高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板15 平面向量（解析版）

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模板一、向量的数量积运算

1.模板解决思路

平面向量的数量积的运算有两种形式:一是相据长度和夹角计算;二是利用坐标来计算.对于第一种形式,要注意确定这两个向量的夹角，若夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.对于第二种形式，可通过建立坐标系,确定相关向量的坐标再求解.

2.模板解决步骤

①第一步利用已知条件得到相关的数量积、模或夹角的关系。

②第二步将要求的数量积转化为已知的数量积、模或夹角的运算.

③第三步代人化简,求出结果.

知识点1.平面向量的数量积

已知两个非零向量与b,我们把数量|||b|cos叫作与b的数量积(或内积),记作b,即b=|| |b|cos.其中是与b的夹角，||cos(|b|cos)叫作向量在b方向上(b在方向上)的投影

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

知识点2.平面向量数量积的性质

设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则

(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

知识点3.平面向量数量积的运算律

1.a·b＝b·a(交换律).

2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).

3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

例题1

如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，

（1）利用单位圆､向量知识证明：

（2）若，，，，求的值

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】

（1）由题意知：，且与的夹角为，

所以，

又，，

所以，

故．

（2）且，则；

，则，又，，，

例题2

如图，在平面四边形中，，，且角与角互补.

（1）求面积的最大值；

（2），求的周长

【答案】（1）；（2）9

【详解】

解：在中，

由余弦定理得，，

因为，所以，

因为角与角互补，所以，

设，，

在中，由余弦定理得，，

所以，

（1）因为

所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以面积的最大值.

（2）因为，所以，得

又因为，

所以解得，

所以的周长9

模板二、求向量的坐标

1.模板解决思路

求向量的坐标,若所给条件比较简单可先将向量用其他已知坐标的向量表示出来，然后代人坐标计算可得.而对于所给条件较复杂的一般是用待定系数法，先设出坐标，然后利用条件得出关于参数的方程(组),最后解出来可得.

2.模板解决步骤

①第一步设出向量的坐标.

②第二步根据条件p,列出关于坐标的方程(组).

③第三步解方程(组),得向量的坐标.

知识点1.平面向量加、减运算的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

知识点2.平面向量数乘运算的坐标表示

已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

知识点3.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.

注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.

知识点4.平面向量数量积的坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

则a·b＝x1x2＋y1y2.

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.

(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(3)cos θ＝＝.

例题1

已知向量，．

（1）求的坐标以及与之间的夹角；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【详解】

（1）因为，，所以，

设与之间的夹角为，

则，

因为，所以与之间的夹角为.

（2），

因为，所以，

故的取值范围是.

例题2

已知，，．

（1）求与的夹角的大小;

（2）若，求k的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）设与的夹角为，因为，

因为，

所以.      

（2），        

因为，即，解得.

模板三、平面向量的实际应用

1.模板解决思路

同用其他数学知识解决实际问题一样,用平面向量解决实际问题，也是先将实际问题转化为数学问题,然后利用平面向量相关知识解决数学问题，最后将数学结果转化为实际问题的答案.

2.模板解决步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

①第-步；建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

②第二步；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

③第三步；把运算结果“翻译”成几何关系.

知识点1.向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

知识点2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤

(1)利用线性运算证明的四个步骤

①选取基底.

②用基底表示相关向量.

③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.

④把几何问题向量化.

(2)利用坐标运算证明的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系.

②把相关向量坐标化.

③用向量的坐标运算找出相应关系.

④把几何问题向量化.

知识点3.利用向量解决平面几何求值

(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：

选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.

②坐标法：

建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.

例题1

在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足 ，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为 ．过点 的直线TA，TB与此椭圆分别交于点 ， ，其中 ， ， ．   

（1）求椭圆C的标准方程；   

（2）当T在直线 时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．   

【答案】 （1）解：由 知 ， ，  

由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为 ，

又有 ，解得 ， ，所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）解：可知 ，直线AT的方程为 ，直线BT的方程为 ．  

点 满足   ，故 ， ．

点 满足   ，故 ， ．

若 ，则 且 ，得 ，

此时直线MN的方程为 ，过点 ；

若 ，则 ，

直线MD的斜率 ，

直线MD的斜率为 ，

所在 ，所以直线MN过点 ，

因此直线MN必过x轴上一定点 ．

【解析】（1）根据题意求出 的值，得到椭圆方程.（2）计算 和 的直线方程，联立方程计算 坐标，讨论 和 两种情况，计算得到答案.

例题2

如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ，直线 ： 与椭圆E相交于A、B两点，线段 的中垂线交椭圆E于C、D两点. 

（1）求椭圆E的标准方程；   

（2）求线段 长的最大值；   

（3）求 的值.   

【答案】 （1）解：设椭圆E的焦距为 ，  

则 ，可知 .

又因为椭圆 过点 ，所以 ，

解得 ， ，所以椭圆的标准方程为
（2）解：设 ， ， ， ，  

由 得 ，

又直线 ： 与椭圆 相交于A，B两点，

所以 ，且 ，则 .

设 的中点 ，则 ， ，

所以 的中垂线的方程为 ，即直线 的方程为 ，

由 得 ，则 ，

所以

，

又 ，所以当 时， .
（3）解：由（2）知，    

，

由（2）知 ，

所以

.

【解析】（1）由离心率 ，解得 ，再将点 代入椭圆方程，可得 ，解出 、 即可求解. （2）设 ， ， ， ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出 的中点 ，求出直线 的方程为 ，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.