ab ，得 a+b=ab≤(a+b2)2 ，得 a+b≥4 ，当且仅当 a=b=2 时取等号，B项正确；
由 a+b=ab ，得 1a+1b=1 ，所以 a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+ab+4ba≥9 ，当且仅当 a=3,b=32 时取等号，C项正确；
因为 ab2+ba2=a3+b3a2b2=(a+b)(a2-ab+b2)a2b2=a2-ab+b2ab=ab+ba-1≥1 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，所以 ab2+ba2≥1 ，D项正确.
故答案为：BCD.
三、填空题
13.如图，已知正方形 OABC ，其中 OA=a(a>1) ，函数 y=3x2 交 BC 于点 P ，函数 y=x-12 交 AB 于点 Q ，当 |AQ|+|CP| 最小时，则 a 的值为________．

【答案】 3
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】解：由题意得： P 点坐标为 (33,a) ， Q 点坐标为 (a,1a) ，
|AQ|+|CP|=a3+1a≥213 ，
当且仅当 a=3 时，取最小值，
故答案为： 3 ．
14.若 x ， y 满足约束条件 {3x+y+1≤0x+y-1≥0x+2≤0 ，则 z=-x+2y 的最小值为________．
【答案】 8
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】因为 x ， y 满足约束条件 {3x+y+1≤0x+y-1≥0x+2≤0 ，
所以可行域如图：

目标函数 z=-x+2y 化成斜截式得 y=12x+z2 ，
则 z 的几何意义表示斜率为 12 的直线在 y 轴上的截距的一半，
由图可知，当斜率为 12 的直线过A点时，在 y 轴上的截距最小，从而 z 也有最小值，
由 {x+y-1=0x+2=0 解得 {y=3x=-2 ，
所以 zmin=-(-2)+2×3=8。
故答案为：8。
15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为________．
【答案】 72π
【考点】基本不等式
【解析】轴截面如图，设 ∠OCD=θ,OD=3, 则
CD=3tanθ,∠ACD=2θ,AD=CD⋅tan2θ ， V=13π⋅9tan2θ⋅CD⋅tan2θ=18πtan2θ(1-tan2θ) ，当 tan2θ=12 时， Vmin=72π ．填 72π ．
16.设 x>0, y>0, x+2y=5 ，则 (x+1)(2y+1)xy 的最小值为________.
【答案】 43
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】∵ x>0, y>0, x+2y=5
∴ (x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy =2xy+6xy =2xy+6xy≥22xy×6xy=43
当且仅当 2xy=6xy ，即当 {x=3y=1 或 {x=2y=32 时，等号成立。
故答案为： 43
四、解答题
17.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分）
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【答案】 （Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为 {70x+60y≤6005x+5y≥30x≤2yx≥0y≥0 ，即 {7x+6y≤60x+y≥6x-2y≤0x≥0y≥0 ．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：

（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为 y=-125x+z25 ，这是斜率为 -125 ，随z变化的一族平行直线．
z25 为直线在y轴上的截距，当 z25 取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距 z25 最大，即z最大．
解方程组 {7x+6y=60x-2y=0 ，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划的应用
【解析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
18.         
（1）已知 x>0 ，求 y=x+4x 的最小值．并求此时 x 的值；
（2）设 0 （3）已知 x>2 ，求 x+4x-2 的最小值；
（4）已知 x>0 ， y>0 ，且 1x+9y=1 ，求 x+y 的最小值；
【答案】 （1）因为 x>0 ，所以 y=x+4x≥2x⋅4x=4 ，当且仅当 x=4x ，即 x=2 时取等号；故当 x=2 时， y=x+4x 取得最小值4；
（2）∵00 ．
∴y=4x·(3-2x)=2[2x(3-2x)]⩽2[2x+(3-2x)2]2=92 ．
当且仅当 2x=3-2x ，即 x=34 时，等号成立．
∵ 34∈(0,32) ，
∴函数 y=4x(3-2x)(0 （3）∵x>2 ， ∴x-2>0
∴x+4x-2=(x-2)+4x-2+2⩾2(x-2)⋅4x-2+2=6 ，当且仅当 x-2=4x-2 时取等号，即 x=4 时， x+4x-2 的最小值为 6 ，
（4）∵x>0 ， y>0 ， 1x+9y=1 ， ∴x+y=(x+y)(1x+9y)=yx+9xy+10⩾2yx⋅9xy+10=16 ．
当且仅当 yx=9xy 时，上式等号成立，又 1x+9y=1 ， ∴x=4 ， y=12 时， (x+y)min=16 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 y=x+4x 的最小值，并求出此时对应的 x 的值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 y=4x(3-2x) 的最大值。
（3）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 x+4x-2 的最小值 。
（4）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 x+y 的最小值 。
19.已知 a>0，b>0，c>0 .
（1）当 a+b=2 时，求证： a4+b4≥2 ；
（2）求 a3+b3+c3+(1a+1b+1c)3 的最小值.
【答案】 （1）解：因为 a>0，b>0，
所以 a4+b4≥(a2+b2)22≥12[(a+b)22]2=12×4=2 ，
当且仅当 a=b=1 等号成立，
∴a4+b4≥2 .

（2）解：因为 a>0，b>0，c>0 ，
所以 a3+b3+c3+(1a+1b+1c)3≥33a3b3c3+(331abc)3=3abc+27abc ≥23abc⋅27abc=18 ，
当且仅当 a=b=c,3abc=27abc ，即 a=b=c=33 时等号成立.
所以原式的最小值为 18 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出 a4+b4≥2 。
（2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 a3+b3+c3+(1a+1b+1c)3 的最小值。
20.已知函数 f(x)=|2x-3|-x+4 .
（1）求不等式 f(x)≤6 的解集 M ；
（2）若 t 为集合 M 中的最大元素，且 1a+12b=t(a>0,b>0) ，求 a9+b2 的最小值.
【答案】 （1）解：当 2x-3≥0 ，即 x≥32 时， 2x-3-x+4≤6 ，解得 32≤x≤5 ；
当 2x-3<0 ，即 x<32 时， 3-2x-x+4≤6 ，解得 13≤x<32 ，
所以不等式 f(x)≤6 的解集 M =[13,5]
（2）解：由（1）知 t=5 ，所以 1a+12b=5 ，
所以 a9+b2 =15(a9+b2)(1a+12b)= 15(19+14+a18b+b2a) ≥15(19+14+2a18b×b2a)
=15(1336+13)=536 .
当且仅当 a=12 ， b=16 时,等号成立.
所以 a9+b2 的最小值的最小值为 536
【考点】其他不等式的解法，基本不等式
【解析】（1）分类讨论去绝对值可解得结果；（2）由（1）知 t=5 ，所以 1a+12b=5 ，根据 a9+b2 =15(a9+b2)(1a+12b)= 15(19+14+a18b+b2a) 以及基本不等式可得结果.
21.已知函数 f(x)=x+ax-1 （ a 为常数），其中 f(x)<0 的解集为 (-3,1) ．
（1）求实数 a 的值；
（2）设 g(x)=x+f(x) ，当 x(x>1) 为何值时， g(x) 取得最小值，并求出其最小值．
【答案】 （1）解：已知 f(x)<0 的解集为 (-3,1) ，
故 f(x)=0 的一个根为 -3 ，
所以 -a=-3 ，
得 a=3 ．
（2）解： g(x)=x+f(x)=x+x+3x-1=x+x-1+4x-1=x-1+4x-1+2 ，
因为 x>1 ，所以 x-1+4x-1≥2(x-1)(4x-1)=4 ，
当且仅当 x-1=4x-1 ，即 x=3 时取等号，
所以当 x=3 时， g(x) 取得最小值为6．
【考点】其他不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）由不等式的解与相应方程根的关系可求得 a ；（2）变形后用基本不等式求最值．
22.设 x,y,z∈R ，且 x+y+z=1 .
（1）证明： x2+y2+z2≥13 ；
（2）求 (x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值.
【答案】 （1）证明：证明：因为 (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤3(x2+y2+z2) ，
当且仅当 x=y=z=13 时，等号成立，
又∵ x+y+z=1 ，∴ x2+y2+z2≥13 ；
（2）解：由（1）知： (x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥13(x-1+y+1+z+1)2=43 ，
当且仅当 x-1=y+1=z+1 且 x+y+z=1 即 x=53 、 y=z=-13 时，等号成立，
所以 (x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 有最小值 43 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）由题意结合基本不等式可得 (x+y+z)2≤3(x2+y2+z2) ，即可得证；（2）由题意结合（1）中结论得 (x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥13(x-1+y+1+z+1)2 ，即可得解.