高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板04 基本初等函数专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板04 基本初等函数专项练习 （解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模板4基本初等函数
专项练习
一、单选题
1.（2021·全国乙卷）设 a=2ln1.01 ， b=ln1.02 ， c=1.04-1 ，则（ ）
A. a＜b＜c                             B. b＜c＜a                             C. b＜a＜c                             D. c＜a＜b
【答案】 B
【解析】构造函数f(x)=ln(1+x)-1+2x+1 ， 则b-c=f(0.02)，则f/(x)=11+x-221+2x=1+2x-(1+x)(1+x)1+2x,当x>0时，1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x,
所以f/(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减，所以f(0.02) 再构造函数g(x)=2ln(1+x)-1+4X+1,则a-c=g(0.01),而g/(x)=21+x-421+4x=21+4x-2(1+x)(1+x)1+4x, 当0≤x<2时，1+4x≥1+2x+x2=1+x,
所以g/(x)≥0,所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以g(0.01)>g(0)=0,即a>c,所以b 故答案为：B
2.（2020·新课标Ⅲ·理）已知55<84 ， 134<85 ． 设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）
A. a 【答案】 A
【解析】由题意可知 a 、 b 、 c∈(0,1) ， ab=log53log85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1 ， ∴a 由 b=log85 ，得 8b=5 ，由 55<84 ，得 85b<84 ， ∴5b<4 ，可得 b<45 ；
由 c=log138 ，得 13c=8 ，由 134<85 ，得 134<135c ， ∴5c>4 ，可得 c>45 .
综上所述， a 故答案为：A.
3.（2019·全国Ⅱ卷理）若a>b，则（   ）
A. ln(a−b)>0                          B. 3a<3b                          C. a3−b3>0                          D. │a│>│b│
【答案】 C
【解析】A项，因为a>b,所以a-b>0,但不能确定是否满足a-b>1,当03b ,所以B错误。C选项设 g(x)=x3 ,结合指数函数的单调性可得 a3>b3,a3-b3>0 ,所以C正确。D选项，假设a=1,b=-2，则 |a|=1<|b|=2 ,所以D错误。
故答案为：C
4.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ）
A. logab⋅logcb=logca                                         B. logab⋅logaa=logab
C. loga(bc)=logab⋅logac                                     D. loga(b+c)=logab+logac
【答案】 B
【解析】对于A，取 a=c=2,b=3 ，则 logab⋅logcb=(log23)2,logca=1 ，两者不相等，A不符合题意.
对于B， logab⋅logaa=1×logab=logab ，B对.
对于C， loga(bc)=logab+logac ，它与 logab⋅logac 不一定相等，C不符合题意.
对于D， loga(bc)=logab+logac ，而 loga(bc) 与 loga(b+c) 不一定相等，D不符合题意.
故答案为：B.
5.（2020高三上·安徽期末）已知函数 y=ax-b(a>0,a≠1) 的图象如图所示，则以下结论不正确的是（    ）

A. ab>1                             B. ln(a+b)>0                             C. 2b-a<1                             D. ba>1
【答案】 D
【解析】由图像可得 a>1,01 ， a+b>1 ， ln(a+b)>0 ， 0 故答案为：D．
6.（2019·全国Ⅱ卷理）设函数 f(x) 的定义域为R ， 满足 f(x+1)=2f(x) ，且当 x∈(0,1] 时， f(x)=x(x-1) .若对任意 x∈(-∞,m] ，都有 f(x)≥-89 ，则m的取值范围是（   ）
A. (-∞,94]                           B. (-∞,73]                           C. (-∞,52]                           D. (-∞,83]
【答案】 B
【解析】由f(x+1)=2f(x)知，f(x+t)= 2t·f（x） ， t∈Z ，即f(x)= 2t·f（x-t） ， t∈Z ，
当 x∈(0,1] 时， f(x)=xx-1=x2-x=(x-12)2-14 ，此时 f(x)∈[-14,0) ，
当-1 x∈[2,3) 时， f(x)∈[-1,0] ，若 ∀x=(-∞,m] ， f(x)≥-89 ，则 mmax∈(2,3) ，
当 x∈(2,3) 时， f(x)=4f(x-2)=4(x-52）2-1 ，令 4（x-52）2-1≥-89 ，解得 x≤73 或 x≥83 ，
由于 x∈[73,83] 时， 4(x-52)2-1∈[-1,-89] ，则 mmax=73 。
故答案为：B
7.（2020·湖南模拟）已知 a>b>0 ， ab=1 ，设 x=b2a ， y=log2(a+b) ， z=a+1b ，则 logx2x ， logy2y ， logz2z 的大小关系为（    ）
A. logx2x>logy2y>logz2z                                 B. logy2y>logz2z>logx2x
C. logx2x>logz2z>logy2y                                 D. logy2y>logx2x>logz2z
【答案】 B
【解析】∵a＞b＞0， ab=1 ，
∴可得 a=1b ，且a＞1＞b＞0，
∴ x=b2a=1a⋅2a<12 ，
y=log2(a+b)>log22ab=log22=1 ，
z=a+1b=a+a=2a>2 ，
又 z-y=2a-log2(a+b)=f(a)(a>1) ，
f'(a)=2-1a+b>0 ， f(a) 单调递增，
f(a)>f(1)=2-log2(1+b)>0 ，
∴ z-y>0 ，
∴ 0 ∵ logx2x=logx2+1 ， logy2y=logy2+1 ， logz2z=logz2+1 ，
根据对数函数性质可得 logx2 ∴ logy2y>logz2z>logx2x ．
故选B ．
8.（2020高三上·黑龙江月考）已知 a>b>0 ，且 a+b=1 ， x=(1a)b ， y=logab(1a+1b) ， z=logb1a ，则 x ， y ， z 的大小关系是（    ）
A. z>y>x                           B. x>y>z                           C. x>z>y                           D. z>x>y
【答案】 C
【解析】由 a>b>0 ，且 a+b=1 ，则 0 所以 1a>1 ，所以 x=(1a)b>(1a)=1 ，
y=logab(1a+1b)=logab(a+bab)=logab(1ab)=logab(ab)-1=-1 ，
0>logb1a=-logba>-logbb=-1 ，即 -1 故 x>z>y ，
故答案为：C。
二、多选题
9.（2020高三上·邯郸期末）设 0 A. ln(ca+1)>ln(cb+1)             B. (c+1)a<(c+1)b             C. ab>aa>ba             D. logca 【答案】 A,B
【解析】因为 0 可得 ablogcb ，所以CD不正确；
又由函数 y=lnx 是增函数， y=cx 是减函数，可得 ca>cb ，且 ca+1>cb+1 ，
所以 ln(ca+1)>ln(cb+1) ，所以A符合题意；
因为 01 ，所以函数 y=(c+1)x 是增函数，可得 (c+1)a<(c+1)b ，所以B符合题意.
故答案为：AB.
10.（2020高三上·肇庆月考）下列大小关系正确的有（    ）
A. 22.1>2.12                      B. 23.9<3.92                      C. 1ln2 【答案】 B,D
【解析】由指数函数 y=2x 和幂函数 y=x2 可知，当 x∈(2,4) 时 2x 因为 2<2.1<4 ，所以 22.1<2.12 ，A不正确；
因为 2<3.9<4 ，所以 23.9<3.92 ，B符合题意；
因为 ln1 所以 1ln2-ln22=2-(ln2)22ln2>0 ，所以 1ln2>ln22 ，C不正确；
因为 log53>0 ， log85>0 ，
所以 log53log85=lg3lg5×lg8lg5=lg3×lg8(lg5)2≤(lg3+lg82)2(lg5)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1 ，
所以 log53 故答案为：BD
11.（2021·佛山模拟）函数 f(x)=ln(ex+1)-ln(ex-1) ，下列说法正确的是（    ）
A. f(x) 的定义域为 (0,+∞)
B. f(x) 在定义域内单调递増
C. 不等式 f(m-1)>f(2m) 的解集为 (-1,+∞)
D. 函数 f(x) 的图象关于直线 y=x 对称
【答案】 A,D
【解析】要使函数有意义，则 {ex+1>0ex-1>0⇒x∈(0,+∞) ，A符合题意；
f(x)=ln(ex+1)-ln(ex-1)=lnex+1ex-1=ln(1+2ex-1) ，令 y=1+2ex-1 ，易知其在 (0,+∞) 上单调递减，所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，B不正确；
由于 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，所以对于 f(m-1)>f(2m) ，有 {m-1>02m>0m-1<2m⇒m∈(1,+∞) ，C不正确；
令 y=f(x)=ln(1+2ex-1) ，解得 ex=ey+1ey-1⇒x=ln(ey+1ey-1) ，所以 f(x) 关于直线 y=x 对称，D符合题意.
故答案为：AD
12.（2021·江苏模拟）已知正数 x,y,z ，满足 3x=4y=12z ，则（    ）
A. 6z<3x<4y                       B. 1x+2y=1z
                       C. x+y>4z                       D. xy<4z2
【答案】 A,C
【解析】由题意，可令 3x=4y=12z=m>1 ，由指对互化得： 1logm3=x,1logm4=y,1logm12=z ，由换底公式得： 1x=logm3,1y=logm4,1z=logm12 ，则有 1x+1y=1z ，B不符合题意；
对于A， 1z-2x=logm12-logm9=logm43>0 ，所以 x>2z ，又因为 4x-3y=logm81-logm64=logm8164>0 ，所以 4y>3x ，所以 4y>3x>6z ，A符合题意；
对于C､D，因为 1x+1y=1z ，所以 z=xyx+y ，所以 4z2-xy=4x2y2-xy(x+y)2(x+y)2=-xy(x-y)2(x+y)2<0 ，
所以 xy>4z2 ，则 z(x+y)>4z2 ，则 x+y>4z ，所以C符合题意，D不符合题意；
故答案为：AC.
三、填空题
13.（2021·湖南模拟）函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量 c=a+b ，而 c 所对应的函数值 f(c) 可以通过 f(c)=f(a)⋅f(b) 得到，并且对另一个量 d ，若 d>c ，则都可以得到 f(d)>f(c) .根据自己所学的知识写出一个能够反映 f(c) 与 c 的函数关系式：________.
【答案】 f(c)=2c （单调递增的指数函数都可以）
【解析】解：若 f(x)=2x ，得 f(c)=2c ， f(a)⋅f(b)=2a⋅2b=2a+b ，
而 f(c)=f(a)⋅f(b) ，
即 2c=2a+b ，则 c=a+b 成立①，
又由 f(x)=2x 在 R 上是增函数，
而 d>c ，
则 f(d)>f(c) 成立②，
结合①② f(c) 与 c 的函数关系式为： f(c)=2c .
故答案为： f(c)=2c （单调递增的指数函数都可以）.
14.（2021·临沂模拟）若函数 f(x) 满足：（1）对于任意实数 x1,x2 ，当 0 【答案】 logax(a>1) 型的都对
【解析】解：对于任意实数 x1 ， x2 ，当 0 又对数函数满足运算性质： f(x1x2)=f(x1)-f(x2) ，
故可选一个递增的对数函数： y=logax(a>1) ．
故答案为： y=logax(a>1) ．
15.（2019高三上·镇江期中）已知函数 f(x)=lnx+82-x 的定义城为 D ，对于任意 x1,x2∈D ，当 |x1-x2|=2 时， |f(x2)-f(x1)| 的最小值为________．
【答案】 2ln32
【解析】解：因为 (2-x)(x+8)>0 ,所以 f(x) 的定义域为 (-8,2) ，不妨设 x1 |f(x2)-f(x1)|=|f(x1+2)-f(x1)|=|lnx1+2+82-x1-2-lnx1+82-x1|=|ln(x1+10-x1·2-x1x1+8)|
=|ln(x12+8x1-20x12+8x1)|=|ln(1-20x12+8x1)| ，故当 x12+8x1 取得最小值时，即 x1=-4 时，此时 |f(x2)-f(x1)| 取得最小值， |f(x2)-f(x1)|min=|ln(1-20(-4)2+8·(-4))|=ln94=2ln32 。
故答案为： 2ln32
16.（2021高三上·重庆月考）已知函数 f(x)=lg(ax2+6x+18) ，若 f(x) 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】 [0,12]
【解析】解： ∵f(x) 的值域为 R ， ∴[0 ， +∞) 是函数 ax2+6x+18 的值域的子集，① a=0 时，显然满足题意；② a≠0 时， {a>0△=36-72a⩾0 ，解得 0 四、解答题
17.（2020高三上·双峰月考）  
（1）化简： 382+log98×log227+0.064-13-1614+(17)0-481
（2）已知 2m=3 ， 2n=5 ，求 log1220 （用 m,n 表示）.
【答案】 （1）解： 原式=364+32log32×3log23+[(0.43)]-13-(24)14+1-434 ，
=4+92+0.4-1-2+1-3 ，
=7
（2）解：因为 2m=3 ， 2n=5 ，
所以 m=log23 ， n=log25 .
因为 log1220=log220log212=log24+log25log23+log24=2+log252+log23
所以 log1220=n+2m+2 .
【解析】(1)利用对数的换底公式结合对数的运算法则和指数幂的运算法则、根式与分数指数幂的互化根式，从而化简求值。
（2） 因为 2m=3 ， 2n=5 ， 结合指数式与对数式的互化公式， 所以 m=log23 ， n=log25 ，再利用换底公式结合对数的运算法则，从而用 m,n 表示 log1220 。
18.（2020高三上·南昌月考）已知函数 f(x)=log2(1+2x+1+4xa)+bx （ a,b∈R ）.
（1）若 f(x) 在 (-∞,-1) 上有意义.求实数a的取值范围；
（2）若 a=4 ，且 A={x|f(x)=(b+1)(x+1)}=∅ ，求实数b的取值范围.
【答案】 （1）解：若 f(x) 在 (-∞,-1) 上有意义，
则 1+2x+1+4xa>0 对于 x∈(-∞,-1) 恒成立，
即 a>-2x+1-14x=-(14)x-(12)x-1 对于 x∈(-∞,-1) 恒成立，
令 g(x)=-(14)x-(12)x-1 ，则 a>g(x)max ，
因为 y=-(14)x 在 x∈(-∞,-1) 单调递增， y=(12)x-1 在 x∈(-∞,-1) 单调递减，
所以 g(x)=-(14)x-(12)x-1 在 x∈(-∞,-1) 单调递增，
g(x)max （2）解：当 a=4 时，由 f(x)=(b+1)(x+1) 可得 log2(1+2x+1+4x+1)-x=b+1 ，
由 A=∅ 可得方程 log2(12x+2x+2+2)=b+1 无实根，
因为 12x+2x+2+2≥212x×2x+2+2=6 ，当且仅当 12x=2x+2 即 x=-1 时等号成立，
所以 log2(12x+2x+2+2)≥log26 ，
所以 b+1 故实数b的取值范围 (-∞,log23)
【解析】（1）推导出对任意x∈(-∞,-1) ， a>-(14)x-(12)x-1 恒成立， 令 g(x)=-(14)x-(12)x-1  ，由指数函数单调性得 g(x)max （2）当 a=4 时， f(x)=(b+1)(x+1) ⇔log2(1+2x+1+4x+1)-x=b+1  ⇔log2(12x+2x+2+2)=b+1 ， 由此能求出实数b的取值范围。
19.（2021高三上·上海期中）   
（1）计算： 2log510+log53-log512 ；
（2）已知 a>0 ， b>0 ，化简： (2a23b12)(-6a12b13)3a16b56 .
【答案】 （1）解： 2log510+log53-log512
=log5(102×3÷12)
=log525
=2
（2）解： a>0 ， b>0 ，
(2a23b12)(-6a12b13)3a16b56
=-12a23+12b12+133a16b56
=-12a76b563a16b56
=-4a
【解析】（1）利用对数的运算性质即可求解.（2）利用指数的运算性质即可求解.
20.（2020高三上·丹东月考）因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.
（1）对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果 a>0 ， a≠1 ， M>0 ， n∈R ，那么 logaMn=nlogaM ；
（2）请你运用上述对数运算性质，计算 lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27) 的值；
（3）lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2⋅17lg26lg3=1712对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为 210=1024∈(103,104) ，所以 210 是一个4位数，我们取 lg2=0.3010 ，请你运用上述对数运算性质，判断 250 的位数是多少？
【答案】 （1）解：设 M=ax ，则 Mn=anx .根据对数定义有 logaM=x ， logaMn=nx .
因此 logaMn=nlogaM .
（2）解：由 logaMn=nlogaM 可得：
（3）解：设 250 的位数为 k ，则 10k-1≤250≤10k ，
所以 lg10k-1≤lg250≤lg10k ，即 k-1≤50lg2≤k .
因为 lg2=0.3010 ，所以 50lg2=15.05 .由 k-1≤15.05≤k 得 15.05≤k≤16.05 .
因为 k∈N* ，所以 k=16 .
【解析】(1)由指对互化即可得证。
(2)利用导数的运算性质即可得证。
（3） 设 250 的位数为 k ，则10k-1≤250≤10k两边取常用对数即可得到答案。
21.（2020高三上·龙海月考）已知函数 y=ax （ a>0 且 a≠1 ）在 [1,2] 上的最大值与最小值之和为20，记 f(x)=axax+2
（1）求 a 的值；
（2）证明 f(x)+f(1-x)=1 ；
（3）求 f(12019)+f(22019)+f(32019)+⋯+f(20182019) .
【答案】 （1）解：函数 y=ax （ a>0 且 a≠1 ）在 [1,2] 上的最大值与最小值之和为20，
而函数 y=ax （ a>0 且 a≠1 ）在 [1,2] 上单调递增或单调递减，
∴ a+a2=20 ，解得 a=4 ，或 a=-5 （舍去），
∴ a=4
（2）证明： f(x)=4x4x+2 ，
∴ f(x)+f(1-x)=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+14x44x+2x+2+4x4x+2+42×4x+4
= 4x4x+2+24x+2=1
（3）解：由（2）知， f(12019)+f(22019)+f(32019)+⋯+f(20182019)
=[f(12019)+f(20182019)]+[f(22019)+f(20172019)]+⋯+[f(10092019)+f(10102019)]
1009 .
【解析】（1）根据题意得 a+a2=20 ，再结合指数函数解方程即可得 a=4 ；（2）直接利用函数解析式代入化简整理即可证明；（3）利用（2）的结论即可的答案.
22.（2019高三上·镇江期中）已知函数 f(x)=2lnx-ax(a∈R) ．
（1）若 a=3 ，求函数 y=f(x) 的图像在 x=1 处的切线方程；
（2）若不等式 f(x)≤0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）当 x∈[1,2], 求 f(x) 的最大值．
【答案】 （1）解：当 a=3 时， f(x)=2lnx-3x ， f'(x)=2-3xx ， f'(1)=-1 , f(1)=-3 ,
切线方程为 y+3=-(x-1) 即 x+y+2=0

（2）解： f(x)=2lnx-ax ， f'(x)=2x-a ，
① a≤0 时， f'(x)>0 ， f(x) 在 (0,+∞) 单调递增， f(x)≤0 恒成立，不满足题意；
② a>0 时， x∈(0,2a)  时， f'(x)>0 ， f(x) 单调递增； x∈(2a,+∞) 时， f'(x)<0 ， f(x) 单调递减；
f(x)max=f(2a)=2(ln2a-1)  ， f(x)≤0 恒成立，即 2(ln2a-1)⩽0 ，解得 a⩾2e
（3）解：由（2）知当 x∈[1,2] ，① a≤0 时， f(x)max=f(2)=2(ln2-a)  ；
② 0 ③ 1 ④ a≥2 ，即 2a≤1 时， f(x)max=f(1)=-a ，
∴ f(x)max={2(ln2-a),a⩽12(ln2a-1),1 【解析】(1) a=3,f(x)=2lnx-3x ，进而利用导函数求出函数在 x=1 处的切线方程；(2) 分类讨论 a 与 0 的关系，然后根据函数的单调性求解；(3) 由(1)知分类讨论区间 [1,2] 与 2a 的关系，进而求解；