高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板01 集合专项练习（解析版）

模板1集合

专项练习

一、单选题

1．（2020·天津南开中学高三其他模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ）

A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素

【答案】C

【详解】

若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；

若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；

若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；

有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.

故选：C

2．（2021·山西高三三模（理））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，由于，所以，故

所以

，

则或，

故或，

故选：B.

3．（2021·湖南长郡中学高三一模）已知非空集合、满足以下两个条件：（1），；（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可知，集合不能是空集，也不可能为.

若集合只有一个元素，则集合为；

若集合有两个元素，则集合为、、；

若集合有三个元素，则集合为、、；

若集合有四个元素，则集合为.

综上所述，有序集合对的个数为.

故选：C.

4．（2021·湖北华中师大一附中高三月考）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】C

【详解】

用集合表示除草优秀的学生，表示椿树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，

设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．

故选：C．

5．（2019·全国高三其他模拟（理））设全集为R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，，.

由，得或，则，，

因此，，故选B.

6．（2019·山西高考模拟（文））设集合，若，则m=

A．3 B．2 C．－2 D．－3

【答案】D

【详解】

∵，，，

∴为方程的解，即，解得，

故选D.

7．（2010·江西（理））已知集合，，若，

，则

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【详解】

，，由已知，所以,  所以a=-3.  b=4,选D

8．（2021·重庆市清华中学校高三月考）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是（   ）

A．没有最大元素, 有一个最小元素 B．没有最大元素, 也没有最小元素

C．有一个最大元素, 有一个最小元素 D．有一个最大元素, 没有最小元素

【答案】C

【详解】

对，若，；则没有最大元素，有一个最小元素0，故正确；

对，若，；则没有最大元素，也没有最小元素，故正确；

对，有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故错误；

对，若，；有一个最大元素，没有最小元素，故正确；

故选：．

二、多选题

9．（2020·全国高三专题练习）若集合，，则正确的结论有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【详解】

由，

又，

显然集合

所以，

则成立，所以选项A正确.

成立，所以选项B正确，选项D不正确.

，所以选项C不正确.

故选：AB

10．（2021·河北衡水中学高三三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则或 D．若，则

【答案】ABC

【详解】

由己知得：，令

A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；

B：若，则，解得，正确；

C：当时，，解得或，正确；

D：当时，有，所以，错误；

故选：ABC.

11．（2021·山东济南·）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】

解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，

所以阴影部分用集合符号可以表示为或，

故选：AD

12．（2021·全国高三其他模拟）设集合，若，，，则运算可能是（    ）

A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法

【答案】AC

【详解】

由题意可设，，其中，，，，

则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；

，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．（2017·天津高三三模（理））已知集合，全集，则_________．

【答案】

【详解】

因为

，所以，

又因为，所以，

故答案为：.

14．（2020·张家口市崇礼区第一中学高三期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．

【答案】或

【详解】

当时，，即，满足要求；

当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，

解得或．

综上，实数的取值范围为或.

故答案为或.

15．（2020·浙江高三专题练习）已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是______

【答案】

【详解】

由

且

∴，且，

又且有：，

∴，

故，而

∴

∴，有

，有

故

若令，则，解得

∴，即，而

即，所以

故答案为：

16．（2019·江苏苏州·高考模拟）设集合其中均为整数}，则集合_____..

【答案】M={0，1，3，4}.

【详解】

由得，则，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边即，且即.

为整数，则为2的约数，则，.故M={0，1，3，4}.

故答案为M={0，1，3，4}.

四、解答题

17．（2021·北京房山·高三二模）已知数集.如果对任意的i，j(且)，与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.

（1）分别判断数集是否具有性质P，并说明理由：

（2）设数集具有性质P.

①若，证明：对任意都有是的因数；

②证明：.

【答案】（1）都具有性质P，理由见解析；（2）①证明见解析，②证明见解析.

【详解】

（1）都具有性质P，

对于数集，有，；，；，；

∴根据定义知：具有性质P，

对于数集，有，；，；，；，；，；，；

∴根据定义知：具有性质P.

（2）①具有性质P，对任意有与至少有一个属于A，

∵，

∴当有，若，此时且， 是的因数；

当有，若，此时是的因数；

综上，对任意都有是的因数，得证.

②若对任意有与至少有一个属于A，

∵，在任取一个，则，若则，

∴必有，又时，均不相等，即可以取到所有元素且各一次，

∴，即得证.

18．（2021·北京海淀·高三二模）已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.

（1）若，求集合和，以及的值；

（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合

①求证：；

②求的最小值.

【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②

【详解】

（1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.

（2）①显然.

若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即

.

若，且，则

此时A中最小的元素，B中最小的元素，

所以C中最小的元素.

所以.

因为，

所以，即.

综上，.

②由①知.

所以

若，或，则

若，且，设，

且，，

则，

若，

因为，

所以这个数一定在

集中C中，且均不等于1.

所以

所以

当，时，

所以的最小值是

19．（2021·北京高三一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.

（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；

（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：

（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.

【答案】（1）集合不是集合A的偏序关系，，（2）证明见解析；  （3）证明见解析.

【详解】

（1）由

显然，，但

所以不满足条件④，若且，则

所以集合不是集合A的偏序关系.

集合满足条件①②③④,

所以集合是集合A的偏序关系.

（2）

所以，则满足①

又，所以，，则满足②

由于，则当，若，则，也满足③

由于，，

若则，若，则，所以

所以，所以满足④

所以是实数集R的一个偏序关系

（3）对A中的两个给定元素a，b，若存在，设为

所以，，，

假设还存在一个，使得

则，，，又对于有，，则

由，，，对于，有，，则

由条件③，若且，则可得

所以对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一

20．（2022·全国高三专题练习）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.

（I）若，，，求；

（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；

（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.

【答案】（I），或，或；（II）不一定存在，见解析；（III）11.

【详解】

（I）若，则，其中，否则，

又，，，则相差2，

所以，或，或；

（II）不一定存在，

当时，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，

这与矛盾，故不都存在T.

（III）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，

当时，结论都成立；

当时，不存在，，使得A中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立；

当时，若，则不存在T，所以的最小值为11.

21．（2019·北京高考模拟（理））已知，数列中的项均为不大于的正整数.表示中的个数.定义变换，将数列变成数列其中.

（Ⅰ）若，对数列，写出的值；

（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.求证： 的充分必要条件为

（Ⅲ）若，对于数列，令，求证：

【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【详解】

（Ⅰ）考查数列的项中1,2,3,4的个数可得：，，，

（Ⅱ）由于对任意的正整数，存在中的项，使得.所以均不为零.

必要性：若，由于，

所以有；；；；.

通过解此方程组，可得成立.

充分性：若成立，不妨设，可以得到.

所以有：；；；；.

所以成立.

（Ⅲ）设的所有不同取值为，且满足：.

不妨设，

其中；；；.

又因为，根据变换有：；

；

；

所以

即

所以

因为

所以有.

因此，

即

从而.

因此结论成立.

22．（2017·北京高三二模（理））设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.

（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；

（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明：；

（Ⅲ）给定正整数.求集合的“相关数” 的最小值.

【答案】（1）不是, 是（2）见解析(3)

【详解】

试题解析：（Ⅰ）当时，，．①对于的含有个元素的子集，因为，所以不是集合的“相关数”．

②的含有个元素的子集只有，因为，

所以是集合的“相关数”．

（Ⅱ）考察集合的含有个元素的子集．

中任意个元素之和一定不小于．

所以一定不是集合的“相关数”．

所以当时，一定不是集合的“相关数”．

因此若为集合的“相关数”，必有．

即若为集合的“相关数”，必有．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．先将集合的元素分成如下组：

．对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合．再将集合的元素剔除和后，分成如下组：

．对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合．这一组与上述三组中至少一组无相同元素，

不妨设与无相同元素．此时这个元素之和为．所以集合的“相关数”的最小值为．