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初中数学 解直角三角形题型及方法归纳（原卷+解析卷）
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这是一份初中数学 解直角三角形题型及方法归纳（原卷+解析卷），文件包含初中数学解直角三角形题型及方法归纳原卷版doc、初中数学解直角三角形题型及方法归纳解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
认识并理解锐角三角函数（sinA，csA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
掌握锐角三角函数值的增减性，大小的比较；同角三角函数的关系。
会用已知三角函数值求对应角。
运用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
常考题型：选择，填空，实际应用综合题型。
占分比重：3-6分
二、考点梳理（命题特点）&考试趋势
2.1. 解直角三角形，以直角三角形性质定理（勾股定理）应用方程思想，全等、相似三角形性质，锐角三角函数解决几何图形中的边角问题；
2.2. 解直角三角形的应用，以实际问题（楼高灯塔，方位角，坡度）结合直角三角形性质定理及锐角三角函数，几何图形相关性质定理应用的综合性问题。
解直角三角形问题在各地中考题中为必考内容，考查内容包括直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理及解直角三角形的应用，预计接下来的中考中会继续命题，以解直角三角形的应用为主要命题点。
三、题型讲解
3.1解题技巧归纳（提分秘笈）
3.1.1归纳1应用锐角三角函数解决边角问题
例1.（2018•香坊区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为 。
答案为：
解析: 过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，
设CM＝a，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，
∵tan∠ACB＝2，
∴，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：AC＝，
S△BDC＝·BC•DH＝10，
·2a·DH=10，
DH＝，
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形DHMG为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，
DG＝HM，DH＝MG，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG和△CDH中，
∵，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a+，
∴AM＝AG+MG，
即2a＝a++，
a2＝20，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD，
∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝或﹣（舍）
【注意事项】
解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。
作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝ ，AG＝CH＝a+ ，根据AM＝AG+MG，列方程可得结论。
例2.（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 。
答案：
解析：在Rt△CDE中，tanC＝，CD＝x
∴DE＝x，CE＝x，
∴BE＝10﹣x，
∴S△BED＝×（10﹣x）·x＝﹣x2+3x．
∵DF＝BF，
∴S＝S△BED＝﹣x2+x
3.1.1归纳2仰角俯角问题
例3.（2018•梧州）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG＝27m，GF＝17.6m（注：C、G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°．求瀑布AB的高度．
（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
答案：瀑布AB的高度约为45.4米。
解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．
在Rt△CMD中，CD＝20m，∠DCM＝40°，∠CMD＝90°，
∴CM＝CD•cs40°≈15.4m，DM＝CD•sin40°≈12.8m，
∴DN＝MF＝CM+CG+GF＝60m．
在Rt△BDN中，∠BDN＝10°，∠BND＝90°，DN＝60m，
∴BN＝DN•tan10°≈10.8m．
在Rt△ADN中，∠ADN＝30°，∠AND＝90°，DN＝60m，
∴AN＝DN•tan30°≈34.6m．
∴AB＝AN+BN＝45.4m．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形。
过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB＝AN+BN即可求出瀑布AB的高度。
变式（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB＝1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
答案：800m
解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，
在Rt△ADE中，AE＝AD＝×1400＝700，
DE＝AE＝700，
∴BE＝AB﹣AE＝1000﹣700＝300，
∴DF＝300，BF＝700，
在Rt△CDF中，CF＝DF＝×300＝100，
∴BC＝700+100＝800．
答：选手飞行的水平距离BC为800m。
3.1.1归纳3方向角问题
例4.（2018•盘锦二模）如图，自来水厂A和村庄B在小河1的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）求BQ长度；
（2）求A，B间的距离．（参考数据：cs41°≈0.75）
答案：2000m
解：（1）∵B位于P点南偏东24.5°方向，
∴∠BPQ＝90°﹣24.5°＝65.5°，
又∵B位于Q点南偏西41°方向，
∴∠PQB＝90°﹣41°＝49°，
∴∠PBQ＝180°﹣65.5°﹣49°＝65.5°，即∠PBQ＝∠BPQ，
∴BQ＝PQ＝1200（m）；
（2）∵点P处测得A在正北方向，
∴∠APQ＝90°．在Rt△APQ中，cs∠AQP≈0.75
∴AQ＝1200÷0.75＝1600，
∵在点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向，
∴∠AQB＝90°，在Rt△ABQ中，
∴
答：A，B间的距离约为2000m．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，要求学生借助方向角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形。
（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ＝PQ＝1200，又由已知得∠AQB＝90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离。
例5.（2018•舟山）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
答案：
解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0＝2m，
如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．
∵∠BEP1＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，
∴∠AP1E＝115°，
∴∠CP1E＝65°，
∵∠DP1E＝20°，
∴∠CP1F＝45°，
∵CF＝P1F＝1m，
∴∠C＝∠CP1F＝45°，
∴△CP1F是等腰直角三角形，
∴P1C＝m，
∴P0P1＝CP0﹣P1C＝2﹣≈0.6m，
即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．
∵P2E∥AB，
∴∠CP2E＝∠CAB＝90°，
∵∠DP2E＝20°，
∴∠CP2F＝70°，作FG⊥AC于G，则CP2＝2CG＝2×1×cs70°≈0.68m，
∴P1P2＝CP1﹣CP2＝﹣0.68≈0.7m，
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形。
变式（2018•潍坊一模）如图所示，南北方向上的A、B两地之间有不规则的山地阻隔，从A地到B地需绕行C、D两地，即沿公路AC→CD→DB行走。测得D在C的北偏东60°方向，B在C的北偏东45°方向，B在D的北偏东30°方向；且AC段距离为20千米。现从A、B两地之间的山地打通隧道，那么从A地到B地可节省多少路程？（结果保留根号）
答案：40﹣40（千米）
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
根据题意知∠GCD＝60°、∠GCB＝∠CBA＝45°、∠DBA＝30°，
∴∠BCD＝∠CBD＝15°，∠DCF＝30°，
则CD＝BD，
设CD＝BD＝2x，
则DF＝AE＝x，CF＝CDcs∠DCF＝2x•＝x、DE＝AF＝BD＝x、BE＝BDcs∠DBE＝2x•＝x，
∴AC＝AF+CF＝x+x，
∵AC＝AB＝20，
∴x+x＝20，
解得：x＝10﹣10，
则AC+CD+DB
＝20+2x+2x
＝20+2（10﹣10）+2（10﹣10）
＝40﹣20，
由于AB＝20，
∴从A地到B地节省的路程为40﹣20﹣20＝40﹣40（千米）。
3.1.1归纳4坡度（坡比）问题
例6.（2018•泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度。如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m。
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
答案: (1)9m;(2) 29m
解：（1）在Rt△EFH中，
∵∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，
设EH＝4x，则FH＝3x，
∴EF＝＝5x，
∵EF＝15，
∴5x＝15，x＝3，
∴FH＝3x＝9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键。
变式（2018•晋中模拟）如图1是一种折叠式可调节的鱼竿支架的示意图，AE是地插，用来将支架固定在地面上，支架AB可绕A点前后转动，用来调节AB与地面的夹角，支架CD可绕AB上定点C前后转动，用来调节CD与AB的夹角，支架CD带有伸缩调节长度的伸缩功能，已知BC＝60cm．
（1）若支架AB与地面的夹角∠BAF＝35°，支架CD与钓鱼竿DB垂直，钓鱼竿DB与地面AF平行，则支架CD的长度为 34.2 cm（精确到0.1cm）；（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
（2）如图2，保持（1）中支架AB与地面的夹角不变，调节支架CD与AB的夹角，使得∠DCB＝85°，若要使钓鱼竿DB与地面AF仍然保持平行，则支架CD的长度应该调节为多少？（结果保留根号）
答案：（1）34.2（cm）；（2）22.8（cm）
解：（1）如图1，在Rt△BDC中，BC＝60cm，∠DBC＝∠BAF＝35°，
故DC＝BCsin35°＝60×0.57≈34.2（cm）；
（2）如图2，过点C作CG⊥DB，垂足为G
由（1）可知，CG＝34.2cm，
∵BD∥AF，∠BAF＝35°
∴∠DBC＝35°，
在Rt△CBG中
∠BCG＝90°﹣∠DBC＝90°﹣35°＝55°，
又∵∠DCB＝85°，
∴∠DCG＝85°﹣55°＝30°，
在Rt△CDG中
cs30°＝即，
∴CD＝22.8（cm），
答：支架CD的长度应该调节为22.8cm．
认识并理解锐角三角函数（sinA，csA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
掌握锐角三角函数值的增减性，大小的比较；同角三角函数的关系。
会用已知三角函数值求对应角。
运用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
常考题型：选择，填空，实际应用综合题型。
占分比重：3-6分
二、考点梳理（命题特点）&考试趋势
2.1. 解直角三角形，以直角三角形性质定理（勾股定理）应用方程思想，全等、相似三角形性质，锐角三角函数解决几何图形中的边角问题；
2.2. 解直角三角形的应用，以实际问题（楼高灯塔，方位角，坡度）结合直角三角形性质定理及锐角三角函数，几何图形相关性质定理应用的综合性问题。
解直角三角形问题在各地中考题中为必考内容，考查内容包括直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理及解直角三角形的应用，预计接下来的中考中会继续命题，以解直角三角形的应用为主要命题点。
三、题型讲解
3.1解题技巧归纳（提分秘笈）
3.1.1归纳1应用锐角三角函数解决边角问题
例1.（2018•香坊区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为 。
答案为：
解析: 过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，
设CM＝a，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，
∵tan∠ACB＝2，
∴，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：AC＝，
S△BDC＝·BC•DH＝10，
·2a·DH=10，
DH＝，
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形DHMG为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，
DG＝HM，DH＝MG，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG和△CDH中，
∵，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a+，
∴AM＝AG+MG，
即2a＝a++，
a2＝20，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD，
∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝或﹣（舍）
【注意事项】
解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。
作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝ ，AG＝CH＝a+ ，根据AM＝AG+MG，列方程可得结论。
例2.（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 。
答案：
解析：在Rt△CDE中，tanC＝，CD＝x
∴DE＝x，CE＝x，
∴BE＝10﹣x，
∴S△BED＝×（10﹣x）·x＝﹣x2+3x．
∵DF＝BF，
∴S＝S△BED＝﹣x2+x
3.1.1归纳2仰角俯角问题
例3.（2018•梧州）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG＝27m，GF＝17.6m（注：C、G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°．求瀑布AB的高度．
（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
答案：瀑布AB的高度约为45.4米。
解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．
在Rt△CMD中，CD＝20m，∠DCM＝40°，∠CMD＝90°，
∴CM＝CD•cs40°≈15.4m，DM＝CD•sin40°≈12.8m，
∴DN＝MF＝CM+CG+GF＝60m．
在Rt△BDN中，∠BDN＝10°，∠BND＝90°，DN＝60m，
∴BN＝DN•tan10°≈10.8m．
在Rt△ADN中，∠ADN＝30°，∠AND＝90°，DN＝60m，
∴AN＝DN•tan30°≈34.6m．
∴AB＝AN+BN＝45.4m．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形。
过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB＝AN+BN即可求出瀑布AB的高度。
变式（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB＝1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
答案：800m
解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，
在Rt△ADE中，AE＝AD＝×1400＝700，
DE＝AE＝700，
∴BE＝AB﹣AE＝1000﹣700＝300，
∴DF＝300，BF＝700，
在Rt△CDF中，CF＝DF＝×300＝100，
∴BC＝700+100＝800．
答：选手飞行的水平距离BC为800m。
3.1.1归纳3方向角问题
例4.（2018•盘锦二模）如图，自来水厂A和村庄B在小河1的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）求BQ长度；
（2）求A，B间的距离．（参考数据：cs41°≈0.75）
答案：2000m
解：（1）∵B位于P点南偏东24.5°方向，
∴∠BPQ＝90°﹣24.5°＝65.5°，
又∵B位于Q点南偏西41°方向，
∴∠PQB＝90°﹣41°＝49°，
∴∠PBQ＝180°﹣65.5°﹣49°＝65.5°，即∠PBQ＝∠BPQ，
∴BQ＝PQ＝1200（m）；
（2）∵点P处测得A在正北方向，
∴∠APQ＝90°．在Rt△APQ中，cs∠AQP≈0.75
∴AQ＝1200÷0.75＝1600，
∵在点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向，
∴∠AQB＝90°，在Rt△ABQ中，
∴
答：A，B间的距离约为2000m．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，要求学生借助方向角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形。
（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ＝PQ＝1200，又由已知得∠AQB＝90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离。
例5.（2018•舟山）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
答案：
解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0＝2m，
如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．
∵∠BEP1＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，
∴∠AP1E＝115°，
∴∠CP1E＝65°，
∵∠DP1E＝20°，
∴∠CP1F＝45°，
∵CF＝P1F＝1m，
∴∠C＝∠CP1F＝45°，
∴△CP1F是等腰直角三角形，
∴P1C＝m，
∴P0P1＝CP0﹣P1C＝2﹣≈0.6m，
即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．
∵P2E∥AB，
∴∠CP2E＝∠CAB＝90°，
∵∠DP2E＝20°，
∴∠CP2F＝70°，作FG⊥AC于G，则CP2＝2CG＝2×1×cs70°≈0.68m，
∴P1P2＝CP1﹣CP2＝﹣0.68≈0.7m，
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形。
变式（2018•潍坊一模）如图所示，南北方向上的A、B两地之间有不规则的山地阻隔，从A地到B地需绕行C、D两地，即沿公路AC→CD→DB行走。测得D在C的北偏东60°方向，B在C的北偏东45°方向，B在D的北偏东30°方向；且AC段距离为20千米。现从A、B两地之间的山地打通隧道，那么从A地到B地可节省多少路程？（结果保留根号）
答案：40﹣40（千米）
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
根据题意知∠GCD＝60°、∠GCB＝∠CBA＝45°、∠DBA＝30°，
∴∠BCD＝∠CBD＝15°，∠DCF＝30°，
则CD＝BD，
设CD＝BD＝2x，
则DF＝AE＝x，CF＝CDcs∠DCF＝2x•＝x、DE＝AF＝BD＝x、BE＝BDcs∠DBE＝2x•＝x，
∴AC＝AF+CF＝x+x，
∵AC＝AB＝20，
∴x+x＝20，
解得：x＝10﹣10，
则AC+CD+DB
＝20+2x+2x
＝20+2（10﹣10）+2（10﹣10）
＝40﹣20，
由于AB＝20，
∴从A地到B地节省的路程为40﹣20﹣20＝40﹣40（千米）。
3.1.1归纳4坡度（坡比）问题
例6.（2018•泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度。如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m。
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
答案: (1)9m;(2) 29m
解：（1）在Rt△EFH中，
∵∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，
设EH＝4x，则FH＝3x，
∴EF＝＝5x，
∵EF＝15，
∴5x＝15，x＝3，
∴FH＝3x＝9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
【注意事项】
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键。
变式（2018•晋中模拟）如图1是一种折叠式可调节的鱼竿支架的示意图，AE是地插，用来将支架固定在地面上，支架AB可绕A点前后转动，用来调节AB与地面的夹角，支架CD可绕AB上定点C前后转动，用来调节CD与AB的夹角，支架CD带有伸缩调节长度的伸缩功能，已知BC＝60cm．
（1）若支架AB与地面的夹角∠BAF＝35°，支架CD与钓鱼竿DB垂直，钓鱼竿DB与地面AF平行，则支架CD的长度为 34.2 cm（精确到0.1cm）；（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
（2）如图2，保持（1）中支架AB与地面的夹角不变，调节支架CD与AB的夹角，使得∠DCB＝85°，若要使钓鱼竿DB与地面AF仍然保持平行，则支架CD的长度应该调节为多少？（结果保留根号）
答案：（1）34.2（cm）；（2）22.8（cm）
解：（1）如图1，在Rt△BDC中，BC＝60cm，∠DBC＝∠BAF＝35°，
故DC＝BCsin35°＝60×0.57≈34.2（cm）；
（2）如图2，过点C作CG⊥DB，垂足为G
由（1）可知，CG＝34.2cm，
∵BD∥AF，∠BAF＝35°
∴∠DBC＝35°，
在Rt△CBG中
∠BCG＝90°﹣∠DBC＝90°﹣35°＝55°，
又∵∠DCB＝85°，
∴∠DCG＝85°﹣55°＝30°，
在Rt△CDG中
cs30°＝即，
∴CD＝22.8（cm），
答：支架CD的长度应该调节为22.8cm．
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