高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板05 函数的应用（解析版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

模板一、判断函数的零点的个数

1.模板解决思路

求丽数的零点个数就是求函数图象与轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可.如果函数图象不易作出，可将函数拆成-的形式，然后转化为与的图象的交点问题.

2.模板解决步骤

①第一步画出函数的图象 ，或者将函数拆-的形式，转化成交点问题.

②第二步观察函数图象;特别注 意间断的点.③第三步得出零点个数.

1.函数零点的定义

对于函数，把=0的实数叫做函数的零点

2.函数零点的意义

函数的零点就是方程=0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程=0有实数根女函数的图象与x轴有交点一函数有零点

特别提示：函数的零点不是一个点，而是一个实数

例题1

已知函数f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.

（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；

（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，讨论h（x）零点的个数.

【答案】 （1）a=-
（2）当a>-或a<-时，h（x）由一个零点；当a=-或a=-时，h（x）有两个零点；当-<a<-时，h（x）有三个零点.

【解析】（Ⅰ）设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0, 0)，则f(x0)=0，f'(x0)=0，即  ， 解得x0=,a=-.

因此，当a=-时，x轴是曲线y=f(x)的切线. 

(II)当x,g(x)=-lnx<0, 从而h（x）=min{f(x),g(x)}g(x)<0, ∴h(x)在无零点。当x=1时，若a,则f(1)=a+<0,  h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0, 故x=1不是h(x)的零点。

当x(0,1)时，g(x)=-lnx>0, 所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数。

（i)若a-3或a0, 则f'（x)=3x2+a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)=,f(1)=a+, 所以当a-3时，f(x)在（0,1）有一个零点，当a0时，f(x)在（0,1）无零点，

（ii) 若-3<a<0, 则f(x)在（0，)单调递减，在（  ， 1）单调递增，故当x=时，f(x)取得最小值，最小值为f()=+.

1. 若f()>0, 即-<a<0,  f(x)在（0,1）无零点。

2， 若f()=0, 即a=-  f(x)在（0,1）有唯一零点。

3， 若f()<0, 即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以当-<a<-时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3<a-时，f(x)在（0,1）有一个零点。

综上，当a>-或a<-时，h(x)由一个零点，当a=-或a=-时，h(x)有两个零点，当-<a<-时，h(x)有三个零点。

(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；

（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x>1,x=1,0<x<1, 研究h（x）的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.

例题2

（2016高三上·上海期中）已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．   

（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；   

（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；   

（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（ x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．   

【答案】 （1）解：f（x）=x2的定义域为R． 

假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，

则（a+x）2=k（a﹣x）2  ， 化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，

由于上式对于任意实数x都成立，∴ ，解得k=1，a=0．

∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M
（2）解：∵函数f（x）=sinx∈M， 

∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，

∴ sin（x+φ）=0，

∵∀x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0，

∴cos2a= ， ≥2，

∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，

故|cos2a|=1．

当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+ ，n∈Z．

当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．

∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+ ，1），（nπ，﹣1），n∈Z
（3）解：∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”， 

∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），

∴f（x+4）=f（x），T=4．

当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos ；

当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos ；

当3＜x＜4时，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos ．

∴f（x）= ．

∴f（x）= ．

∴当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016

【解析】（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2  ， 化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，可得 ，解得k，a．即可得出．（2）函数f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），展开化为： sin（x+φ）=0，由于∀x∈R都成立，可得k2+2kcos2a+1=0，变形cos2a= ，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．（3）由于（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，可得f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），因此f（x+4）=f（x），T=4．对x分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点．

模板二、利用函数模型解应用题

1.模板解决思路

解决实际问题的关键是将自然语言转化为数学语言，然后利用相关的数学知识，建立起相应的数:学模型来，经过数学推算，得到数学结果最后将数学结果还原成实际结果.

2.模板解决步骤

①第一步审题:深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质

②第二步建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言,利用数学知识，建立相应的数学模型.

③第三步解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题.

④第四步还原:回到题 目本身，检验结果的实际意义，给出结论

知识点1常见的几类函数模型

知识点2.应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论

例题1

（2020高三上·兴宁期末）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元. 

（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；   

（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 时，日平均派送量为 单．若将频率视为概率，回答下列问题： 

①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

②根据以上数据，设每名派送员的日薪为 （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.

【答案】 （1）解：甲： ，乙： ，故为  

，
（2）解：①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 

②甲:

EX=

乙：

EX=

乙的期望更高，故答案为：择乙方案．

【解析】（1）根据题意，列出解析式即可；
（2） ① 分别计算出每个区间中点值的个数，然后乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值 ② 分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小做出选择。

例题2

（2019·新宁模拟）某广告公司计划利用一块临街建筑物墙面设计广告宣传画，宣传画是面积为32平方米的矩形，同时要求宣传画周围要留出前后宽2米，左右宽1米的空白区域（如图），设矩形宣传画的长为x米。 

（1）试用x表示矩形宣传画的宽；   

（2）试问当x为多少时，矩形宣传画及周围空白区域的总面积y有最小值，最小值为多少？   

【答案】 （1）解：宣传画的宽为 米
（2）解：由题意相，y=（x+2）（ +4） 

∴y=（x+2）（ +4）=4（ ）+40≥4×2  +40=72，

当且仅当x= ，即x=4时取“=”

当x=4时，宣传画及周围空白区城总面积有最小值，最小值为72平方米

【解析】（1）由宣传画是面积为32平方米的矩形，可用x表示矩形宣传画的宽；
（2）将 总面积y用x表示，利用基本不等式即可求得宣传画及周围空白区城总面积的最小值 .