高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板18 数列（解析版）

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模板一、求数列的通项公式

1.模板解决思路

观察归纳法就是观察数列的特征找出各项共司的构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各页与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式.

2.模板解决步骤

①第一步仔细观察数列的前几项(或前几个图形),分析项(或图形)的结构特点.

②第二步寻找项(或图形 )与序号的关系.③第三步猜想数列的通项公式，并通过代入检验数列的前几项，看是否满足所求出的通项公式.

知识点一、数列及其有关概念

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，

第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，

第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．

知识点二、数列的分类

知识点三、通项公式

1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．

2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．

例题1

根据下列条件，确定数列的通项公式．

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)；(2) ；(3)

【详解】

(1)因为，所以，

由以上 个式子得

.又，所以

(2)因为，所以，

所以

当 时， 符合上式，所以.

(3)因为，所以，即 .

所以数列为等比数列，公比，首项为，

所以.所以.

例题2

设数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1），，

，，，

，

，经检验，也满足.

所以数列的通项公式为

（2），

，

.

模板二、由等差或等比数列性质求值

1.模板解决思路

根据等差或等比数列的性质求值，首先要对所求值进行分析，然后通过利用等差或等比数列的性质进行转化，逐步向已知条件靠拢,从而求出所要求的值.

2.模板解决步骤

①第一步；观察已知条件和所求未知量的结构特点.

②第二步；选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系式.

③第三步；整理化简,求得代数式的值

知识点1.等差数列的单调性

等差数列首项为，则

d>0等差数列是递增数列

d=0等差数列是常数列

d<0等差数列是递减数列

知识点2.等差数列的性质

1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有

知识点3.等比数列的单调性

等比数列首项为，公比为q，则

（1）当q>1,>0或0<q<1，<0时，等比数列是递增数列

（2）当q=1,等比数列是常数列

（3）当q>0,等比数列是摆动数列

知识点4.等比数列的常用性质

设数列{an}为等比数列，则：

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．

(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．

(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.

(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.

例题1

已知是等差数列，，数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

因为，所以，又，所以，

所以，

又，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

（2）设，则

，

所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以数列的前项和为.

例题2

已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.

（1）若数列具有性质P，且，求、的值；

（2）若，求证：数列具有性质P；

（3）设，数列具有性质P，其中，若，求正整数n的取值范围.

【答案】（1），；（2）见解析（3）

【详解】

解：（1）为等比数列，

，，

，，

的公比为2，

，

，即，

，即；

（2），

，

是以公比为2的等比数列，

数列具有性质P；

（3），

时，，

，

又当，，符合上式，

∴，

，

，

数列具有性质P，

由（1）可得，，

，

，

正整数n的取值范围是．

模板三、求等差或等比数列的前n项和

1.模板解决思路

(1)由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知，d，n，an，Sn ,中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解.

(2)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有，an,n,q,Sn,五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量.

2.模板解决步骤

①第一步；结合所求结论，寻找已知与未知的关系.

②第二步；根据已知条件列方 程求出未知量.

③第三步；利用前 n项和公式求得结果.

知识点一、等比数列的前n项和公式

知识点二、等差数列的前n项和公式

例题1

设等比数列的各项均为正数，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）设等比数列的公比为，

因为，，可得，解得；

所以数列的通项公式.

（2）由（1）可得，

记，

则，

两式相减，可得

解得，所以.

例题2

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

已知是公差不为的等差数列，其前项和为，___________且､､成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前项和.

【答案】（1）若选①，，若选②，，若选③，；（2）若选①，

，若选②， ，若选③， .

【详解】

（1）设数列的公差为.因为，，成等比数列，则，

故，化简得.因为，所以，所以.

若选①，则，即，则；

若选②，则，即，则；

若选③，则，即，则；

（2）因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，

设数列的公比为，则.

若选①，则，故，，

所以，由，得.又，则，所以，

所以.

若选②，则，故，，

所以，由，得.又，则，所以，

所以.

若选③，则，故，，

所以，由，得.又，则，所以，

则.