高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板05 函数的应用专项练习（解析版）

模板5函数的应用

专项练习

一、单选题 

1．（2021·怀仁市第一中学校高三一模（理））2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【详解】

设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，

则vn＝100×0.90n－1.

由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，

则(n－1)ln 0.90<ln 0.6，

即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，

故至少需要“打水漂”的次数为6.

故选：C

2．（2021·高邮市临泽中学高三月考）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量(的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为，其中为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）

A．63 B．65 C．66 D．69

【答案】B

【详解】

由题意知，，即，

所以，解得.

故选：B

3．（2021·陕西咸阳·高三其他模拟）香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率（）．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来的2倍时，，则，即，解得，

故选：A

4．（2021·陕西高三二模（理））若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（    ）

A．14 B．13 C．12 D．11

【答案】C

【详解】

解：因为，所以函数是周期为2函数，

因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）

再作出函数的图象，

容易得出到交点为12个．

故选：C．

5．（2021·全国高三专题练习）设随机变量，函数没有零点的概率是，则（    ）

附：若，则，．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

函数没有零点，即二次方程无实根，

，，又没有零点的概率是，

，由正态曲线的对称性知，，，，

，，，，

，，

所以，，

故选：B．

6．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以且，

当时，在时单调递增，所以；

又在时单调递增，且，

因为方程有两解，所以，所以；

当时，在时单调递减，；

又在时单调递增，，

因为方程要有两解，所以，此时不成立.

综上可得，

故选：B.

7．（2019·全国）已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

【答案】B

【详解】

设B(x0，ln x0)，x0＞0，线段AB的中点为C，则C，

又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.

此方程根的个数就是曲线G关于曲线M的关联点的个数

又方程ln x0＝根的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数．

画出图象(如图)，

可知两个函数的图象只有1个交点．

故选B..

8．（2019·广西柳州·高考模拟（文））关于的方程在区间上唯一实数解，则实数的取值范围是

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【详解】

转化，构造函数，则题目转化为函数与在有一个交点，则的位置应该为1,2,3号位置．

当与相切的时候，即1号位置时，设切点A为，斜率为，建立方程，得到，而该直线过原点，代入直线方程，解得，故，故，解得 ．

当与恰好有一个交点时，位置介于2号到3号，B的坐标为，则

，解得，故选A．

二、多选题

9．（2021·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知（），下面结论正确的是（    ）

A．若，，且的最小值为，则

B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是

D．若在上单调递增，则的取值范围是

【答案】BD

【详解】

解：，

周期．

A．由条件知，周期为，

，故A错误；

B．函数图象右移个单位长度后得到的函数为，

其图象关于轴对称，则，

，故对，存在，故B正确；

C．由且在，上恰有7个零点，可得，

，故C错误；

D．由条件，得，即，

又，故，，故D正确．

故选：BD．

10．（2021·全国高三专题练习）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】

函数,,

∵是函数的极值点，∴，即，
,当时，
,,即A选项正确,B选项不正确;
,

即D正确,C不正确.
故答案为:AD.

11．（2020·全国高三专题练习）已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】

由函数的单调性可得，函数在为增函数，

由， 则为负数的个数为奇数，

对于选项，选项可能成立

对于选项，当时，函数的单调性可得：

即不满足，故选项不可能成立，故选：

12．（2021·衡水第一中学高三月考）已知函数且函数，则下列选项正确的是（    ）

A．点（0，0）是函数的零点

B．，，使

C．函数的值域为

D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

【答案】BCD

【详解】

对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A说法错误；

对于选项B，当时，，

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，．

当时，，

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，．综上可得，选项B正确．

对于选项C，，选项C正确．

结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；

所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，

则

当时，，

当变化时，，的变化情况如下：

极大值，极小值；

当时，，

当变化时，，的变化情况如下：

极小值．

综上可得，或，

解得的取值范围是，

故D正确．

故选BCD．

三、填空题

13．（2021·全国高三开学考试）已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【详解】

令，则，所以，

又，所以，解得，可得

方程化简得，变形得

令，求导，令，解得

当时，，函数是单调增函数；

当时，，函数是单调减函数；

所以当时，函数有最大值，当时，；当时，

作出函数的图像，如图所示

由图可知，实数的取值范围是

故答案为：

14．（2021·贵州毕节·高三其他模拟（文））已知函数关于x的方程恰有5个不同实数解，则实数b=___________.

【答案】-1

【详解】

作出的图像如图所示：

令，

当时，由2个实数根；

当时，由3个实数根；

当时，由2个实数根；

当时，由4个实数根，

可化为，

要使关于x的方程恰有5个不同实数解，

只需关于t的一元二次方程的一个根为t=1，另一个根为0或另一个根大于1.

把t=1代入，解得：或.

当时，方程即为，此时，或，不合题意；

当时，方程即为，此时，或，满足题意；

综上所述：

故答案为：-1.

15．（2021·陕西高三一模（理））记函数在区间上的零点分别为，则 ________．

【答案】

【详解】

令，得，画出在区间上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线对称，所以.

故答案为：

16．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是______．

【答案】或

【详解】

（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，

当时，，

所以，

①若时，恒成立，又当时，，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；

②若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，

又

所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；

（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；

（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，

当时，令，解得，

若时，即时，在上的最小值为

，

令.

若时，则在时，单调递减，

当时，令，解得，

若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；

若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，

显然，故；

结上所述：或.

四、解答题

17．（2021·黑龙江大庆实验中学高三其他模拟（文））某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中性别(男生占45%)分层抽取n名进行问卷调查，得分分为1，2，3，4，5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示，已知第5档员工的人数占总人数的.

（1）（i）求n与a的值；

（ii）若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数(记销售能力基数为能力基数高，其他均为能力基数不高).在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7∶3，以抽的n名员工为研究对象，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.

（2）为提高员工的销售能力，部门组织员工参加各种形式的培训讲座，经过培训，每位员工的营销能力指数y与销售能力基数以及参加培训的次数t满足函数关系式.如果员工甲的销售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？

参考数据及参考公式：，

附：，其中.

【答案】（1）（i）；（ii）列联表答案见解析，没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关；（2）乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.

【详解】

解：（1）（i）由题意，可得，所以；

（ii）列联表如表所示：

∴，

所以没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关；

（2）员工甲不参加培训的营销能力指数，

员工乙参加t次培训后的营销能力指数，

由已知得，则，

所以乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.

18．（2021·上海）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量.

（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；

（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）由题设知：，又均单调递减，

∴在上单调递减，故当时，，

∴大棚一天中保温时段的最低温度.

（2）由题意，且，

∴当时，由（1）知递减，故只要即可，则，

当时，，

当且仅当时等号成立，故只要即可，则，

若有，此时成立.

∴综上，在上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于，

大棚一天中保温时段通风量的最小值为

19．（2021·上海高三二模）设且，，已知函数.

（1）当时，求不等式的解；

（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）或.

【详解】

解：（1），不等式可化为

若，则，解得，

所以不等式的解集为.

若，则，解得，

所以不等式的解集为.

综上所述：，的解集为；，的解集为.

（2）.

令，即，

∵，∴，∴；

∴ .

设，则，

∴或，

解得或.

20．（2021·山东）已知函数．

（1）判断函数在上的单调性；

（2）证明函数在内存在唯一的极值点，且．

【答案】（1）函数在上的单调递减；（2）证明见解析．

【详解】

解：（1）由于，

得，

设，其导函数，

在区间上，，单调递减，且，

所以在区间上，，

所以在区间上，，

所以函数在上的单调递减．

（2）由第（1）问，在区间上，，单调递增，

且，，

所以存在唯一的，使得，

在区间上，，单调递减，

在区间上，，单调递增，

所以为函数在上的唯一极小值，

其中，，

所以，且，，

由于，

．

21．（2021·河南开封·（文））已知函数有两个零点．

（1）求的取值范围；

（2）设，是的两个零点，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】

（1）已知函数有两个零点，，

①当时，，则在上单调递增，至多有一个零点；

②当时，时，，则在上单调递增；

时，，则在上单调递减，

∴在处取得最大值，即有得：，

此时，有，而，，

∴由零点存在性定理可知，在和上各有一个零点．

综上所述，的取值范围是．

（2）∵，是的两个零点，不妨设，

∴①，②，

①-②得：，即有，

由，有，

∴要证，即证，即证，

即证，即证，

令，设，，

∴在时单调递增，则，即得证．

22．（2021·山西高三一模（理））已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，

（i）判断函数的零点个数；

（ii）求证：有两个极值点，且．

【答案】（1）-1；（2）①两个；②证明见解析.

【详解】

解：定义域为．  

当时，令，

得，

令，得，

故在上单调递增，在上单调递减．

（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以．  

（2）（i）在上单调递增，在上单调递减，

至多有两个零点．

在上有一个零点．

由（1）可证，

从而，

又，

在上有一个零点．

综上，函数有两个零点．  

（ii）的定义域为．

由（i）知有两个零点，

设为，且，

且．

又在上单调递增，在上单调递减．

当，或时，

；

当时，．

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

故为的两个极值点．  

，

同理．

欲证，

即证．  

，

，

，

令，

即证，

即证．   

记，

在上单调递增，

故，

命题得证．