高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板03 函数概念专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板03 函数概念专项练习 （解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模板3函数概念
专项练习
一、单选题
1.（2020高三上·南昌月考）函数 f(x)=lgx⋅lg(x+22-x) 的定义域为（    ）
A. [1,2]                                  B. [2，+∞)                                  C. [1,2)                                  D. (1,2]
【答案】 C
【解析】因为 f(x)=lgx⋅lg(x+22-x) ，
所以 {lgx≥0x>0x+22-x>0 ，解得 {x≥1x>0-2 故函数 f(x)=lgx⋅lg(x+22-x) 的定义域为 [1,2) .
故答案为：C.
2.（2018·宁县模拟）已知函数 f(x) 的定义域是 (0，1) ，那么 f(2x) 的定义域是(   )
A.                                B.                                C.                                D. 
【答案】 C
【解析】 ∵ 函数 f(x) 的定义域是 (0,1) ，
∴0<2x<1 ，
解得 x<0 ，
故答案为：C．
3.（2021高三上·深州开学考）已知函数 y=f(x+1) 是定义在R上的偶函数，且 f(x) 在 (-∞,1) 上单调递减， f(2)=0 ，则 f(x)f(x+1)<0 的解集为(   )
A.(-2,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,2)
C.(-1,2) D.(-2,1)
【答案】 B
【解析】通解：因为函数 y=f(x+1) 是偶函数，所以 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称.由 f(x) 在 (-∞,1) 上单调递减，得 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，且 f(0)=f(2)=0 ，所以当 x<0 或 x>2 时， f(x)>0 ，当 00，f(x+1)<0 ，或 {f(x)<0，f(x+1)>0， 即 {x<0或x>2，02， 解得 -1 优解：当 x=1 时， f(1)f(2)=0 ，所以排除C；因为函数 y=f(x+1) 是偶函数，所以 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，又 f(x) 在 (-∞,1) 上单调递减，所以 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，又 f(2)=0 ，所以 f(32)<0 ， f(52)>0 ，所以当 x=32 时， f(32)f(52)<0 ，故排除A，D.
故答案为：B.
4.f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数 且在（﹣∞，0）上为增函数，则在（0，+∞）上（　　）
A. 两个都是增函数                                               B. 两个都是减函数
C. f（x）为增函数，g（x）为减函数                       D. f（x）为减函数，g（x）为增函数
【答案】 C
【解析】解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
设0＜x1＜x2 ， ﹣x2＜﹣x1＜0，
∵f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
 f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，﹣f（x2）+f（x1）＜0，f（x1）＜f（x2），
g（﹣x2）﹣g（﹣x1）＜0，g（x2）＜g（x1），
∴f（x）为增函数，g（x）为减函数。
故答案为：C．
5.（2020高三上·吉林期中）已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（    ）

A. y=(ex-1ex+1)cosx              B. y=2|x|-x2-2              C. y=2|x|-|x|+2              D. y=(x2-1)cosx
【答案】 B
【解析】对于A，代入 x=0 ，则 y=0 ，不符图像，A不符合题意；
对于C，代入 x=0 ，则 y=3 ，不符图像，C不符合题意；
对于D，因为存在 cosx ，故零点个数不止两个，D不符合题意
B符合题意
故答案为：B
6.（2019·湖南理）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（   ）
A. ﹣3                                         B. ﹣1                                         C. 1                                         D. 3
【答案】 C
【解析】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，
根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得
f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，
f（1）+g（1）=1．
故选：C．
7.（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 (-∞,0) 单调递减，且f(2)=0，则满足 xf(x-1)≥0 的x的取值范围是（    ）
A. [-1,1]∪[3,+∞)          B. [-3,-1]∪[0,1]          C. [-1,0]∪[1,+∞)          D. [-1,0]∪[1,3]
【答案】 D
【解析】因为定义在R上的奇函数 f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减，且 f(2)=0 ，
所以 f(x) 在 (0,+∞) 上也是单调递减，且 f(-2)=0 ， f(0)=0 ，
所以当 x∈(-∞,-2)∪(0,2) 时， f(x)>0 ，当 x∈(-2,0)∪(2,+∞) 时， f(x)<0 ，
所以由 xf(x-1)≥0 可得：
{x<0-2≤x-1≤0或x-1≥2 或 {x>00≤x-1≤2或x-1≤-2 或 x=0
解得 -1≤x≤0 或 1≤x≤3 ，
所以满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是 [-1,0]∪[1,3] ，
故答案为：D.
8.（2020·全国Ⅱ卷文）已知 f(x) 是定义域为 (-∞,+∞) 的奇函数，满足 f(1-x)=f(1+x) 。若 f(1)=2 ，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(50)= （  ）
A. -50                                          B. 0                                          C. 2                                          D. 50
【答案】 C
【解析】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2  f（x）= f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2   f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
二、多选题
9.（2021高三上·重庆月考）已知函数 f(x) 是偶函数，且 f(5-x)=f(5+x) ，若 g(x)=f(x)sinπx ， h(x)=f(x)cosπx ，则下列说法正确的是（   ）
A.函数 y=g(x) 是偶函数     
B.10是函数 f(x) 的一个周期
C.对任意的 x∈R ，都有 g(x+5)=g(x-5)
D.函数 y=h(x) 的图象关于直线 x=5 对称
【答案】 B,C,D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A ， g(x)=f(x)sinπx ， g(-x)=f(-x)sinπ(-x)=-f(-x)sinπx ，又由函数 f(x) 是偶函数，则 g(-x)=-f(x)sinπx ，即函数 g(x) 为奇函数， A 错误
对于 B ，由于 f(x) 是偶函数，且 f(5-x)=f(5+x) ，得 f(5-x)=f(5+x)=f(x-5) ，即 f(10+x)=f(x) ，则 f(x) 是周期为10的周期函数，故 B 正确；
对于 C ， g(x+5)=f(x+5)sin[π(x+5)]=f(x+5)sin(πx+5π)=-f(x+5)sinπx ， g(x-5)=f(x-5)sin[π(x-5)]=f(x-5)sin(πx-5π)=-f(x-5)sinπx ，而 f(x) 是周期为10的周期函数，则 f(x-5)=f(x+5) ，则 g(x+5)=g(x-5) ，故 C 正确；对于 D ， h(5-x)=f(5-x)cos(5π-5x)=f(5+x)cos(5x-5π)=f(5+x)cos(5x-5π+10π)=f(5+x)cos(5x+5π)=h(5+x) ，所以函数 y=h(x) 的图象关于直线 x=5 对称， D 正确；
故答案为：BCD．
10.若函数 f(x) 的导函数 f'(x) 的图象关于y轴对称，则 f(x) 的解析式可能为（    ）
A. f(x) ＝3cosx                   B. f(x) ＝x3+x                   C. f(x)=x+1x                   D. f(x) ＝ex+x
【答案】 B,C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， f(x) ＝3cosx，其导数 f'(x) ＝﹣3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B， f(x) ＝x3+x，其导数 f'(x) ＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C， f(x) ＝x +1x ，其导数 f'(x) ＝1 -1x2 ，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D， f(x) ＝ex+x，其导数 f'(x) ＝ex+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
故答案为：BC．
11.（2021·重庆模拟）定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+52)+f(x)=0 ，且 y=f(x-54) 为奇函数，则下列关于函数 f(x) 的说法中一定正确的是（    ）
A. 周期为 52          B. 图象关于点 (-54,0) 对称          C. 是偶函数          D. 图象关于直线 x=54 对称
【答案】 B,C
【解析】由题知 f(x+52)=-f(x) ，若 f(x) 的周期为 52 ，则 f(x)=-f(x) ，即 f(x)=0 ，显然不一定；由 y=f(x-54) 为奇函数知 f(x-54) 的图象关于原点对称，故 f(x) 的图象关于 (-54,0) 对称，从而 f(-52-x)=-f(x) ，又 f(x+52)=-f(x) ，∴ f(-52-x)=f(x+52) ，所以 f(x) 为偶函数；又由 f(x+52)=-f(x) 知， f(52-x)=-f(-x)=-f(x) ，所以 f(x) 的图象关于点 (54,0) 对称.
故答案为：BC
12.（2020高三上·扬州月考）已知函数 y=f(x) 是奇函数，且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=-f(1-x) ，当 x∈(2,3) 时， f(x)=log2(x-1) ，以下4个结论正确的有（    ）
A. 函数 y=f(x) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称；     B. 函数 y=f(x) 是以2为周期的周期函数；
C. 当 x∈(-1,0) 时， f(x)=-log2(1-x) ；          D. 函数 y=f(|x|) 在 (-1,0) 上单调递增．
【答案】 A,B,C
【解析】因为函数对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=-f(1-x) ，
所以函数 y=f(x) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称，A符合题意；
又函数 y=f(x) 是奇函数，所以 f(1+x)=-f(1-x)=f(x-1) ，
所以函数 y=f(x) 是以2为周期的周期函数，B符合题意；
当 x∈(-1,0) 时， -x+2∈(2,3) ，
此时 f(x)=-f(-x)=-f(-x+2)=-log2(-x+2-1)=-log2(1-x) ，C符合题意；
当 x∈(0,1) 时， f(|x|)=f(x)=f(x+2)=log2(x+1) ，函数单调递增，
因为函数 y=f(|x|) 为偶函数，所以函数 y=f(|x|) 在 (-1,0) 上单调递减，D不符合题意.
故答案为：ABC.
三、填空题
13.（2020·北京）函数 f(x)=1x+1+lnx 的定义域是________．
【答案】 (0,+∞)
【解析】由题意得 {x>0x+1≠0 ， ∴x>0
故答案为： (0,+∞)
14.设偶函数 y=f(x) 的定义域为 [-5,5] ，若当 x∈[0,5] 时， y=f(x) 的图象如图所示，则不等式 y=f(x)<0 的解集是________．

【答案】 {x|-5≤x<-2 ，或 2 【解析】由图象可知：当 x∈[0,5] 时， f(x)<0 的解为 2 因为 y=f(x) 是偶函数，图象关于y轴对称，
所以当 x∈[-5,0] 时， f(x)<0 的解为 -5≤x<-2 ，
所以 f(x)<0 的解是 {x|-5≤x<-2 或 2 故答案为： {x|-5≤x<-2 或 2 15.（2019高三上·江西月考）给出下列四个命题：
①函数 y=1-x2|x+2|-2 为奇函数；
②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；
③函数 y=21x 的值域是 (0,+∞) ；
④若函数 f(２x) 的定义域为 [1,2] ，则函数 f(2x) 的定义域为 [1，2] ；
其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）
【答案】 ①④
【解析】①函数首先必须满足 1-x2≥0 ，即 -1≤x≤1,1≤x+2≤3 ，则函数化简为 y=1-x2x 定义域为 [-1,0]∪[0,1] ，关于原点对称， f(-x)=1-x2-x=-1-x2x=-f(x) ，即函数为奇函数，故①正确；②比如 y=1x 是奇函数，大图象不过原点，故②错误；③由于 x≠0 ，则 y≠1 ，函数 y=21x 的值域是 (0,1)∪(1,+∞) ，故③错误；④若函数 f(2x) 的定义域为 [1,2] ，则 f(x) 的定义域为 [2,4] ，令 2≤2x≤4,1≤x≤2 ，则函数 f(2x) 的定义域为 [1,2] ，故④正确，故答案为①④.
16.（2020高三上·湖南月考）已知函数 f(x) 的定义域为 R ，图象关于原点对称，且 f(x+4)=f(x) ，若 f(3)<1 ， f(2021)=log3(m-1) ，则实数 m 的取值范围为________．
【答案】 (43,+∞)
【解析】依题意， f(2021)=f(1)=log3(m-1) ；
因为函数 f(x) 的定义域为 R ，图象关于原点对称，
所以 f(x) 为奇函数，
所以 f(3)<1⇔f(-1)〈1⇔f(1)〉-1 ，
故 log3(m-1)>-1 ，即 m-1>13 ，
故 m>43 ．
故答案为： (43,+∞)
四、解答题
17.（2020·海南模拟）已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+2ax .
（1）当 a=-1 时，求函数 y=f(g(x))(-2⩽x⩽3) 的值域.
（2）设函数 h(x)={f(x),x⩾bg(x),x0 ，且 h(x) 的最小值为 22 ，求实数 a 的取值范围.
【答案】 （1）解：当 a=-1 时， f(g(x))=2x2-2x(-2⩽x⩽3) ，
令 μ=x2-2x,y=2μ ，
∵ x∈[-2,3] ∴ μ∈[-1,8] ，
而 y=2μ 是增函数，∴ 12⩽y⩽256 ，
∴函数的值域是 [12,256] .
（2）解：当 a>0 时，则 b>0,g(x) 在 (-∞,-a) 上单调递减，
在 (-a,b) 上单调递增，所以 g(x) 的最小值为 g(-a)=-a2<0 ，
f(x) 在 [b,+∞) 上单调递增，最小值为 2b>20=1 ，
而 h(x) 的最小值为 22 ，所以这种情况不可能.
当 a<0 时，则 b<0,g(x) 在 (-∞,b) 上单调递减且没有最小值，
f(x) 在 [b,+∞) 上单调递增最小值为 2b ，
所以 h(x) 的最小值为 2b=22 ，解得 b=-12 （满足题意），
所以 g(b)=g(-12)=14-a⩾f(-12)=22 ，解得 a⩽1-224 .
所以实数 a 的取值范围是 (-∞,1-224] .
【解析】（1）令 μ=x2-2x,y=2μ ，求出 u 的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；（2）对 a 分类讨论，分别求出 f(x) 以及 g(x) 的最小值或范围，与 h(x) 的最小值 22 建立方程关系，求出 b 的值，进而求出 a 的取值关系.
18.已知函数f（x）=llog12[x2﹣2（2a﹣1）x+8]．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）f（x）在[﹣1，+∞]上有意义，求a的取值范围.
【答案】 解：（1）由题意可得x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0恒成立，
即有判别式△＜0，即为4（2a﹣1）2﹣32＜0，
解得12﹣2＜a＜12+2；
（2）由题意可得z=x2﹣2（2a﹣1）x+8取到一切的正数，
即有判别式△≥0，即为4（2a﹣1）2﹣32≥0，
解得a≤12﹣2 ， 或a≥12+2；
（3）由题意可得x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0在x≥﹣1恒成立，
x=0时，8＞0显然成立；当x＞0时，2（2a﹣1）＜x+8x ，
由g（x）=x+8x≥2x·8x=42 ， 当且仅当x=22 ， 取到最小值．
即有2（2a﹣1）＜42 ， 解得a＜2+12；
当﹣1≤x＜0时，2（2a﹣1）＞x+8x ， g（x）=x+8x在[﹣1，0）递减，
即有x=﹣1时，取到最大值﹣9，则2（2a﹣1）＞﹣9，
解得a＞﹣74 ．
综上可得a的范围是（﹣74 ， 2+12）
【解析】（1）由题意可得x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0恒成立，由判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得z=x2﹣2（2a﹣1）x+8取到一切的正数，即有判别式△≥0，解不等式即可得到所求范围；
（3）由题意可得x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0在x≥﹣1恒成立，对x讨论，由参数分离和函数的单调性即可得到所求范围.
19.（2019·广东理）设函数f（x）= 1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3 ，其中k＜﹣2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．
【答案】 （1）解：设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）= 1t2+2t-3 ，
要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，
即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，
则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，
∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，
由①解得x+1＞ 2-k 或x+1 ＜-2-k ，即x＞ 2-k ﹣1或x ＜-1-2-k ，
由②解得﹣ -2-k ＜x+1＜ -2-k ，即﹣1﹣ -2-k ＜x＜﹣1+ -2-k ，
综上函数的定义域为（ 2-k ﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣ 2-k ）∪（﹣1﹣ -2-k ，﹣1+ -2-k ）
（2）解：f′（x）= [2(x2+2x+k)+2](2x+2)[(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3]3 = (x2+2x+k+1)(2x+2)[(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3]3
=﹣ 2(x2+2x+k+1)(x+1)[(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3]3 ，
由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+ -k ）（x+1﹣ -k ）（x+1）＜0
解得x＜﹣1﹣ -k 或﹣1＜x＜﹣1+ -k ，结合定义域知，x＜﹣1﹣ 2-k 或﹣1＜x＜﹣1+ -2-k ，
即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣ 2-k ），（﹣1，﹣1+ -2-k ），
同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣ -2-k ，﹣1），（﹣1+ 2-k ，+∞）

（3）解：由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，
则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0
即（x+1+ -2k-4 ）（x+1﹣ -2k-4 ）（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣1﹣ -2k-4 或x=﹣1+ -2k-4 或x=﹣3或x=1，
∵k＜﹣6，
∴1∈（﹣1，﹣1+ -2k-4 ），﹣3∈（﹣1﹣ -2k-4 ，﹣1），
∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣ -2k-4 ）=f（﹣1+ -2k-4 ），
且满足﹣1﹣ -2k-4 ∈（﹣∞，﹣1﹣ -2-k ），﹣1+ -4+2k ∈（﹣1+ 2-k ，+∞），
由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞
f（1）的集合为：
（ -1--4-2k,-1-2-k ）∪（﹣1﹣ -2-k ，﹣3）∪（1，﹣1+ -2-k ）∪（﹣1+ 2-k ，﹣1+ -4-2k ）
【解析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．
20.已知函数fx=axx+r2a>0.r>0,
（1）（Ⅰ）求fx的定义域，并讨论fx的单调性；
（2）（Ⅱ）若ax=400 ， 求fx在0.+∞内的极值.
【答案】 （1）定义域为（- ∞ ，-r） ∪ （r，+ ∞ ）.
 f（x ）单调递减区间为（- ∞ ，-r）和（r，+ ∞ ）， f（x ）的单调递增区间为（-r,r）。
（2）极大值为100，无极小值
【解析】（I）由题意可知x≠-r,所求的定义域为（-∞ ， -r）∪（r，+∞）.
fx=axx+r2=axx2+2xr+r2,f'x=ax2+2xr+r2-ax2x+2rx2+2xr+r22=ar-xx+rx+r4
所以当X＜-r或x＞r时，f'x<0 ， 当-r＜x＜r时，f'x>0 ， 因此fx单调递减区间为（-∞ ， -r）和（r，+∞），fx的单调递增区间为（-r,r）。
（II）由（I）的解答可知f'r=0,fx在（0，r）上单调递增，在（r，+∞)上单调递减，因此x＝r是fx的极大值点，所以fx在0.+∞内的极大值为fr=ar2r2=a4r=4004=100,fx在0.+∞内无极小值；综上，fx在0.+∞内极大值为100，无极小值。
本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f'x>0和f'x<0时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力。
21.（2020高三上·郧县月考）对于函数 f(x) ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f(-x)+kf(x)=0 ，其中 k 为整数，则称函数 f(x) 为定义域上的“ k 阶局部奇函数”.
（1）若 f(x)=log3(2x+m) 是 (-1,1) 上的“ 1 阶局部奇函数”，求实数 m 的取值范围；
（2）若 f(x)=x2+4x+t ，对任意的实数 t∈(-∞,4] ， f(x) 恒为 R 上的“ k 阶局部奇函数”，求整数 k 的最大值.
【答案】 （1）解：对于函数 f(x)=log3(2x+m) ， x>-m2 ，
由题意可知 (-1,1)⊆(-m2,+∞) ，则 -m2≤-1 ，解得 m≥2 .
因为 f(x)=log3(2x+m) 是 (-1,1) 上的“ 1 阶局部奇函数”，
等价于关于 x 的方程 f(-x)=-f(x) 在 (-1,1) 有解，
即 log3(-2x+m)+log3(2x+m)=0 ，化简得： m2-4x2=1 ， x∈(-1,1)
所以 m2=1+4x2∈[1,5) ，又 m≥2 ，所以 m∈[2,5) ；
（2）解：因为 f(x) 恒为 R 上的“ k 阶局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f(-x)+kf(x)=0 恒有解.
即 x2-4x+t+kx2+4kx+tk=0 ，化简得： (k+1)x2+(4k-4)x+t+kt=0 ，
当 k=-1 时，解得 x=0 ，所以 k=-1 满足题意；
当 k≠-1 时， Δ≥0 ，即： 16(k-1)2-4t(k+1)2≥0 对任意的实数 t∈(-∞,4] 恒成立，
即 t(k+1)2-4(k-1)2≤0 对任意的实数 t∈(-∞,4] 成立，
令 g(t)=t(k+1)2-4(k-1)2 ， g(t) 是关于 t 的一次函数且为 (-∞,4] 上的增函数，
则 g(4)≤0 ，即： 8k≤0 ，解得： k≤0且k≠-1 ，综上所述，整数 k 的最大值为 0 .
【解析】（1）利用函数 f(x) 在定义域内存在实数 x ，满足 f(-x)+kf(x)=0 ，其中 k 为整数，则称函数 f(x) 为定义域上的“ k 阶局部奇函数”，从而结合集合间关系求参数的方法，再利用分类讨论的方法借助数轴，求出实数m的取值范围。
（2） 因为 f(x) 恒为 R 上的“ k 阶局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f(-x)+kf(x)=0 恒有解.
即 x2-4x+t+kx2+4kx+tk=0 ，化简得： (k+1)x2+(4k-4)x+t+kt=0 ，再利用分类讨论的方法结合判别式法， 令 g(t)=t(k+1)2-4(k-1)2 ， g(t) 是关于 t 的一次函数且为 (-∞,4] 上的增函数， 再利用函数的单调性，从而求出整数k的最大值。
22.（2019高三上·上海月考）已知函数 f(x)=ax+b1+x2 是定义域为 [-1,1] 上的奇函数，且 f(1)=12
（1）求 f(x) 的解析式.
（2）用定义证明： f(x) 在 [-1,1] 上是增函数.
（3）若实数 t 满足 f(2t-1)+f(t-1)<0 ，求实数 t 的范围.
【答案】 （1）解：因为函数 f(x) 是定义域在 [-1,1] 上的奇函数,
所以 f(0)=0=b1 ， b=0 ， f(x)=ax1+x2
因为 f(1)=12=a2 ，所以 a=1 ， f(x)=x1+x2
（2）解：在 [-1,1] 任取 x1、x2 ，设 x1 则 f(x1)-f(x2)=x11+x1-x21+x2=x1(1+x2)-x2(1+x1)(1+x1)(1+x2)=x1-x2(1+x1)(1+x2) ，
因为 -1≤x1 即当 x1 （3）解：由题意可知 f(2t-1)+f(t-1)<0 ，所以 f(2t-1)<-f(t-1)=f(1-t) ，
即 {-1≤2t-1≤1-1≤1-t≤12t-1<1-t ，解得 0≤t<23
【解析】(1)首先根据函数 f(x) 是定义域在 [-1,1] 上的奇函数可计算出 b 的值，然后根据 f(1)=12 可计算出 a 的值，即可得出结果；(2)可根据增函数的定义，通过设 x1