高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直多媒体教学课件ppt

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前面我们已经学习了直线与平面垂直的判定及性质，下面我们来研究平面与平面的垂直．像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义．那么，该如何定义呢？
我们不妨来回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程． 1.在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础；
2.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线垂直这种特殊情况．
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．
在定义二面角之前，我们先给出半平面的概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β．
有时为了方便，也可以在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将二面角记作二面角P-AB-Q．
如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，或二面角P-l-Q．
【思考】如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
“把门开大一些”，也就是门所在半平面与门框所在半平面“张开”的幅度大一些．我们可以用门下侧一边所在直线与门框下侧一边所在直线形成的角来刻画门所在半平面与门框所在半平面形成的二面角的大小．
如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的∠AOB叫做二面角的平面角．
由定义可知，二面角的平面角α的范围是0°≤ α ≤180°．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角多少度，就说这个二面角是多少度． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．
【观察】房间中相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的平面角的度数是多少？
三、平面与平面垂直的定义
房间中相邻的两个墙面所在平面与地面所在平面相交，构成两个二面角，它们都是直二面角，因此我们常说墙面直立于地面上．
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β．
画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们来研究两个平面垂直的判定和性质． 先研究平面与平面垂直的判定．
四、平面与平面垂直的判定
【观察】如图，建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线（铅垂线），那么墙面与地面垂直．类似地，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ABB'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ABB'A'垂直于平面ABCD．同样地，平面ADD'A'也垂直于平面ABCD．
一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．
下面，我们通过具体的例题来看一下平面与平面垂直的判定定理的应用．
例题 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．
分析：要证平面A'BD ⊥ 平面ACC'A'，由两个平面垂直的判定定理知，只需要证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线（即平面A'BD内的一条直线垂直于平面ACC'A' ）即可．而由直线与平面垂直的判定定理知，需要平面A'BD内的一条直线垂直于平面ACC'A'内的两条相交直线，而这些由正方体的性质很容易得到．
证明:∵ ABCD-A'B'C'D' 是正方体，
∴AA'⊥平面ABCD．
又∵BD⊥AC，AC∩AA' =A，
∴BD⊥平面ACC'A' ．
∴平面A'BD ⊥ 平面ACC'A'．
例题 AB 是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C 是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需要证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面即可．而由直线和平面垂直的判定定理知，还需要证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直． 本题中，利用直线与平面垂直的性质以及圆的性质易得所需条件．
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，且AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∴平面PAC ⊥平面PBC．
例题 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BC'⊥平面BDD'B'．
分析：要证明平面A'BC' ⊥平面BDD'B' ，需要在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，进而需要直线与直线垂直的条件． 那么如何在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面成为解决本题的关键． 我们注意到A'C' ⊥B'D'，而BDD'B'为正方体的一个对角面，由此作为突破口可证明本题．
证明： ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，
∴A'C'⊥B'D'，A'C'⊥DD'．
又∵ B'D' ∩DD' =D' ，
∴A'C'⊥平面BDD'B' ．
∴平面A'BC'⊥平面BDD'B'．
实际上，本题中也可以在平面BDD'B'中找到一条直线与平面A'BC'垂直．
方法2： 连接B'D，B'C．
又∵ B'C ∩DC =C，
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，
∴BC'⊥B'C， BC'⊥DC．
∴BC' ⊥平面B'CD．
同理，BA'⊥B'D．
又∵BA'∩BC' =B，
∴B'D ⊥平面A'BC'．
例题 如图所示，四边形ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，E为PA的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
分析：要证明平面BDE⊥平面ABCD，只需要在其中一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面即可．由题目中菱形的条件，连接AC，则AC⊥BD，另一个垂直关系则需要结合已知条件中线面垂直、中点的性质以及平行线的性质综合得到．
证明：连接AC，与BD相交于点F，连接EF．
∵四边形ABCD为菱形，
又∵ E，F分别为PA，AC中点，
又∵ EF∩BD=F，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
实际上，若本题中应用直线与平面垂直中的一个结论“两条平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面”，则可以直接由PC⊥平面ABCD以及EF∥PC的条件得到EF⊥平面ABCD，进而可以得到平面BDE⊥平面ABCD．
如果应用上述结论，则例题中的条件“四边形ABCD为菱形”可以弱化为“四边形ABCD为平行四边形”．
总结：由以上例题我们可以看到，利用判定定理证明平面与平面垂直，只需在一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，进而只需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直即可．
体现了立体几何研究中“降维”的思想
需要指出的是，将面面垂直问题转化为线面垂直问题时，到底选的是哪条直线垂直于哪个平面，这需要结合题目所给的条件进行综合判断． 由上述例题也可以看出，选择的直线与平面不同，证明过程之间的差异还是较大的．
另外，证明平面与平面垂直，除了应用判定定理外，我们还常用定义法，即证明两个平面所成二面角的平面角为直角．在解决问题时要结合具体的题设条件灵活选用不同的方法．
例题 如图所示，在四面体S-ABC中，已知∠BSC=90°， ∠BSA=∠CSA=60°，且SA=SB=SC．求证：平面ABC⊥平面SBC．
分析：由题意，△SAB，△SAC均为等边三角形，△ABC为等腰三角形，△SBC为等腰直角三角形． 平面ABC与平面SBC的交线为BC，取BC的中点D，连接AD，SD，则∠ADS即为二面角A-BC-S的平面角，只需要证明∠ADS=90°即AD⊥SD即可．
证明：由题意，△SAB，△SAC均为等边三角形，△ABC为等腰三角形，△SBC为等腰直角三角形．
取BC的中点D，连接AD，SD．
∵AC=AB， SB=SC，
∴AD⊥BC，SD⊥BC．
∴∠ADS即为二面角A-BC-S的平面角．
∵ △SBC为等腰直角三角形，且D为BC的中点，
即二面角A-BC-S为直二面角．
∴平面ABC⊥平面SBC．
下面，我们通过几个课堂练习来巩固一下前面所学知识．
课堂练习 如图，在三棱锥V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC= ∠ABC=90°，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由．
分析：由已知条件∠VAB=∠VAC=90°可以得到VA⊥平面ABC，从而VA⊥BC，再结合已知条件∠ABC=90°即可以判断平面VAB与平面VBC垂直．
课堂练习 如图，在三棱锥V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC= ∠ABC=90°，判断平面VAB与平面VBC的位置关系．
解：∵ ∠VAB=∠VAC=90°，
∴VA⊥AB，VA⊥AC．
又∵ AB∩AC=A，
又∵ ∠ABC=90°，
又∵ AB∩VA=A，
∴平面VBC⊥平面VAB．
课堂练习 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值．
分析：由二面角的平面角的定义，只需要在二面角V-AB-C的棱AB上任取一点，分别在平面VAB和平面ABC内作棱AB的垂线即可得到其平面角．由已知条件VA=VB以及AC=BC知，取AB中点D，连接VD，CD，则∠VDC即为所求．
课堂练习 在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值．
解：取AB中点D，连接VD，CD．
∵VA=VB，AC=BC，
∴VD⊥AB，CD⊥AB．
由二面角的平面角的定义知，∠VDC即为所求作的二面角的平面角．
课堂练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明，如果不垂直，请说明理由．
分析：要判断平面AEF与平面PBC是否垂直，就是要看一个平面内是否有直线垂直于另一个平面．我们发现，平面AEF随着动点F的变化而动态变化．随之变化的还有相关的直线与直线、直线与平面的位置关系，那么在变化当中寻找“不变”就成为解决问题的关键．我们发现AE的位置是不变的，由此可以得到结论．
又∵底面ABCD为正方形，
又∵PA=AB且E为PB中点，
∴平面AEF⊥平面PBC．
课堂练习 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M为EA的中点．求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM⊥平面ECA．
分析：要证DE=DA，由于已知各边之间的关系，可设BD=1，进而所有线段的长度均可求，从而可得结论； 要证平面BDM⊥平面ECA，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，由（1）可引导我们在平面ECA中找一条直线与DM垂直，进而证明DM⊥平面ECA，从而证明结论．
证明：（1）设BD=1，则EC=CA=2．
过点D作DF∥BC，交EC于点F．
由题意可得，EF=1，DF=BC=2．
又∵ BD=1，AB=2，
证明：（2）连接CM，CD．
又∵ BD=1，BC=2，
∴DM⊥MC．
由（1）得DM⊥EA．
∴DM⊥平面ECA．
∴平面BDM⊥平面ECA．
分析2：本题如果不从代数运算角度利用勾股定理来证明垂直，则要证明DE=DA，由已知M为EA的中点，则需要证明DM⊥EA． 结合M为EA的中点及△ABC为正三角形的条件，可以取AC的中点N，进而利用平行四边形的性质得到DM∥BN，易证BN⊥平面ECA，从而可以证明结论．
方法2：（1）取AC的中点N，连接MN，BN．
∴MN∥EC，且EC=2MN．
∴MN∥BD，且MN=BD．
∴四边形BDMN为平行四边形．
1.如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？
3.如图，AB⊥平面BCD， BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，DC⊥AD．求证：平面PDC⊥平面PAD．