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高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板11 圆与方程专项练习 （解析版）
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这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板11 圆与方程专项练习 （解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板11圆与方程
专项练习
一、单选题
1.已知函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1) 恒过定点A，则过点 B(1,1) 且以A点为圆心的圆的方程为（ ）
A. (x-1)2+(y-2)2=1 B. (x-2)2+(y-2)2=2
C. (x+1)2+(y-2)2=5 D. (x-2)2+(y+2)2=10
【答案】 B
【解析】函数 y=loga(x-1)+2 ，当 x=2 时， y=2
所以函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1) 恒过定点A (2,2)
|AB|=(2-1)2+(2-1)2=2
所以过点 B(1,1) 且以A点为圆心的圆的方程为 (x-2)2+(y-2)2=2
故答案为：B
2.在平面直角坐标系中，坐标原点为 O ，A（1，0），B（3，0）， C(2,22) ，则 △ABC 的内切圆圆心到点O的距离为（ ）
A. 449 B. 322 C. 92 D. 2113
【答案】 B
【解析】设内切圆圆心为 O1 ， AC=BC=3 ， AB=2 ，
由等面积法可得内切圆半径 r=2S△ABC|AB|+|BC|+|CA| =428=22 ，
所以 O1(2， 22) ， OO1=4+12=322 ，
故答案为：B
3.过点 A(m,3m+24) 向圆 C:x2+y2-4x+6y+9=0 作切线，切点为 B ，若 |AB|>λ ，则实数 λ 的取值范围为（ ）
A. (-∞,23-2) B. (-∞,23) C. (-∞,3-1) D. (-∞,3)
【答案】 B
【解析】解：依题意，圆 C:(x-2)2+(y+3)2=4 ，则圆心 C(2，-3) ，半径 R=2 ，而点 A(m,3m+24) 在直线 3x-4y+2=0 上，
则 |AB|=|AC|2-|BC|2=|AC|2-4 ，而 |AC|≥|3×2+4×3+2|5=4 ，所以 |AC|2-4≥23 ，
故 |AB|≥23 ，则 23<λ ，即实数 λ 的取值范围为 (-∞,23) ．
故答案为：B．
4.在 △ABC 中，点D满足 AD=13DB 且 CD⊥CB ，则当角A最大时，cosA的值为（ ）
A. -45 B. 35 C. 45 D. 53434
【答案】 C
【解析】由于 CD⊥CB ，所以 C 在以 BD 为直径的圆 O 上（除 B,D 两点）.
所以当直线 AC 与圆 O 相切时， A 最大.
当直线 AC 与圆 O 相切时， OC⊥AC ，
由于 AD=13DB ，设 |AD|=1 ，则 |DB|=3 ， |OC|=12|DB|=32,|OA|=1+32=52 .
|AC|=(52)2-(32)2=2 ， cosA=|AC||OA|=252=45 .
故答案为：C
5.已知⊙M： x2+y2-2x-2y-2=0 ，直线 l ： 2x+y+2=0 ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 PA,PB ，切点为 A,B ，当 |PM|⋅|AB| 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0
【答案】 D
【解析】圆的方程可化为 (x-1)2+(y-1)2=4 ，点M到直线l的距离为 d=|2×1+1+2|22+12=5>2 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 A,P,B,M 四点共圆，且 AB⊥MP ，所以 |PM|⋅|AB|=2S△PAM=2×12×|PA|×|AM|=4|PA| ，而 |PA|=|MP|2-4 ，
当直线 MP⊥l 时， |MP|min=5 ， |PA|min=1 ，此时 |PM|⋅|AB| 最小．
∴ MP:y-1=12(x-1) 即 y=12x+12 ，由 {y=12x+122x+y+2=0 解得， {x=-1y=0 ．
所以以 MP 为直径的圆的方程为 (x-1)(x+1)+y(y-1)=0 ，即 x2+y2-y-1=0 ，
两圆的方程相减可得： 2x+y+1=0 ，即为直线 AB 的方程．
故答案为：D.
6.已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1 ， C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A. 17﹣1 B. 5 2 ﹣4 C. 6﹣2 2 D. 17
【答案】 B
【解析】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，C2 ， C3 ， 三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1= (3-2)2+(-3-4)2 ﹣4= 50 ﹣4=5 2 ﹣4．
故选：B．
7.已知圆 x2+y2-6x=0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】圆 x2+y2-6x=0 化为 (x-3)2+y2=9 ，所以圆心 C 坐标为 C(3,0) ，半径为 3 ，
设 P(1,2) ，当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 29-|CP|2=29-8=2 .
故答案为：B.
8.已知直线 l:3x+my+3=0 ，曲线 C:x2+y2+4x+2my+5=0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. “ m>1 ”是曲线C表示圆的充要条件
B. 当 m=33 时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C. “ m=-3" 是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D. 当 m=-2 时，曲线C与圆 x2+y2=1 有两个公共点
【答案】 C
【解析】对于A，曲线 C:x2+y2+4x+2my+5=0⇒(x+2)2+(y+m)2=m2-1 ，曲线 C 要表示圆，则 m2-1>0⇒m<-1 或 m>1 ，
所以“ m>1 ”是曲线 C 表示圆的充分不必要条件，A不符合题意；
对于B， m=33 时，直线 l:x+3y+1=0 ，曲线 C:(x+2)2+(y+33)2=26 ，
圆心到直线 l 的距离 d=|-2+3×(-33)+1|1+3=5 ，
所以弦长 =2r2-d2=226-25=2 ，B不符合题意；
对于C，若直线 l 与圆相切，圆心到直线 l 的距离 d=|-6-m2+3|9+m2=m2+1⇒m=±3 ，
所以“ m=-3" 是直线 l 与曲线 C 表示的圆相切的充分不必要条件，C符合题意；
对于D，当 m=-2 时，曲线 C:(x+2)2+(y-2)2=3 ，其圆心坐标 (-2,2) ， r=3 ，
曲线C与圆 x2+y2=1 两圆圆心距离为 (-2-0)2+(2-0)2=22>3+1 ，故两圆相离，不会有两个公共点，D不符合题意.
故答案为：C.
二、多选题
9.已知圆 M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=1+k2 ，则下列四个命题中正确的命题有（ ）
A. 若圆 M 与 y 轴相切，则 k=±24 B. 圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为 65
C. 若直线 y=x 平分圆 M 的周长，则 k=2 D. 圆 M 与圆 (x-3k)2+y2=4k2 可能外切
【答案】 A,B,D
【解析】圆 M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=1+k2 的圆心坐标为： (3k,4k+2) ，半径为 r=1+k2 .
若圆 M 与 y 轴相切，则 |3k|=1+k2 ，解得 k=±24 ，所以A为真命题．
因为 (3k)2+(4k+2)2=25k2+16k+4=(5k+85)2+3625≥3625 ，
所以 |OM|≥65 ，所以B为真命题．
若直线 y=x 平分圆 M 的周长，则 3k=4k+2 ，即 k=-2 ，所以C为假命题．
若圆 M 与圆 (x-3k)2+y2=4k2 外切，则 |4k+2|=1+k2+4k2 ，
设函数 f(k)=|4k+2|-1+k2-4k2 ，因为 f(0)=1>0 ， f(-1)=-2<0 ，
所以 f(k) 在 (-1,0) 内必有零点，则方程 |4k+2|=1+k2+4k2 有解，所以D为真命题．
故答案为：ABD
10.已知圆 C1:x2+y2=r2 ，圆 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2, (r>0 ，且 a,b 不同时为0）交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，下列结论正确的是（ ）
A. 2ax1+2by1=a2+b2
B. a(x1-x2)+b(y1-y2)=0
C. x1+x2=a,y1+y2=b
D. M，N为圆 C2 上的两动点，且 |MN|=3r ，则 |OM+ON| 的最大值为 a2+b2+r
【答案】 A,B,C
【解析】由 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2 ，得 x2+y2+a2+b2-2ax-2by=r2 ，
两圆的方程相减得到直线AB的方程为 2ax+2by=a2+b2 ，
因为点 A(x1,y1) 在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax1+2by1=a2+b2 ，——①
因此A符合题意；又因为 B(x2,y2) 也在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax2+2by2=a2+b2 ——②，
①-②，得 a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 ，因此B符合题意；
因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为 C1C2 的中点，所以 x1+x2=a,y1+y2=b 成立，因此C符合题意；
设 MN 的中点为 H ，则 |OM+ON|=|2OH| ，当 C1,C2,H 三点共线时 |OM+ON| 最大，最大为 2a2+b2+r ,因此D不符合题意.
故答案为：ABC.
11.已知圆 O1:x2+y2-2x-3=0 和圆 O2:x2+y2-2y-1=0 的交点为 A ， B ，则（ ）
A. 圆 O1 和圆 O2 有两条公切线
B. 直线 AB 的方程为 x-y+1=0
C. 圆 O2 上存在两点 P 和 Q 使得 |PQ|>|AB|
D. 圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2+2
【答案】 A,B,D
【解析】解：对于A ， 因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B ， 将两圆方程作差可得 -2x+2y-2=0 ，即得公共弦 AB 的方程为 x-y+1=0 ，B符合题意；
对于C ， 直线 AB 经过圆 O2 的圆心 (0,1) ，所以线段 AB 是圆 O2 的直径，故圆 O2 中不存在比 AB 长的弦，C不符合题意；
对于D ， 圆 O1 的圆心坐标为 (1,0) ，半径为2，圆心到直线 AB:x-y+1=0 的距离为 |1+1|2=2 ，所以圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2+2 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
12.已知圆 C ： x2+y2-kx+2y+14k2-k+1=0 ，下列说法正确的是（ ）
A. k 的取值范围是 k>0
B. 若 k=4 ，过 M(3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 23 ，方程为 12x-5y-16=0
C. 若 k=4 ，圆 C 与圆 x2+y2=1 相交
D. 若 k=4 ， m>0 ， n>0 ，直线 mx-ny-1=0 恒过圆 C 的圆心，则 1m+2n≥8 恒成立
【答案】 A,C,D
【解析】对于A，方程表示圆可得 (-k)2+4-4(14k2-k+1)>0 ，
解得 k>0 ，A符合题意；
对于B，若 k=4 ，可得圆方程： (x-2)2+(y+1)2=4 ，
过 M(3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 23 ，
则圆心 (2,-1) 到直线的距离为 1 ，当直线的斜率不存在时， x=3 ，满足条件，B不正确；
对于C， (x-2)2+(y+1)2=4 ，圆心 (2,-1) ，半径 r1=2 ，
圆 x2+y2=1 ，圆心为 (0,0) ，半径 r2=1 ，
两圆心的距离为 r1-r2=1<22+(-1)2=5
可得 2m+n-1=0⇒2m+n=1 .
1m+2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn≥4+2nm⋅4mn=8 ，
当且仅当 m=14,n=12 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.
三、填空题
13.已知点 P(x，y) 是直线 l ： kx-y+4=0 ( k>0 )上的动点，过点 P 作圆 C ： x2+y2+2y=0 的切线 PA ， A 为切点.若 |PA| 最小为 2 时，圆 M ： x2+y2-my=0 与圆 C 外切，且与直线 l 相切，则 m 的值为________
【答案】 25-2
【解析】圆C的圆心为 C(0,-1) ，半径为 1 ，
当 CP 与 l 垂直时， |PA| 的值最小，
此时点C到直线 l 的距离为 d=|1+4|1+k2 ，
由勾股定理得 12+22=(|1+4|1+k2)2 ，
又 k>0 ，解得 k=2 ，
圆 M 的圆心为 M(0,m2) ，半径为 |m2| ，
∵圆 M 与圆 C 外切，∴ |m2|+1=|m2-(-1)| ，∴ m>0 ，
∵圆 M 与直线 l 相切，∴ m2=|-m2+4|5 ，解得 m=25-2 .
故答案为： 25-2 .
14.设双曲线 x216-y2b2=1 的左右两个焦点分别为 F1 、 F2 ，P是双曲线上任意一点，过 F1 的直线与 ∠F1PF2 的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点 A(8,0) ， B(5,6) ，则 12|AM|+|BM| 的最小值________.
【答案】 x2+y2=16；35
【解析】如图所示：延长 F1Q 与 PF2 的延长线交于点M，
则 OQ=12MF2=12(PM-PF2)=12|PF1-PF2|=a=4 ，
故轨迹方程为 x2+y2=16 .
取点 C(2,0) ，则 OCOM=OMOA=12 ， ΔMOC∼ΔMOA ，故 MC=12PA ，
12|AM|+|BM|=|MC|+|BM|≤|BC|=35 ，当 BMC 共线时等号成立.
故答案为： x2+y2=16 ； 35
15.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）.若圆O和圆M上分别存在点P ， Q ， 使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________.
【答案】 -65≤ a≤0
【解析】解：由题意，圆 M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a 为实数），圆心为 M(-a-3,2a)
圆 M 上任意一点Q向圆O作切线，切点为 P ， ∠PQO=30° ，
所以 x2+y2=4 与圆 M 有交点 1⩽(a+3)2+4a2⩽3 ，
解得 -65⩽a⩽0 ，
故答案为： -65⩽a⩽0 ，
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O:x2+y2=1 ， O1:(x-4)2+y2=4 ，动点 P 在直线 x+3y-b=0 上，过P点分别作圆 O,O1 的切线，切点分别为 A,B ，若满足 PB=2PA 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．
【答案】 (-203,4)
【解析】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则
∵PB=2PA， ∴(x-4)2+y2-4=2x2+y2-1 ，
∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，
∴x2+y2+ 83x-163 =0，
圆心坐标为 (-43,0) ,半径为 83 ，
∵动点P在直线x+ 3 y−b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴直线与圆x2+y2+ 83x-163 =0相交，
∴圆心到直线的距离 d=|-43-b|1+3<83 ，
∴ -43-163
四、解答题
17.已知圆 O:x2+y2=3 ，直线 PA 与圆O相切于点A，直线 PB 垂直y轴于点B，且 |PB|=2|PA| ．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）直线 PA 与E相交于 P,Q 两点，若 △POA 的面积是 △QOA 的面积的两倍，求直线 PA 的方程．
【答案】 （1）解：设 P(x,y) ，则 |PA|2=|PO|2-3=x2+y2-3 ， |PB|2=x2 ，
由 |PB|=2|PA| 得， |PB|2=4|PA|2 ，所以 x2=4(x2+y2-3) ，
化简得 x24+y23=1 ．故点 P 的轨迹 E 的方程为 x24+y23=1 (x≠0) ．
（2）解：当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意．
设直线 PA:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2) ．
由直线 PA 与圆 O 相切，可得 |m|k2+1=3, m2=3(k2+1) ．
由 {x24+y23=1,y=kx+m, 得 (3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0 ，
所以 {x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.
由 S△POA=2S△QOA 得， 12×3×|PA|=2(12×3×|QA|),|PA|=2|QA|,
又 |PA|=|OP|2-3,|QA|=|OQ|2-3 ，
所以 4|OQ|2-|OP|2=9 ， 4(x12+y12)-(x22+y22)=9
4(x12+y12)-(x22+y22)=9 ， |x1|=2|x2|
因为 x1x2=4m2-123+4k2=12k23+4k2>0 ，所以 x1=2x2 ．
因为 (x1+x2)2x1x2=(-8km3+4k2)24m2-123+4k2=16k2m2(3+4k2)(m2-3)=16(k2+1)3+4k2 ，
(x1+x2)2x1x2=(2x2+x2)22x22=92 ，
所以 16(k2+1)3+4k2=92, k=±52, m=±332 ．
故直线 PA 的方程为 y=±52x+332 或 y=±52x-332
【解析】（1）设 P(x,y) ，则 |PA|2=|PO|2-3=x2+y2-3 ， |PB|2=x2 ，代入 |PB|=2|PA| 中可求得轨迹方程；（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意，设直线 PA:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2) ,由直线与圆相切和面积关系，可求得 m,k 的值，从而求得直线的方程.
18.已知圆C过原点且关于直线2x-y=0对称，又直线y=-x+3与圆C交于M,N两点，且以MN为直径的圆过原点。
（1）求圆C的方程并指明圆心和半径；
（2）若过A(0,5)的直线 l 与圆C交于E,F两点，且|EF|=2,求直线 l 的斜率；
（3）求过A(0,5)及圆C上的任意一点P的动直线 l1 斜率的取值范围。
【答案】 （1）解：∵以MN为直径的圆过原点，∴圆心在y=-x+3上。
又圆心在直线2x-y=0上，
可得 {y=2xx+y-3=0 ，得x=1,y=2,圆心为（1,2），圆的半径为： 12+22=5 。
圆C的方程为 (x-1)2十(y-2)2=5
（2）解：设直线 l 方程：y=kx+5，则 d=|k·1-2+5|k2+(-1)2=|k+3|k2+1 ，
∴ d2+(EF2)2=R2 ,得 k=1±263
（3）解：由（2）直线 l1 为y=kx+5，又 d=|k+3|k2+1≤5 ,得 k≤-12 或 k≥2 。
【解析】（1）由题意可知，圆C的圆心既在y=-x+3上 ， 又在 直线2x-y=0上 ，联立 {y=2xx+y-3=0 可解得x，y的值，进而得出圆心的坐标，半径r=OC=5,进而得出圆的方程；
（2）分两种情况：第一种若过A0,5的直线的斜率不存在，则直线l的方程为x=0 ， 此时圆心1,2到直线l的距离为1,得出EF=4不等于2，故舍去；第二种若过A0,5的直线的斜率存在，设直线 l方程为：y=kx+5 ， 再由圆心到直线l的距离为2，列出等式，即可解得k的值；
（3）由已知条件可知，直线l1与圆C总有公共点，得出圆心1,2到直线l1的距离 d=|k+3|k2+1≤5 , 进而解出k的取值范围。
19..已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C ： (x+1)2+y2=4 交于 A,B 两点.
（1）.若 |AB|=15 ，求直线 l 的方程；
（2）.x 轴上是否存在定点 M(x0,0) ，使得当 l 变动时，总有直线 MA,MB 的斜率之和为0？若存在，求出 x0 的值；若不存在，说明理由.
【答案】 （1）解：设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，则
d=|CA|2-(|AB|2)2=4-154=12
当 l 的斜率不存在时， d=1 ，不合题意
当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx ，由点到直线距离公式得
|k|k2+1=12
解得 k=±33 ，故直线l的方程为 y=±33x
（2）解：存在定点 M ，且 x0=3 ，证明如下：
设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k1,k2 .
当 l 的斜率不存在时，由对称性可得 ∠AMC=∠BMC ， k1+k2=0 ，符合题意
当 l 的斜率存在时，设l的方程为 y=kx ，代入圆C的方程
整理得 (k2+1)x2+2x-3=0
∴ x1+x2=-2k2+1 ， x1x2=-3k2+1 ，
∴ k1+k2=y1x1-x0+y2x2-x0=2kx1x2-kx0(x1+x2)(x1-x0)(x2-x0)
=(2x0-6)k(x1-x0)(x2-x0)(k2+1)
当 2x0-6=0 ，即 x0=3 时，有 k1+k2=0 ，
所以存在定点 M(3,0) 符合题意， x0=3
【解析】(1)由直线与圆相交时,半径,半弦长,弦心距构成直角三角形求解;
(2)设出直线方程代入到圆方程中,消去y得关于x的方程,结合韦达定理由斜率和为0求出点M的坐标,从而证明过定点.
20.已知 ⊙M 过 A(-1,7) ， B(2,6) ， C(-1,-3) 三点.
（1）求 ⊙M 的标准方程；
（2）直线 l ： x-y+2=0 与 ⊙M 相交于 D ， E 两点，求 ΔMDE 的面积（ M 为圆心）.
【答案】 （1）解：设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,
因为 ⊙M 过 A(-1,7) , B(2,6) , C(-1,-3) 三点,
所以 {1+49-D+7E+F=04+36+2D+6E+F=01+9-D-3E+F=0⇒{D=2E=-4F=-20 ,
所以圆 M 的方程为 x2+y2+2x-4y-20=0 ,
所以圆 M 的标准方程为 (x+1)2+(y-2)2=25
（2）解：圆心 M(-1,2) 到直线 l 的距离为 d=|-1-2+2|2=22 ,
则 |DE|=2|MD|2-d2=225-12=72 ,
所以 ΔMDE 的面积为 S=12⋅|DE|⋅d=12⋅72⋅22=72
【解析】(1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可;(2)先求出圆心 M 到直线 l 的距离,再利用垂径定理求出弦长 |DE| ,进而可求 ΔMDE 的面积.
21.在平面直角坐标系xoy中，直线 l1:y=2x-4 ， l2:y=x-1 ，设圆C的半径为1，圆心在 l1 上.
（1）若圆心C也在直线 l2 上，①求圆C的方程；
②过点 A(2,0) 作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆在直线 l2 截得的弦长为 2 ，求圆C的方程.
【答案】 （1）解：①由题知： {y=2x-4y=x-1⇒{x=3y=2 .
所以圆心为 (3,2) ，圆 C ： (x-3)2+(y-2)2=1 .
②当斜率不存在时， l 为 x=2 ，
圆心 (3,2) 到 x=2 的距离为 |3-2|=1=r ，符合题意.
当斜率存在时，设切线为： y=k(x-2) .
|3k-2-2k|k2+1=1 ，解得 k=34 ，即切线为： 3x-4y-6=0 .
综上所述，切线为： x=2 或 3x-4y-6=0
（2）解：因为圆心在 y=2x-4 上，设圆心为 (a,2a-4) .
因为直线 l2 截得的弦长为 2 ，圆的半径为 1 ，
所以圆心到 l2 的距离为 1-(22)2=22 .
所以 |a-2a+4-1|2=22 ，即 |a-3|=1 ， a=4 或 a=2 .
所以圆 C ： (x-4)2+(y-4)2=1 或 (x-2)2+y2=1
【解析】（1）①联立 {y=2x-4y=x-1 求出圆心坐标，再根据半径为 1 即可写出圆 C 的标准方程.②分别讨论斜率不存在和存在时的情况，利用直线和圆相切的关系即可求出切线方程.（2）首先设出圆心坐标，根据直线 l2 截得的弦长为 2 ，圆的半径为 1 ，得到圆心到 l2 的距离为 22 ，再利用点到直线的距离公式即可求出圆心坐标和圆 C 的标准方程.
22..已知圆 C1:x2+y2+6x=0 关于直线 l1:y=2x+1 对称的圆为C.
（1）.求圆C的方程；
（2）.过点 (-1,0) 作直线 l 与圆C交于A,B两点， O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得在平行四边形OASB中 |OS|=|OA-OB| ？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：圆 C1 化为标准为 (x+3)2+y2=9 ，
设圆 C1 的圆心 C1(-3,0) 关于直线 l1:y=2x+1 的对称点为 C(a,b) ，则 kCC1kl=-1 ，
且 CC1 的中点 M(a-32,b2) 在直线 l1:y=2x+1 上，
所以有 {ba+3×2=-1(a-3)-b2+1=0 ，
解得： {a=1b=-2 ，
所以圆 C 的方程为 (x-1)2+(y+2)2=9
（2）解：由 |OS|=|OA-OB|=|BA| ，所以四边形 OASB 为矩形，所以 OA⊥OB .
要使 OA⊥OB ，必须使 OA·OB=0 ，即： x1x2+y1y2=0 .
①当直线 l 的斜率不存在时，可得直线 l 的方程为 x=-1 ，与圆 C:(x-1)2+(y+2)2=9
交于两点 A(-1,5-2) ， B(-1,-5-2) .
因为 OA·OB=(-1)(-1)+(5-2)(-5-2)=0 ，所以 OA⊥OB ，所以当直线 l 的斜率不存在时，直线 l:x=-1 满足条件.
②当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .
设 A(x1,y1),B(x2,y2)
由 {(x-1)2+(y+2)2=9y=k(x+1) 得： (1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0 .由于点 (-1,0) 在圆 C 内部，所以 Δ>0 恒成立，
x1,2=-(2k2+4k-2)±(2k2+4k-2)2-4(1+k2)(k2+4k-4)2(1+k2) ，
x1+x2=-2k2+4k-21+k2 ， x1x2=k2+4k-41+k2 ，
要使 OA⊥OB ，必须使 OA·OB=0 ，即 x1x2+y1y2=0 ，
也就是： k2+4k-41+k2+k2(x1+1)(x2+1)=0
整理得： (1+k2)k2+4k-41+k2-k2·k2+4k-21+k2+k2=0
解得： k=1 ，所以直线 l 的方程为 y=x+1
存在直线 x=-1 和 y=x+1 ，它们与圆 C 交 A,B 两点，且四边形 OASB 对角线相等.
【解析】（1）求出圆心关于直线的对称点，得到对称圆的圆心，即可写出关于直线对称的圆的方程；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，设出直线方程，联立得到一元二次方程，结合韦达定理，求出k，即可得到这样的直线方程.
模板11圆与方程
专项练习
一、单选题
1.已知函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1) 恒过定点A，则过点 B(1,1) 且以A点为圆心的圆的方程为（ ）
A. (x-1)2+(y-2)2=1 B. (x-2)2+(y-2)2=2
C. (x+1)2+(y-2)2=5 D. (x-2)2+(y+2)2=10
【答案】 B
【解析】函数 y=loga(x-1)+2 ，当 x=2 时， y=2
所以函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1) 恒过定点A (2,2)
|AB|=(2-1)2+(2-1)2=2
所以过点 B(1,1) 且以A点为圆心的圆的方程为 (x-2)2+(y-2)2=2
故答案为：B
2.在平面直角坐标系中，坐标原点为 O ，A（1，0），B（3，0）， C(2,22) ，则 △ABC 的内切圆圆心到点O的距离为（ ）
A. 449 B. 322 C. 92 D. 2113
【答案】 B
【解析】设内切圆圆心为 O1 ， AC=BC=3 ， AB=2 ，
由等面积法可得内切圆半径 r=2S△ABC|AB|+|BC|+|CA| =428=22 ，
所以 O1(2， 22) ， OO1=4+12=322 ，
故答案为：B
3.过点 A(m,3m+24) 向圆 C:x2+y2-4x+6y+9=0 作切线，切点为 B ，若 |AB|>λ ，则实数 λ 的取值范围为（ ）
A. (-∞,23-2) B. (-∞,23) C. (-∞,3-1) D. (-∞,3)
【答案】 B
【解析】解：依题意，圆 C:(x-2)2+(y+3)2=4 ，则圆心 C(2，-3) ，半径 R=2 ，而点 A(m,3m+24) 在直线 3x-4y+2=0 上，
则 |AB|=|AC|2-|BC|2=|AC|2-4 ，而 |AC|≥|3×2+4×3+2|5=4 ，所以 |AC|2-4≥23 ，
故 |AB|≥23 ，则 23<λ ，即实数 λ 的取值范围为 (-∞,23) ．
故答案为：B．
4.在 △ABC 中，点D满足 AD=13DB 且 CD⊥CB ，则当角A最大时，cosA的值为（ ）
A. -45 B. 35 C. 45 D. 53434
【答案】 C
【解析】由于 CD⊥CB ，所以 C 在以 BD 为直径的圆 O 上（除 B,D 两点）.
所以当直线 AC 与圆 O 相切时， A 最大.
当直线 AC 与圆 O 相切时， OC⊥AC ，
由于 AD=13DB ，设 |AD|=1 ，则 |DB|=3 ， |OC|=12|DB|=32,|OA|=1+32=52 .
|AC|=(52)2-(32)2=2 ， cosA=|AC||OA|=252=45 .
故答案为：C
5.已知⊙M： x2+y2-2x-2y-2=0 ，直线 l ： 2x+y+2=0 ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 PA,PB ，切点为 A,B ，当 |PM|⋅|AB| 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0
【答案】 D
【解析】圆的方程可化为 (x-1)2+(y-1)2=4 ，点M到直线l的距离为 d=|2×1+1+2|22+12=5>2 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 A,P,B,M 四点共圆，且 AB⊥MP ，所以 |PM|⋅|AB|=2S△PAM=2×12×|PA|×|AM|=4|PA| ，而 |PA|=|MP|2-4 ，
当直线 MP⊥l 时， |MP|min=5 ， |PA|min=1 ，此时 |PM|⋅|AB| 最小．
∴ MP:y-1=12(x-1) 即 y=12x+12 ，由 {y=12x+122x+y+2=0 解得， {x=-1y=0 ．
所以以 MP 为直径的圆的方程为 (x-1)(x+1)+y(y-1)=0 ，即 x2+y2-y-1=0 ，
两圆的方程相减可得： 2x+y+1=0 ，即为直线 AB 的方程．
故答案为：D.
6.已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1 ， C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A. 17﹣1 B. 5 2 ﹣4 C. 6﹣2 2 D. 17
【答案】 B
【解析】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，C2 ， C3 ， 三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1= (3-2)2+(-3-4)2 ﹣4= 50 ﹣4=5 2 ﹣4．
故选：B．
7.已知圆 x2+y2-6x=0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】圆 x2+y2-6x=0 化为 (x-3)2+y2=9 ，所以圆心 C 坐标为 C(3,0) ，半径为 3 ，
设 P(1,2) ，当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 29-|CP|2=29-8=2 .
故答案为：B.
8.已知直线 l:3x+my+3=0 ，曲线 C:x2+y2+4x+2my+5=0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. “ m>1 ”是曲线C表示圆的充要条件
B. 当 m=33 时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C. “ m=-3" 是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D. 当 m=-2 时，曲线C与圆 x2+y2=1 有两个公共点
【答案】 C
【解析】对于A，曲线 C:x2+y2+4x+2my+5=0⇒(x+2)2+(y+m)2=m2-1 ，曲线 C 要表示圆，则 m2-1>0⇒m<-1 或 m>1 ，
所以“ m>1 ”是曲线 C 表示圆的充分不必要条件，A不符合题意；
对于B， m=33 时，直线 l:x+3y+1=0 ，曲线 C:(x+2)2+(y+33)2=26 ，
圆心到直线 l 的距离 d=|-2+3×(-33)+1|1+3=5 ，
所以弦长 =2r2-d2=226-25=2 ，B不符合题意；
对于C，若直线 l 与圆相切，圆心到直线 l 的距离 d=|-6-m2+3|9+m2=m2+1⇒m=±3 ，
所以“ m=-3" 是直线 l 与曲线 C 表示的圆相切的充分不必要条件，C符合题意；
对于D，当 m=-2 时，曲线 C:(x+2)2+(y-2)2=3 ，其圆心坐标 (-2,2) ， r=3 ，
曲线C与圆 x2+y2=1 两圆圆心距离为 (-2-0)2+(2-0)2=22>3+1 ，故两圆相离，不会有两个公共点，D不符合题意.
故答案为：C.
二、多选题
9.已知圆 M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=1+k2 ，则下列四个命题中正确的命题有（ ）
A. 若圆 M 与 y 轴相切，则 k=±24 B. 圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为 65
C. 若直线 y=x 平分圆 M 的周长，则 k=2 D. 圆 M 与圆 (x-3k)2+y2=4k2 可能外切
【答案】 A,B,D
【解析】圆 M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=1+k2 的圆心坐标为： (3k,4k+2) ，半径为 r=1+k2 .
若圆 M 与 y 轴相切，则 |3k|=1+k2 ，解得 k=±24 ，所以A为真命题．
因为 (3k)2+(4k+2)2=25k2+16k+4=(5k+85)2+3625≥3625 ，
所以 |OM|≥65 ，所以B为真命题．
若直线 y=x 平分圆 M 的周长，则 3k=4k+2 ，即 k=-2 ，所以C为假命题．
若圆 M 与圆 (x-3k)2+y2=4k2 外切，则 |4k+2|=1+k2+4k2 ，
设函数 f(k)=|4k+2|-1+k2-4k2 ，因为 f(0)=1>0 ， f(-1)=-2<0 ，
所以 f(k) 在 (-1,0) 内必有零点，则方程 |4k+2|=1+k2+4k2 有解，所以D为真命题．
故答案为：ABD
10.已知圆 C1:x2+y2=r2 ，圆 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2, (r>0 ，且 a,b 不同时为0）交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，下列结论正确的是（ ）
A. 2ax1+2by1=a2+b2
B. a(x1-x2)+b(y1-y2)=0
C. x1+x2=a,y1+y2=b
D. M，N为圆 C2 上的两动点，且 |MN|=3r ，则 |OM+ON| 的最大值为 a2+b2+r
【答案】 A,B,C
【解析】由 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2 ，得 x2+y2+a2+b2-2ax-2by=r2 ，
两圆的方程相减得到直线AB的方程为 2ax+2by=a2+b2 ，
因为点 A(x1,y1) 在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax1+2by1=a2+b2 ，——①
因此A符合题意；又因为 B(x2,y2) 也在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax2+2by2=a2+b2 ——②，
①-②，得 a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 ，因此B符合题意；
因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为 C1C2 的中点，所以 x1+x2=a,y1+y2=b 成立，因此C符合题意；
设 MN 的中点为 H ，则 |OM+ON|=|2OH| ，当 C1,C2,H 三点共线时 |OM+ON| 最大，最大为 2a2+b2+r ,因此D不符合题意.
故答案为：ABC.
11.已知圆 O1:x2+y2-2x-3=0 和圆 O2:x2+y2-2y-1=0 的交点为 A ， B ，则（ ）
A. 圆 O1 和圆 O2 有两条公切线
B. 直线 AB 的方程为 x-y+1=0
C. 圆 O2 上存在两点 P 和 Q 使得 |PQ|>|AB|
D. 圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2+2
【答案】 A,B,D
【解析】解：对于A ， 因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B ， 将两圆方程作差可得 -2x+2y-2=0 ，即得公共弦 AB 的方程为 x-y+1=0 ，B符合题意；
对于C ， 直线 AB 经过圆 O2 的圆心 (0,1) ，所以线段 AB 是圆 O2 的直径，故圆 O2 中不存在比 AB 长的弦，C不符合题意；
对于D ， 圆 O1 的圆心坐标为 (1,0) ，半径为2，圆心到直线 AB:x-y+1=0 的距离为 |1+1|2=2 ，所以圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2+2 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
12.已知圆 C ： x2+y2-kx+2y+14k2-k+1=0 ，下列说法正确的是（ ）
A. k 的取值范围是 k>0
B. 若 k=4 ，过 M(3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 23 ，方程为 12x-5y-16=0
C. 若 k=4 ，圆 C 与圆 x2+y2=1 相交
D. 若 k=4 ， m>0 ， n>0 ，直线 mx-ny-1=0 恒过圆 C 的圆心，则 1m+2n≥8 恒成立
【答案】 A,C,D
【解析】对于A，方程表示圆可得 (-k)2+4-4(14k2-k+1)>0 ，
解得 k>0 ，A符合题意；
对于B，若 k=4 ，可得圆方程： (x-2)2+(y+1)2=4 ，
过 M(3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 23 ，
则圆心 (2,-1) 到直线的距离为 1 ，当直线的斜率不存在时， x=3 ，满足条件，B不正确；
对于C， (x-2)2+(y+1)2=4 ，圆心 (2,-1) ，半径 r1=2 ，
圆 x2+y2=1 ，圆心为 (0,0) ，半径 r2=1 ，
两圆心的距离为 r1-r2=1<22+(-1)2=5
可得 2m+n-1=0⇒2m+n=1 .
1m+2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn≥4+2nm⋅4mn=8 ，
当且仅当 m=14,n=12 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.
三、填空题
13.已知点 P(x，y) 是直线 l ： kx-y+4=0 ( k>0 )上的动点，过点 P 作圆 C ： x2+y2+2y=0 的切线 PA ， A 为切点.若 |PA| 最小为 2 时，圆 M ： x2+y2-my=0 与圆 C 外切，且与直线 l 相切，则 m 的值为________
【答案】 25-2
【解析】圆C的圆心为 C(0,-1) ，半径为 1 ，
当 CP 与 l 垂直时， |PA| 的值最小，
此时点C到直线 l 的距离为 d=|1+4|1+k2 ，
由勾股定理得 12+22=(|1+4|1+k2)2 ，
又 k>0 ，解得 k=2 ，
圆 M 的圆心为 M(0,m2) ，半径为 |m2| ，
∵圆 M 与圆 C 外切，∴ |m2|+1=|m2-(-1)| ，∴ m>0 ，
∵圆 M 与直线 l 相切，∴ m2=|-m2+4|5 ，解得 m=25-2 .
故答案为： 25-2 .
14.设双曲线 x216-y2b2=1 的左右两个焦点分别为 F1 、 F2 ，P是双曲线上任意一点，过 F1 的直线与 ∠F1PF2 的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点 A(8,0) ， B(5,6) ，则 12|AM|+|BM| 的最小值________.
【答案】 x2+y2=16；35
【解析】如图所示：延长 F1Q 与 PF2 的延长线交于点M，
则 OQ=12MF2=12(PM-PF2)=12|PF1-PF2|=a=4 ，
故轨迹方程为 x2+y2=16 .
取点 C(2,0) ，则 OCOM=OMOA=12 ， ΔMOC∼ΔMOA ，故 MC=12PA ，
12|AM|+|BM|=|MC|+|BM|≤|BC|=35 ，当 BMC 共线时等号成立.
故答案为： x2+y2=16 ； 35
15.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）.若圆O和圆M上分别存在点P ， Q ， 使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________.
【答案】 -65≤ a≤0
【解析】解：由题意，圆 M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a 为实数），圆心为 M(-a-3,2a)
圆 M 上任意一点Q向圆O作切线，切点为 P ， ∠PQO=30° ，
所以 x2+y2=4 与圆 M 有交点 1⩽(a+3)2+4a2⩽3 ，
解得 -65⩽a⩽0 ，
故答案为： -65⩽a⩽0 ，
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O:x2+y2=1 ， O1:(x-4)2+y2=4 ，动点 P 在直线 x+3y-b=0 上，过P点分别作圆 O,O1 的切线，切点分别为 A,B ，若满足 PB=2PA 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．
【答案】 (-203,4)
【解析】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则
∵PB=2PA， ∴(x-4)2+y2-4=2x2+y2-1 ，
∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，
∴x2+y2+ 83x-163 =0，
圆心坐标为 (-43,0) ,半径为 83 ，
∵动点P在直线x+ 3 y−b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴直线与圆x2+y2+ 83x-163 =0相交，
∴圆心到直线的距离 d=|-43-b|1+3<83 ，
∴ -43-163
四、解答题
17.已知圆 O:x2+y2=3 ，直线 PA 与圆O相切于点A，直线 PB 垂直y轴于点B，且 |PB|=2|PA| ．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）直线 PA 与E相交于 P,Q 两点，若 △POA 的面积是 △QOA 的面积的两倍，求直线 PA 的方程．
【答案】 （1）解：设 P(x,y) ，则 |PA|2=|PO|2-3=x2+y2-3 ， |PB|2=x2 ，
由 |PB|=2|PA| 得， |PB|2=4|PA|2 ，所以 x2=4(x2+y2-3) ，
化简得 x24+y23=1 ．故点 P 的轨迹 E 的方程为 x24+y23=1 (x≠0) ．
（2）解：当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意．
设直线 PA:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2) ．
由直线 PA 与圆 O 相切，可得 |m|k2+1=3, m2=3(k2+1) ．
由 {x24+y23=1,y=kx+m, 得 (3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0 ，
所以 {x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.
由 S△POA=2S△QOA 得， 12×3×|PA|=2(12×3×|QA|),|PA|=2|QA|,
又 |PA|=|OP|2-3,|QA|=|OQ|2-3 ，
所以 4|OQ|2-|OP|2=9 ， 4(x12+y12)-(x22+y22)=9
4(x12+y12)-(x22+y22)=9 ， |x1|=2|x2|
因为 x1x2=4m2-123+4k2=12k23+4k2>0 ，所以 x1=2x2 ．
因为 (x1+x2)2x1x2=(-8km3+4k2)24m2-123+4k2=16k2m2(3+4k2)(m2-3)=16(k2+1)3+4k2 ，
(x1+x2)2x1x2=(2x2+x2)22x22=92 ，
所以 16(k2+1)3+4k2=92, k=±52, m=±332 ．
故直线 PA 的方程为 y=±52x+332 或 y=±52x-332
【解析】（1）设 P(x,y) ，则 |PA|2=|PO|2-3=x2+y2-3 ， |PB|2=x2 ，代入 |PB|=2|PA| 中可求得轨迹方程；（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意，设直线 PA:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2) ,由直线与圆相切和面积关系，可求得 m,k 的值，从而求得直线的方程.
18.已知圆C过原点且关于直线2x-y=0对称，又直线y=-x+3与圆C交于M,N两点，且以MN为直径的圆过原点。
（1）求圆C的方程并指明圆心和半径；
（2）若过A(0,5)的直线 l 与圆C交于E,F两点，且|EF|=2,求直线 l 的斜率；
（3）求过A(0,5)及圆C上的任意一点P的动直线 l1 斜率的取值范围。
【答案】 （1）解：∵以MN为直径的圆过原点，∴圆心在y=-x+3上。
又圆心在直线2x-y=0上，
可得 {y=2xx+y-3=0 ，得x=1,y=2,圆心为（1,2），圆的半径为： 12+22=5 。
圆C的方程为 (x-1)2十(y-2)2=5
（2）解：设直线 l 方程：y=kx+5，则 d=|k·1-2+5|k2+(-1)2=|k+3|k2+1 ，
∴ d2+(EF2)2=R2 ,得 k=1±263
（3）解：由（2）直线 l1 为y=kx+5，又 d=|k+3|k2+1≤5 ,得 k≤-12 或 k≥2 。
【解析】（1）由题意可知，圆C的圆心既在y=-x+3上 ， 又在 直线2x-y=0上 ，联立 {y=2xx+y-3=0 可解得x，y的值，进而得出圆心的坐标，半径r=OC=5,进而得出圆的方程；
（2）分两种情况：第一种若过A0,5的直线的斜率不存在，则直线l的方程为x=0 ， 此时圆心1,2到直线l的距离为1,得出EF=4不等于2，故舍去；第二种若过A0,5的直线的斜率存在，设直线 l方程为：y=kx+5 ， 再由圆心到直线l的距离为2，列出等式，即可解得k的值；
（3）由已知条件可知，直线l1与圆C总有公共点，得出圆心1,2到直线l1的距离 d=|k+3|k2+1≤5 , 进而解出k的取值范围。
19..已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C ： (x+1)2+y2=4 交于 A,B 两点.
（1）.若 |AB|=15 ，求直线 l 的方程；
（2）.x 轴上是否存在定点 M(x0,0) ，使得当 l 变动时，总有直线 MA,MB 的斜率之和为0？若存在，求出 x0 的值；若不存在，说明理由.
【答案】 （1）解：设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，则
d=|CA|2-(|AB|2)2=4-154=12
当 l 的斜率不存在时， d=1 ，不合题意
当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx ，由点到直线距离公式得
|k|k2+1=12
解得 k=±33 ，故直线l的方程为 y=±33x
（2）解：存在定点 M ，且 x0=3 ，证明如下：
设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k1,k2 .
当 l 的斜率不存在时，由对称性可得 ∠AMC=∠BMC ， k1+k2=0 ，符合题意
当 l 的斜率存在时，设l的方程为 y=kx ，代入圆C的方程
整理得 (k2+1)x2+2x-3=0
∴ x1+x2=-2k2+1 ， x1x2=-3k2+1 ，
∴ k1+k2=y1x1-x0+y2x2-x0=2kx1x2-kx0(x1+x2)(x1-x0)(x2-x0)
=(2x0-6)k(x1-x0)(x2-x0)(k2+1)
当 2x0-6=0 ，即 x0=3 时，有 k1+k2=0 ，
所以存在定点 M(3,0) 符合题意， x0=3
【解析】(1)由直线与圆相交时,半径,半弦长,弦心距构成直角三角形求解;
(2)设出直线方程代入到圆方程中,消去y得关于x的方程,结合韦达定理由斜率和为0求出点M的坐标,从而证明过定点.
20.已知 ⊙M 过 A(-1,7) ， B(2,6) ， C(-1,-3) 三点.
（1）求 ⊙M 的标准方程；
（2）直线 l ： x-y+2=0 与 ⊙M 相交于 D ， E 两点，求 ΔMDE 的面积（ M 为圆心）.
【答案】 （1）解：设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,
因为 ⊙M 过 A(-1,7) , B(2,6) , C(-1,-3) 三点,
所以 {1+49-D+7E+F=04+36+2D+6E+F=01+9-D-3E+F=0⇒{D=2E=-4F=-20 ,
所以圆 M 的方程为 x2+y2+2x-4y-20=0 ,
所以圆 M 的标准方程为 (x+1)2+(y-2)2=25
（2）解：圆心 M(-1,2) 到直线 l 的距离为 d=|-1-2+2|2=22 ,
则 |DE|=2|MD|2-d2=225-12=72 ,
所以 ΔMDE 的面积为 S=12⋅|DE|⋅d=12⋅72⋅22=72
【解析】(1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可;(2)先求出圆心 M 到直线 l 的距离,再利用垂径定理求出弦长 |DE| ,进而可求 ΔMDE 的面积.
21.在平面直角坐标系xoy中，直线 l1:y=2x-4 ， l2:y=x-1 ，设圆C的半径为1，圆心在 l1 上.
（1）若圆心C也在直线 l2 上，①求圆C的方程；
②过点 A(2,0) 作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆在直线 l2 截得的弦长为 2 ，求圆C的方程.
【答案】 （1）解：①由题知： {y=2x-4y=x-1⇒{x=3y=2 .
所以圆心为 (3,2) ，圆 C ： (x-3)2+(y-2)2=1 .
②当斜率不存在时， l 为 x=2 ，
圆心 (3,2) 到 x=2 的距离为 |3-2|=1=r ，符合题意.
当斜率存在时，设切线为： y=k(x-2) .
|3k-2-2k|k2+1=1 ，解得 k=34 ，即切线为： 3x-4y-6=0 .
综上所述，切线为： x=2 或 3x-4y-6=0
（2）解：因为圆心在 y=2x-4 上，设圆心为 (a,2a-4) .
因为直线 l2 截得的弦长为 2 ，圆的半径为 1 ，
所以圆心到 l2 的距离为 1-(22)2=22 .
所以 |a-2a+4-1|2=22 ，即 |a-3|=1 ， a=4 或 a=2 .
所以圆 C ： (x-4)2+(y-4)2=1 或 (x-2)2+y2=1
【解析】（1）①联立 {y=2x-4y=x-1 求出圆心坐标，再根据半径为 1 即可写出圆 C 的标准方程.②分别讨论斜率不存在和存在时的情况，利用直线和圆相切的关系即可求出切线方程.（2）首先设出圆心坐标，根据直线 l2 截得的弦长为 2 ，圆的半径为 1 ，得到圆心到 l2 的距离为 22 ，再利用点到直线的距离公式即可求出圆心坐标和圆 C 的标准方程.
22..已知圆 C1:x2+y2+6x=0 关于直线 l1:y=2x+1 对称的圆为C.
（1）.求圆C的方程；
（2）.过点 (-1,0) 作直线 l 与圆C交于A,B两点， O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得在平行四边形OASB中 |OS|=|OA-OB| ？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：圆 C1 化为标准为 (x+3)2+y2=9 ，
设圆 C1 的圆心 C1(-3,0) 关于直线 l1:y=2x+1 的对称点为 C(a,b) ，则 kCC1kl=-1 ，
且 CC1 的中点 M(a-32,b2) 在直线 l1:y=2x+1 上，
所以有 {ba+3×2=-1(a-3)-b2+1=0 ，
解得： {a=1b=-2 ，
所以圆 C 的方程为 (x-1)2+(y+2)2=9
（2）解：由 |OS|=|OA-OB|=|BA| ，所以四边形 OASB 为矩形，所以 OA⊥OB .
要使 OA⊥OB ，必须使 OA·OB=0 ，即： x1x2+y1y2=0 .
①当直线 l 的斜率不存在时，可得直线 l 的方程为 x=-1 ，与圆 C:(x-1)2+(y+2)2=9
交于两点 A(-1,5-2) ， B(-1,-5-2) .
因为 OA·OB=(-1)(-1)+(5-2)(-5-2)=0 ，所以 OA⊥OB ，所以当直线 l 的斜率不存在时，直线 l:x=-1 满足条件.
②当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .
设 A(x1,y1),B(x2,y2)
由 {(x-1)2+(y+2)2=9y=k(x+1) 得： (1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0 .由于点 (-1,0) 在圆 C 内部，所以 Δ>0 恒成立，
x1,2=-(2k2+4k-2)±(2k2+4k-2)2-4(1+k2)(k2+4k-4)2(1+k2) ，
x1+x2=-2k2+4k-21+k2 ， x1x2=k2+4k-41+k2 ，
要使 OA⊥OB ，必须使 OA·OB=0 ，即 x1x2+y1y2=0 ，
也就是： k2+4k-41+k2+k2(x1+1)(x2+1)=0
整理得： (1+k2)k2+4k-41+k2-k2·k2+4k-21+k2+k2=0
解得： k=1 ，所以直线 l 的方程为 y=x+1
存在直线 x=-1 和 y=x+1 ，它们与圆 C 交 A,B 两点，且四边形 OASB 对角线相等.
【解析】（1）求出圆心关于直线的对称点，得到对称圆的圆心，即可写出关于直线对称的圆的方程；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，设出直线方程，联立得到一元二次方程，结合韦达定理，求出k，即可得到这样的直线方程.
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