高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板07 解三角形 (解析版)

模板一、已知边角关系解三角形

1.模板解决思路

已知边角关系,利用正余弦定理解三角形时,要紧紧把握正、余弦定理中所反映的三角形中的边角关系来处理.正弦定理常用来把边转化为角,结合三角恒等变换来解题.余弦定理常用来把角转化为边.

2.模板解决步骤

①第一步观察给 出的边角关系式的特点.

②第二步结合正、 余弦定理或三角恒等变换将边化成角，或将角化成边.

③第三步化简由第二步所得到的式子,结合已知条件和正、余弦定理求出边和角.

知识点1.正弦定理、余弦定理的应用

(1 )利用正弦定理解三角形时，首先要结合平面几何中“大边对大角,大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题.

(2)余弦定理的主要功能是实现三角形中的边角关系的转化，体现了量化的数学思想.

知识点2.解三角形常用知识

设△ABC的三边为a,b,c,对应的三个角为A,B,C

（1）角与角关系A+B+C=

（2）边与边关系a+b>c,b+c>a,c+a>b,<c,<a,<b

（3）

例题1

（2020高三上·上海期中）已知函数 ，将函数 的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的 ，然后向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到 的图像.   

（1）当 时，求 的值域；   

（2）已知锐角△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，求△ 的面积.   

【答案】 （1）解： ，将函数 的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得 ；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的 ，得到 ；然后向左平移 个单位，得到 ；再向上平移 个单位，得到 ，当 ， ，  ，
（2）解： 或 （由题意三角形为锐角三角形，故舍去 ），  

，①

，②

又 ， ，代入①②得bc=3,则

【解析】（1）现根据平移法则求得 ，再求 值域即可；（2）由 求得 ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积.

例题2

如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝ ，荷花种植区域的面积为Sm2 ．  

（1）求S关于 的函数关系式；   

（2）求S的最小值．   

【答案】 （1）解：由正弦定理可得 = ，即 = ，   = ，即 = ，  ∴BE= ，BF= ，  ∴S= ，（0≤θ≤ ）
（2）解：令f（θ）= cos2θ+sinθcosθ= + sin2θ=sin（2θ+ ）+ ，  当2θ+  =  ，即θ=  时，f（θ）有最大值为 +1，  此时S有最小值为12000﹣6000   

【解析】（1）根据正弦定理即得函数的关系式。
（2）根据（1）中所求三角函数的性质即得S的最小值。

模板二、解三角形的实际应用

解三角形应用题常有以下两种情形:

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中 ,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

2.模板解决步骤

①第一步准确理解题意 ，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等.

②第二步根据题意画出图形 ,并将已知条件在图形中标出

③第三步将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型、然后正确求解，演算过程要求算法简练，计算准确，最后作答

1.仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角。目标视线在水平视线下方时叫俯角

2.方位角与方向角

从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫做方位角

从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

3.坡角与坡度

坡面与水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度

例题1

（2020·盐城模拟）如图所示，某区有一块空地 ，其中 ， ， .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中 都在边 上，且 ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山，剩下的 地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在 的周围安装防护网. 

（1）当 时，求防护网的总长度；   

（2）若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍，试确定 的大小；   

（3）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？   

【答案】 （1）解： 在 中， ， ， ，    

在 中， ，

由余弦定理，得 ，

，即 ， ，

为正三角形，所以 的周长为 ，

即防护网的总长度为 .
（2）解：设 ， ，  

，即 ，

在 中，由 ，得 ，

从而 ，即 ，由 ，

得 ， ，即   .
（3）解：设 ，由（2）知 ，  

又在 中，由 ，得 ，

  ，

当且仅当 ，即 时，

的面积取最小值为   .

【解析】（1）根据题意可得 ，在 中，利用余弦定理求出 ，从而可得 ，即 ，进而可得 为正三角形，即求解.（2）设 ，利用三角形的面积公式 ，在 中，利用正弦定理可得 ，从而 ，即 ，即求解.（3）设 ，由（2）知 ，在 中，利用正弦定理可得 ，利用三角形的面积公式可得 ，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.

例题2

（2019·长宁模拟）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马 中， 底面 . 

（1）已知 ，斜梁 与底面 所成角为 ，求立柱 的长；（精确到 ）   

（2）求证：四面体 为鳖臑.   

【答案】 （1）解：因为侧棱 底面 ，  

则侧棱 在底面 上的射影是 ，

所以 就是侧棱 与底面 所成的角，即 ．

在 中， ，

由 得   ，解得  ．

所以立柱 的长约为  ．
（2）证明：由题意知底面 是长方形，所以 是直角三角形．   

因为侧棱 底面 ，得 ，

所以 、 是直角三角形．

因为 ， ，又 ，   平面 ，

所以 平面 ．

又因为   平面 ，所以 ，所以  为直角三角形．

由鳖臑的定义知，四面体 为鳖臑．

【解析】（1）首先根据题意得出 ， 在 中 ，根据勾股定理得出DB的长，再利用 得出PD的长。
（2）首先根据已知条件得出 、 、 是直角三角形，故有 平面 ，又 平面 ，故有  为直角三角形 ，根据鳖臑的定义即证。