高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板02 常用逻辑用语专项练习（解析版）

模板2常用逻辑用语

专项练习

一、单选题

1．（2020·江苏省洪泽中学高三开学考试）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

由祖暅原理可知，若总相等，则相等，即必要性成立；

假设夹在两平行平面间的底面积为的棱柱和底面积为的棱锥，它们的体积分别为，则，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为、，但与不总相等，即充分性不成立．

因此，命题是命题的必要不充分条件．

故选：B．

2．（2022·全国高三专题练习）设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】A

【详解】

∵对于，定义，

∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确；

对于②，若，则，则且，或且，或且；；

若，则，则且； ；

∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确；

对于③，例如：，当时，；；； 故③错误；

∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A．

3．（2019·上海高三二模）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【详解】

由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：

“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选A．

4．（2021·江苏）下列命题正确的是（    ）

A．已知命题，则

B．“是“直线与直线垂直”的充分不必要条件

C．若随机事件互斥，且发生的概率均不为且则实数的取值范围为

D．在跳水比赛中共有7位评委分别给选手打分，在评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分，得到5个有效评分.则5个有效评分与7个原始评分相比，中位数､平均数､方差中，不变的数字特征是平均数

【答案】B

【详解】

对于选项A：命题，则，故选项A不正确；

对于选项B：直线与直线垂直则：

即可得：或，

所以“是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选项B正确；

对于选项C：由题意可得：，解得：，实数的取值范围为故选项C不正确；

对于选项D：从7个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分，得到5个有效评分.则5个有效评分与7个原始评分相比，中位数､平均数､方差中，不变的数字特征是中位数，故选项D不正确，

故选：B.

5．（2021·浙江高三其他模拟）已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

当时，，均为锐角，，即，故，则，则，必要性成立；

若为锐角，为钝角，则，但，充分性不成立.

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．（2021·中央民族大学附属中学高三三模）“”是函数满足：对任意的，都有”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

当时，在上递减，在递减，且在上递减，任意都有，充分性成立；若在上递减，在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选A.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以；

反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

8．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）已知实数，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

当时，则中至少有一个数大于，不妨设此数为，

若，则，所以，所以，所以，

若，则，此时显然成立，

若，此时也显然成立，

所以充分性满足；

当时，则中至少有一个数大于，不妨设此数为，

若，则，因为，所以，

若，则显然成立，

若，则也显然成立，

所以必要性满足，

所以“”是“”的充要条件，

故选：C.

二、多选题

9．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（    ）

A． B． C．1 D．4

【答案】ACD

【详解】

解：解不等式，得 ．

解不等式得 或．

“”是“”的充分不必要条件，

∴ 是的真子集，

∴ 或，解得：或，

则实数可以是ACD.

故选：ACD

10．（2021·全国高三专题练习）若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ）

A． B．1 C．4 D．7

【答案】BC

【详解】

由题可知，命题“，”是真命题，

当时，或.

若，则原不等式为，恒成立，符合题意；

若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意.

当时，依题意得.

即解得.

综上所述，实数的取值范围为.

故选:BC.

11．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）下列命题为真命题的是（    ）

A．，不等式

B．若，且，则

C．命题“若，且，则的逆否命题”

D．若命题“”为假命题，则，均为假命题

【答案】ACD

【详解】

对于A：，故A正确；

对于B：当时，，，，故B错误；

对于C：若，则，又，所以，故原命题正确，

所以其逆否命题也正确，故C正确；

对于D：若命题“”为假命题，则，均为假命题，故D正确.

故选：ACD

12．（2021·全国高三其他模拟）已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】

，令，则，则函数在上单调递增，

，，所以原命题为真命题的充要条件为，

而，则满足A选项、C选项的a均有，时和都不一定成立，

所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.

故选：AC

三、填空题

13．（2021·广东佛山·石门中学高三其他模拟）若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【详解】

因为“”为假命题，

所以恒成立，

即在恒成立，

所以且，

又因为在上是增函数，

所以，

所以.

故答案为：.

14．（2021·陕西渭南·高三二模（理））下列四个命题是真命题的序号为___________.

①命题“”的否定是“”.

②曲线在处的切线方程是.

③函数为增函数的充要条件是.

④根据最小二乘法，由一组样本点()(其中)求得的线性回归方程是，则至少有一个样本点落在回归直线上.

【答案】①②

【详解】

①由含有一个量词的命题的否定知：命题“”的否定是“”，故正确.

②因为，所以，所以曲线在处的切线方程是，故正确；

③若函数为增函数，则，解得，所以函数为增函数的充要条件是，故错误；

④回归方程恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；

故答案为：①②

15．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知命题，，命题，则是的___________条件.

【答案】充分不必要

【详解】

，，即，，

所以，即是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

16．（2021·江西高三其他模拟（理））给出下列命题：

①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②“”是“与夹角为钝角”的充分不必要条件；

③斜二测画法中边长为2的正方形的直观图的面积为；

④函数的最小值为4；

⑤已知，，则.

其中正确的有___________(填上你认为正确命题的序号)

【答案】③⑤

【详解】

①直棱柱的侧面都与底面垂直，但侧面之间不一定平行，①错；

②当反向时，，但的夹角不是钝角，不是充分条件，②错；

③先说明当直角三角形的两条直角边与坐标平行时，此时不妨把直角顶点平移到坐标原点，如图，其直观图为，，，，

，

如果斜边在其它象限最多把上式中改为，结果不变．

而平面上任意多边形都可以用直角边与坐标轴平行的直角三角形组合而成．

因此可知斜二测画法中直观图面积是原图形面积的，

边长为2的正方形面积为4，其直观图面积为，③正确；

④，当且仅当，即时等号成立，但，因此4不可能是最小值．④错误；

⑤，时，，⑤正确．

故答案为：③⑤．

四、解答题

17．（2021·全国高三专题练习）设命题，；命题关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；命题的解集．

（1）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）若命题为真命题，即，，则，解得或.

若命题为真命题，即关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，

则，可得.

因为为真命题，为假命题，则、一真一假.

若真假，则，可得；

若假真，则，可得.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）对于命题，，由，可得，

可得或，解得或.

因为是的必要不充分条件，则，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

18．（2021·全国高三专题练习）设命题：实数满足为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足点，位于直线两侧．

（1）若，为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

若命题为真命题，则，解得，

若命题为真命题，则；

（1）当时，若命题为真命题，则，解得，

若为真，则命题、均为真，

所以实数的取值范围为；

（2）由题意，对应的集合或，

对应的集合，

因为是的充分不必要条件，所以，

当即时，或，不合题意；

当即时，或，要满足，则，

解得，所以；

综上，实数的取值范围为.

19．（2021·全国）已知不等式的解集为，集合 ．

（1）求集合；

（2）当时，求集合；

（3）是否存在实数使得是的充分条件，若存在，求出实数满足的条件；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）且.

【详解】

解：（1）由，得，故

解得或，所以．

（2）当时，

转化为．

所以，解得：．

所以．

（3）若是的充分条件，则．

由可得，

①当时，， ．不满足．

②当 时， 或或，不满足．

③当时，化为．

所以．

由于，所以，且，

所以且.

综上所述，存在实数满足条件且时，使得是的充分条件．

20．（2021·全国高三专题练习（理））（1）已知关于的方程有实根；关于的函数在区间上是增函数，若“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围；

（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）若真，则，∴或，

若真，则，∴，

由“或”是真命题，“且”是假命题，

知､一真一假，当真假时：；当假真时：.

综上，实数的取值范围为；

（2）因为

所以，

所以，

是的必要不充分条件，是的充分不必要条件

故实数的取值范围是.∴，∴

实数的取值范围为

21．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数.

（1）若，求证：函数在区间内是增函数；

（2）求证：“”是“在区间内存在唯一实数，使”的必要不充分条件.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）证明：，

当时，令，

则在区间内，

，

所以在区间上单调递增.

所以，

所以.

所以函数在区间内是增函数.

（2）当时，由（1）可知，

函数在区间内是增函数，

而，

所以当时，

，

即“在区间内存在唯一实数，使”不成立，

所以充分性不成立，下面证明必要性：

令，

问题等价于“函数在内有唯一零点”，

设，

则.

由，，

所以在和上均存在零点，

即在上至少有两个零点.

令，得，

所以.

此时在上递减，在上递增.

所以在上有最小值.

因为

，

设，

则，

令，

得.

当时，，递增，

当时，，递减，

所以，

所以恒成立.

若有两个零点，

则有，

，.

由，，

得.

当时，

设的两个零点为，，

则在递增，在递减，在递增.

所以，.

所以在内有唯一零点.

所以在内有唯一零点

即在区间内存在唯一实数，

使.

所以实数a的取值范围是，

可知成立.

综上，“”是“在区间存在唯一实数，

使”的必要不充分条件.

22．（2021·全国高三专题练习）设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.

【详解】

试题解析：（Ⅰ）由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

（Ⅲ）当时，，，

此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．

当时，只有一个零点，记作．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递增．

所以不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．

故是有三个不同零点的必要条件．

当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．

因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．