高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板06 三角函数专项练习（解析版）

模板6三角函数专项练习

一、单选题

1．（2021·湖南长郡中学）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为其中记为不超过的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为过点，

代入可得，所以，

所以，解得，即，

由图象可知上下对称，所以，

所以，

所以，

因为点到轴的距离为，即，

当时，.

所以点到轴的距离为

故选：B

2．（2021·宁夏高三其他模拟（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

依题意，设．

则．

，．

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．

则，

．

故选：C

3．（2021·陕西高三三模（理））筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系，设盛水筒从点运动到点时经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：米），筒车经过第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（    ）

A．当时，点与点重合

B．当时，一直在增大

C．当时，盛水筒有次经过水平面

D．当时，点在最低点

【答案】C

【详解】

设，依题意．又，所以．又，圆的半径为，所以点满足，当时，，解得，所以，故．该函数最小正周期为，所以当时，点与点重合，选项A错误；

令，解得，当时，，又因为，所以选项B错误；

令，即，所以或，解得或．又，所以可以取的值为，，，，，此时盛水筒有次经过水平面，选项C正确；

当时，，所以选项D错误，

故选：C．

4．（2021·云南曲靖·高三二模（文））已知函数的图象经过点，则下列命题是真命题的是（    ）

A．函数在上单调递增.

B．函数的图象的一个对称中心是.

C．是函数的一个周期.

D．函数的图象的对称轴方程为（）.

【答案】C

【详解】

解：因为函数的图象经过点，所以，

又，所以，故.

对于：因为在上单调递增，而时，不是的子区间，故错误；

对于：当时，，故错误；

对于：函数的最小正周期为，所以为函数的周期，故正确；

对于：令，解得，故错误．

故选：C．

5．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，

所以，

所以.

故选：A.

6．（2021·全国高三其他模拟（文））把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，

它为偶函数，则，，只有时满足．

故选：D．

7．（2021·安徽蚌埠二中高三其他模拟（文））已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由条件可得，，作出两个函数图象，如图：

，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.

由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，

由，整理得，得，

则，所以，

要使为钝角三角形，只需即可，

由，所以.

故选：D.

8．（2021·天津耀华中学高三开学考试）已知，给出下列结论：

①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，则ω=1；

②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；

③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；

④若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为.

其中，所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

【答案】D

【详解】

∵，

∴的最小正周期为.

对于① ：因为f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，所以的最小正周期为T=2π，

. 故① 错误；

对于② ：图象变换后所得函数为，

若其图象关于y轴对称，则，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，

当k=0时，.故② 正确；

对于③ ：设，当时，.

在上有7个零点，即在上有7个零点.

则，解得. 故③错误；

对于④ ：由，

得，

取k=0，可得，

若f(x)在上单调递增，则，解得.故④ 正确.

故选：D.

二、多选题

9．（2021·广东深圳·高三二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（    ）

A．摩天轮离地面最近的距离为4米

B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则

C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30

D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米

【答案】BC

【详解】

解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；

分钟后，转过的角度为，则，B正确；

周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，

则，又高度相等，则关于对称，则，则；

令，解得，令，解得，

则在上单调递增，在上单调递减，当时，，

当时，，所以在只有一个解；

故选:BC.

10．（2021·江苏高三期末）已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在ω，使

B．存在ω，使

C．有且仅有一个，使

D．存在，使

【答案】ABD

【详解】

对于AB选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.

此时，故AB选项正确.

对于CD选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.

，由图可知在区间上有两个，使，C选项错误.

由图可知，存在，使，D选项正确.

故选：ABD

11．（2021·重庆）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).

现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（    ）(参考数据：)

A．，其中，且

B．，其中，且

C．当时，盛水筒再次进入水中

D．当时，盛水筒到达最高点

【答案】BD

【详解】

由题意知，如上图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，

∴，故，而，

∴，故A错误，B正确；

当时，，且，，

∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；

当时，，且，即，

∴，故盛水筒到达最高点，D正确.

故选：BD

12．（2021·江苏高三其他模拟）已知定义在上的函数，则（    ）

A．

B．

C．的最大值为2

D．不等式的解集为

【答案】AB

【详解】

显然函数的定义为.

对于A，，故A正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，由选项B可知函数的周期为.不妨设，则

，可知，可知C错误；

对于D，当时，，即时，不等式成立，故D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．（2021·福建高三二模）“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．

【答案】

【详解】

将侧面沿母线剪开，点对应点，轴截面对应的另一条母线为，的中点为，连接，，则为灯光带的最短长度，如图所示：

因为，圆锥底面直径长8，则半径为，所以，即，

所以，

因为，

在中，由余弦定理可得：

，

所以，所以，

所以这条灯光带的最短长度是米.

14．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数()，若存在，，对任意，，则的取值范围是___________.

【答案】

【详解】

，

.

因为对任意，，所以，，

即，

因为，所以，，

所以.

故答案为：

15．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，若存在，，…，满足，且，且，则的最小值为__________________．

【答案】5

【详解】

∵对任意，

都有，

要使n取得最小值，尽可能多让取得最高点和最低点，

考虑，，

按下图取值即可满足条件，

则n的最小值为5.

故答案为：5.

16．（2021·广东深圳·高三二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．

【答案】

【详解】

根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于,

所以，

设，

所以在和中，，且均为锐角，

所以

所以由正弦定理得：，，

所以，，

因为

所以

，

因为，所以，所以，

所以

故实数的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．（2021·武汉市黄陂区第一中学高三其他模拟）已知函数．

（1）在区间中，求函数的单调增区间；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1），

因为在上单调递增；

所以，即，

当时，，结合得，所以在区间中，求函数的单调增区间为；

（2），所以，因为，所以，所以，

则.

18．（2021·上海民办南模中学高三三模）如图，某机械厂要将长，宽的长方形铁皮进行剪裁，已知点为的中点，点在边上，剪裁时先将四边形沿直线翻折到处(点､分别落在直线下方点､处，交边于点)再沿直线剪裁，若设.

（1）试用表示的长，并求出的取值范围；

（2）若使剪裁得到的四边形面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.

【答案】（1）；（2）当时，沿直线剪裁，四边形面积最大，最大值为，理由见解析.

【详解】

（1）因为，且翻折的对称性可知,

又根据,所以，则,

故,

又因为，所以，

又,所以，

又点､分别落在直线下方点､处，所以，

所以；

（2）由（1）知，，则，

，

所以四边形面积为，

令，

所以，解得（舍负），

当且仅当时，四边形面积有最大值.

19．（2021·上海普陀·）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为（），米，，为对角线和的交点．他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于．设．

（1）若两段圆弧组成“甬路”（宽度忽略不计），求的长（结果精确到米）；

（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为．对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由．

【答案】（1）米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析．

【详解】

（1）根据题设条件，可得在△中，．

由正弦定理，得，即．

所以，所以，

所以米．

答：甬路的长约为米．

（2）由（1）得，在△中，由余弦定理，得，

所以，

故，所以，

，，

故，

当时，．

所以此人的设计是“用心”的．

20．（2021·四川树德中学高三其他模拟（理））将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式及单调递增区间；

（2）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，且，求的面积.

【答案】（1），单调递增区间；（2）.

【详解】

（1），

图象向右平移个单位长度得到的图象，

横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到图象，所以，

令，解得，

所以的单调递增区间为：

（2）由（1）知，，

因为，

所以，且，

当时，，，(舍去)

当时，，，

此时由余弦定理可知，，解得，

所以.

21．（2021·浙江高三二模）设函数，.

（1）求函数的最小值；

（2）若是锐角，，求可能值的个数.

【答案】（1）；（2）4个.

【详解】

（1）

令，，

则，，对称轴为

利用二次函数的单调性知，函数在时单调递增，在时单调递减；

故当时，函数取得最小值，即

即当时，函数取得最小值，且最小值为.

（2）由，得，即，

整理得：

解得：或

由， 得，即

整理得：，解得：

又是锐角，

利用凑角可知

当，可以为三或四象限；

若为三象限，则，则

若为四象限，则，则

当，可以为一或二象限；

若为二象限，则，则

若为一象限，则，则

故可能值的个数为4个.

22．（2021·浙江高三其他模拟）小铭同学在上完“三角函数的图像与性质”一课后兴致勃勃地画出了函数的部分图像，如图所示，但粗心的他却标错了部分数据，已知y轴数据完全正确．

（Ⅰ）错误的数据是哪个？请写出你的论证过程；

（Ⅱ）求函数的值域及单调区间．

【答案】（Ⅰ）错误的数据是；（Ⅱ）的值域为，，

的单调递增区间为，，，，，

单调递减区间为，，，，．

【详解】

解：（Ⅰ）由函数的部分图像知，，解得，

又，所以，所以，

计算，满足题意，正确；

，满足题意，正确；

，满足题意，正确；

，不满足题意，错误．

所以错误的数据是．

（Ⅱ）函数，

令，，，，

，令，可得，

所以在，上，，单调递增；在，上，，单调递减，

又，（1），

所以的值域为，，

因为在，上，单调递增，所以，

令，，解得，，

令，，解得，，

所以在，，上单调递增，在，，上单调递减；

因为在，上，单调递减，所以，

令，，解得，，

令，，解得，，

所以在，，上单调递减，在，，上单调递增．

综上，的单调递增区间为，，，，，

单调递减区间为，，，，．