高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板22 随机变量及其分布（解析版）

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模板一、求离散型随机变量的分布列

1.模板解决思路

求离散型随机变量的分布列首先要准确找出随机变量的所有可能取值，然后根据随机变量的分布特点求出对应的概率，最后列出分布列.可以通过将各取值概率相加看其和是否为1来判断分布列的准确性.

2.模板解决步骤

①第一步确定随机变量X的所有可能取值xi;

②第二步求出X取每个值的概率P(X=x;)=pi;

③第三步∶列出分布列

知识点一　随机变量的概念、表示及特征

1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．

2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.

3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：

(1)取值依赖于样本点．

(2)所有可能取值是明确的．

知识点二　离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．

知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质

1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

2．分布列的性质

(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

例题1

某校矩形高三第一次模拟考试，根据考试成绩可以把学生分为四类：优秀、优良、合格、潜力生，为了研究学生的成绩，从学生考生中随机抽取100名学生得到考生的情况：

（Ⅰ）将频率视为概率，从学校高三的考生中随机抽取4名，求其中恰有两名学生优秀的概率；

（Ⅱ）从选取的100名考生中，考试成绩优秀的男女学生的比例为2:3，考试成绩优良的男女学生比例为7:8，根据题中信息完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为学生的成绩与性别有关．

（Ⅲ）从抽取的100名考生中，根据考生的考试成绩利用分层抽样抽取10名考生，再从10名学生中选取3名考生进行考试座谈会，设表示抽取考试成绩优良的学生的人数，求出的分布列及期望．

（参考公式）

，其中．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）表格见解析，没有；（Ⅲ）分布列见解析，.

【详解】

（Ⅰ）由题意得优秀的概率为，则4名学生中恰有2名学生优秀的概率为．         

（Ⅱ）根据题意补全列联表如下，

则，

故没有90%的把握认为学生的成绩与性别有关．         

（Ⅲ）易知抽取的10名考生中优秀、优良、合格、潜力生的人数分别为1，3，4，2名，则的所有可能取值有0，1，2，3，         

且；；

；

，         

则的分布列为

故．

例题2

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，…，表示第一次排序时被排在，，，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为，，，的各种排列，且各轮测试相互独立．

（1）直接写出的可能取值，并求的分布列和数学期望；

（2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．

【答案】（1）的可能取值为，，，，，分布列见解析，5；（2），答案见解析.

【详解】

解：（1）的可能取值为，，，，

，，，

，，所以的分布列为

从而的数学期望．

（2）记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则，

又各轮测试相互独立，，

因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而，该可能性非常小，

所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，不是靠随机猜测，故这种测试合理．

模板二、求离散型随机变量的均值或方差

1.模板解决思路

解决本模板问题的关键在于求出随机变量的分布列,首选找出随机变量的所有可能取值，然后根据条件求出相应取值的概率，最后列出分布列，根据均值或方差的定义求值.

2.模板解决步骤

①第一步理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值.

②第二步求出X取每个值时的概率，

③第三步列出X的分布列.

④第四步由均值或方差的定义求出E(X)或D(X).

知识点一　离散型随机变量的方差、标准差

设离散型随机变量X的分布列如表所示．

我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．

知识点二　离散型随机变量方差的性质

1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．

2．D(c)＝0(其中c为常数)．

知识点三　离散型随机变量的均值

1．离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望．

2．离散型随机变量的均值的意义

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

3．离散型随机变量的均值的性质

若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为

于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

例题1

某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，

（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：

（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：

①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；

②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.

假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.

参考数据：，，，，.

【答案】（1）答案见解析；（2）且k∈N*．

【详解】

（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，

从而，i＝0，1，2，3．

随机变量X的分布列为：

随机变量X的均值为．               

（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，且，，

∴，

又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，

∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．

设，则，所以时，，时，，

所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，

由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，

f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，

故k的取值范围为且k∈N*．

例题2

如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.

（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？

（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；

（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？

【答案】（1）6种；（2）；（3）.

【详解】

（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.

（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：

①当走时，全程不等红绿灯的概率；

②当走时，全程不等红绿灯的概率；

③当走时，全程不等红绿灯的概率；

④当走时，全程不等红绿灯的概率.

所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率

.

（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则

①第一条：，则；

②第二条：，则；

③另外四条路线：；；

，则

综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.

模板三、求正态分布下的概率

1.模板解决思路

求正态分布下的概率主要是根据正态分布曲线的性质尤其是其对称性和曲线与x轴之间的面积为1.此外在解决问题时，还要注意3α则的应用，

2.模板解决步骤

①第一步找出或求出正态分布N (α2)中的

②第二步 利用正态分布关于 x=的对称性,找出事件B与事件A和(-∞,+∞)或(-∞,)或(,+∞)的关系.

③第三步借助关系,求出事件B的概率.

知识点一　正态曲线与正态分布

1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．

3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．

知识点二　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．

例题1

某县自启动精准扶贫工作以来，将伦晩脐橙种植作为帮助农民脱贫致富的主导产业.今年5月，伦晩脐橙喜获丰收.现从已采摘的伦晩中随机抽取1000个，测量这些果实的横径，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）已知这1000个伦晩脐橙横径的平均数，求这些伦晩脐橙横径方差．

（2）根据频率分布直方图，可以认为全县丰收的伦晚横径值近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．

（ⅰ）若规定横径为的为一级果，则从全县丰收的果实中任取一个，求恰好为一级果的概率；

（ⅱ）若规定横径为84.7mm以上的为特级果，现从全县丰收果实中任取一个进行进一步分析，如果取到的不是特级果，则继续抽取下一个，直到取到特级果为止，但抽取的总次数不超过，如果抽取次数的期望值不超过8，求的最大值．

（附：，，，，，

若，则，）

【答案】（1）37.5；（2）（ⅰ）0.025；（ⅱ）8.

【详解】

（1）由这1000个伦晩脐橙横径的平均数，

根据方差的计算公式，可得

．

（2）（ⅰ）由频率分布直方图，全县丰收的横径值近似服从正态分布，

可得．

（ⅱ）由（2）可得，

即每次取一个，取到特级果的概率，

则，

可得，

两式相减得：

，

，

所以在上递增，

当，，当，，当，，

∴的最大值为8．

例题2

《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数

（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．

【答案】（1）70； （2）； （3）分布列见解析，．

【详解】

（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式，

可得

．

（2）由题意可知，检查样本数据的方差的近似值为100，即样本方差，

所以标准差，所以随机变量，

可得该厂生产的产品为正品的概率：

 .

（3）由题意，随机变量所有可能为，

则，，，

，

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的期望．