高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板02 常用逻辑用语（原卷版）

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模板一、充分条件与必要条件的判断

1.模板解决思路

（1）判断充分、必要条件时应注意的问题:

①要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;

而“A是B的充分不必要条件"则是指A能推出B,且B不能推出A;

②要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以通过举出恰当的反例来说明.

(2)当命题与数集有关时,可把充分必要条件,转化为数集间的关系求解

2.模板解决步骤

①第一步分清条件和结论，分清哪个是条件，哪个是结论.

②第二步找推式，判断“条件结论”及“结论条件”的真假.

③第三步下结论.

知识点1.充分条件与必要条件

一般地,“若，则q，”为真命题，是指由通过推理可以得出q.这时，就说由p可推出q,记作q,并且说是q的充分条件,q是的必要条件

知识点2.充要条件

一般地，如果既有q,又有q，就记作q,此时，我们说,是q的充分必要条件，简称充要条件，如果是q的充要条件,那么q也是的充要条件.

概括地说，如果q ,那么与q互为充要条件.“是q的充要条件”也说成"等价于q”“q当且仅当”等.

知识点3.充分条件、必要条件的四种类型

例题1

（2020高三上·赣州期中）设命题p：实数x满足 ，其中 ，命题q：实数x满足 .   

（1）若 ，且 为真，求实数x的取值范围.   

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.   

例题2

（2018·重庆模拟）已知p：x2-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x2+4x-5＞0．   

（1）若p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；   

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．   

模板二、求含有一个量词的命题的否定

1.模板解决思路

(1)全称命题和特称命题的否定中，“与”，“≥与<”“."是“与“不是”，“都是”与“不都是”。“有"与“无",“与”，“至少n个”与“至多n-1个”等要进行互换.

(2)对于省略了量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词，改写含量词的完整形式，再写出命题的否定，可以结合它们的真假性(一真一假 )进行验证.

2.模板解决步骤

①第一步明确这个命题是全称命题还是特称命题.

②第二步找出命题中量词的位置及相应结论.

③第三步把命题中 的全称量词改为存在量词或存在量词改为全称量词，同时否定结论,即得命题的否定.

知识点1.全称量词与全称命题

(1 )短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词约命题，叫作全称命题.

(2)通常,将含有变量的语句用,,(),....表示，变量的取值范围用M表示,那么，全称命题“对M中任意-一个,有成立”可用守号简记为,读作“对任意属于M,有立”.

特别提示：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.

知识点2.存在量词与特称命

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ "表示.含有存在量词的命题，叫作特称命题.

(2)特称命题“存在M中的元素xo，使成立”可用符号简记为,读作“存在M中的元素xo,使成立”.

特别提示：常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.

知识点3.含有一个量词的命题的否定

(1)对于含有一个量词的全称命题的否定

全称命题:

它的否定:

全称命题的否定是特称命题.

(2 )对于含有一个量词的特称命题的否定

特称命题:

它的否定:

特称命题的否定是全称命题

例题1

写出下列命题的否定，并判断其真假．   

（1） 某些平行四边形是菱形；   

（2） 不论 取何实数，方程 必有实数根；   

（3） ， ．   

例题2

 用量词符号“ ”“ ”表述下列命题，并判断真假.   

（1）对所有实数a，b，方程 恰有一个解；   

（2）一定有整数x，y，使得 成立；   

（3）所有的有理数x都能使 是有理数