高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图图片课件ppt

教学基本信息

课题

8.2.1斜二测画法

学科

数学

学段： 高一

年级

10年级

教材

书名： 数学必修第二册                   出版社：    人民教育出版社        出版日期：2019    年6  月

教学设计参与人员

姓名

单位

设计者

朱笑颖

顺义区第一中学

实施者

朱笑颖

顺义区第一中学

指导者

李淑敬、赵贺

北京市顺义区教育研究和教师研修中心

课件制作者

朱笑颖

顺义区第一中学

其他参与者

李淑敬、赵贺

北京市顺义区教育研究和教师研修中心

教学目标及教学重点、难点

教学目标：掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。在此过程中提高学生的空间想象能力，和制图识图能力。  教学重难点 ：利用斜二测画法画水平放置的平面图形。        

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

一、

情景引入

二、

新课探究

三、

习题精讲

四、

巩固练习

五、

知识拓展

六、总结：

七、

课后作业

这节课学习立体图形的直观图第一部分：斜二测画法。首先欣赏一组图片：

摄影作品素描作品，建筑设计和在工业上常见的工业设计，它们共同的特点是把我们生活中常见的一些三维立体图形表现在二维平面上。

那么在数学上是怎样把空间几何体画在平面上呢？这就是我们今天要研究的内容，立体图形的直观图以及斜二测画法。

概念：观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的平面图形就叫做空间几何体的直观图。

怎样画立体图形的直观图呢？怎样才能使直观更加美观呢？

以长方体为例，在观察长方体时，我们发现从不同的角度观察得到的直观图各不相同。比如，从长方体的正前方观察只能观察到一个面，这时长方体给我们的直观感觉是矩形。

而我们换一个角度从斜右上方观察长方体，能够看到三个面。因此，要求我们画直观图时要有一定倾斜的角度，这样更能体现长方体的几何特征。

当然，这样画出的直观图往往与真实的立体图形形状有所不同。例如，长方体在水平面上的底在真实的图形中是矩形，在直观图中如果还是画成矩形，就会和我们的直观感觉不符，画直观图时我们一般把它画成平行四边形。

我们发现长方体的直观图主要是‘底’发生了变化。因此，画立体图形的直观图时画好“底”是关键。

要画立体的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形的直观图。

水平放置的矩形从倾斜的角度观察时，是平行四边形。这个结论来源于我们的生活实践。观察下面的两幅图片思考问题：

在上面的实例中从斜上方观察矩形的乒乓球台给我们以平行四边形的直观印象。

窗户在阳光照射下留在底面上的影子也是平行四边形；

这样观察得到的结论有没有理论依据呢？

下面，我们利用平行投影的知识，对以上结论来做一个合理的解释。

当矩形与投影面垂直，投影线与投影面不垂直，在平行光线的作用下， 矩形的上下两边在投影面上的投影一定平行，并且长度不变。左右两边的投影也平行但是因为光线的角度是倾斜的，所以长度发生了变化。投影线段变长或变短与光线的角度有关。除此之外，矩形的角投影在投影面上也发生了变化。因此矩形的投影变成了平行四边形

以画水平放置的正方形直观图为例，介绍斜二测画法。

首先，我们在已知的正方形ABCD上建立直角坐标系。以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以O（A）为原点建立直角坐标系，然后建立坐标系x’o’y’表示水平面，使两轴之间的夹角为45度。也可以画成135度，这和我们观察正方形的视角有关。一般我们习惯选择两轴成45度角的坐标系。

然后，在坐标系x’o’y’中画直观图。在x’轴上取A’B’,(A’点与O’重合)让A’B’的长度与已知图形中的AB相等，以确定B’点在x’轴上的位置。在y’轴上取A’D’使其长度为AD的一半，以确定D’的位置。过D’做D’C’//x’轴且D’C’=DC,最后连接B’C’.得到了A’B’C’D’.即水平放置的正方形ABCD的直观图。

问题：在正方形直观图中边和角发生了哪些变化呢？

从线段的长度来看，与x轴平行或重合的线段AB和DC

在直观图中的长度不变，与y轴平行或重合的线段AD和

BC在直观图中，长度变为原来的一半。从线段的位置关

系来看，在正方形中互相平行的两组线段在直观图中仍然

平行。

斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点o。画直观图时，把他们画成对应的x’和y’轴，两轴相交于点o’.且使角x’0’y’=45度。它们确定的平面表示水平面。

问题：1、为什么在已知图形上建立直角坐标系呢？

为了画出直观图，需要我们确定直观图中点的位置，因此就需要确定已知图形中的对应点的位置，给点“定位”就需要借助某种参照系。最好的参照系当然是直角坐标系。

我们怎样建系呢？还有其他的建系方法吗？（还可以以正方形中心为原点建系）

（2）已知图形中平行或重合于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行或重合于x’或y’轴的线段。。

（3）已知图形中的平行或重合于x轴的线段在直观图中保持原来的长度不变，平行或重合于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半。

例1：用斜二测画法画正六边形水平放置的直观图。

画法：（1）第一步，画轴建系 。 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于o点.画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点o',使

（2）第二步，画线定点。以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD在 y' 轴上取M'N'= MN.以点N'为中点，画B'C'平行于x'轴，并且等于BC；再以M'为中点，画F'E'平行于x' 轴，并且等于FE.

（3）第三步，连线成图。连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，

并擦去辅助线 x'，y' 轴，便获得正六边形ABCDEF的水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.

   在利用斜二测画法画直观图时，还要注意画图的规范性，比如要明确标出坐标系的x,y轴和原点。还要注意测量长度时的准确性。

问题：通过以上水平放置的正方形和正六边形的直观图，你能说说斜二测画法下，平面图形哪些元素发生了变化，哪些没变吗？

不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度

变化的：垂直关系，角的大小，和不与x轴平行或重合一般线段的长度。

横相等，纵减半，平行关系不改变。

例2：有两个水平放置的全等的等腰直角三角形，放置如图1和图2。画出它们的直观图，并比较两直观图是否相同。

并思考：水平放置的平面图形的直观图是唯一确定的吗？

如图一放置的等腰直角三角形的直观图。以B为原点，以BA所在直线为x轴，以BC所在直线为y轴建立直角坐标。做两坐标轴夹角为45度的坐标系x’o’y’.   在x’轴上做B’A’等于BA，使B’与O’重合。 在y’轴上做B’C’等于BC的一半。连接A’C’.得到已知等腰直角三角形ABC的直观图A’B’C’.

  如图二放置的等腰直角三角形的直观图。取AC中点O，以O为原点，以AC所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，建立直角坐标系。做两坐标轴夹角为45度的坐标系x’o’y’.以O’为中点在x’轴上取C’A’等于CA。在y’轴上取O’B’等于OB的一半。连接B’C’,B’A’得到水平放置的三角形ABC的直观图A’B’C’.我们发现两个直观图完全不同。

由此，我们得到这样的结论：水平放置的平面图形的直观图并不唯一确定。

放置的方向不同，相同的平面图形的直观图有所不同。

练习：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的画“√”，错误的画“×”

1、相等的线段在直观图中依然相等。错误

2、平行的线段在直观图中依然平行。正确

3、相等的角在直观图中依然相等。  错误

4、一个角的直观图依然是角。      正确

5、三角形的直观图是三角形。      正确

6、平行四边形的直观图是平行四边形。正确

7、菱形的直观图是菱形。          错误

练习：四边形ABCD的直观图A’B’C’D’中，A’B’//x’轴，A’D’//y’轴，A’B’//D’C’且A’B’不等于D’C’.则四边形的形状为？

分析：这道题和前面的题目有所不同。要求我们由水平放置的直观图反过来画平面图形。并且，直观图中的只给了各边与x’，y'轴相对的位置关系。但是并没有告诉我们图形在坐标轴下的具体位置。那么怎样来解决这个问题？

如果正方形的形状完全相同，摆放的方向也相同，当只有位置发生改变时，得到的直观图的形状不变。这就解决了我们刚才的问题。我们可以忽略各边到轴的距离，来做平面图形的直观图。

首先建立放置平面图形的直角坐标系xoy.

直观图中，因为A’B’平行于x’轴，由斜二测画法可知，平面图形中线段AB就平行于x轴，并且AB等于A’B’.

在直观图中有A’D’平行于y’轴，平面图形中就有线段AD平行于y轴，AD等于A’D’的2倍。因为在直角坐标系中两坐标轴垂直，所以AB垂直AD。

在直观图中D’C’//x’轴所以在平面图形中DC//x轴，并且DC=D’C’.因为直观图中A’B’不等于D’C’.所以平面图形中的AB不等于DC。最后连接BC。这样我们就知道平面图形应该是直角梯形，答案选B。

   练习 已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8如图所示，求它水平放置的直观图的面积。

解：先做三角形的直观图如图在等腰三角形中因为AB=5，BC=8,所以BO=BC=4，勾股定理可知，AO=3.    

在直观图A’B’C’中，过点A’做A’H垂直于B’C’.   因为A’O长度为AO的，等于,又因为。所以A’H’=.又因为B’C’=BC=8,所以三角形A’B’C’的面积为

练习：如图所示的梯形ABCD，用斜二测画法来做出它水平放置的直观图。

画法：（1)画轴建系

在梯形上，以AB为x轴，O点即A点为原点建立直角坐标系，画x’,y’轴，使它们相交于o’，使x’o’y’=45度。

（2)画线定点

A’B’=AB.使A’与O’重合。在已知图形上过点D做AB的垂线，设垂足为E，连接DE.直观图里，在线段A’B’上做A’E’=AE。过E’点做E’D’平行于y’轴，使E’D’=ED.过D’做x’轴的平行线D’C’,使D’C’=DC.

（3)   连线成图 

连接A’D’,B’C’.,擦去辅助线，得到直观图.

以上我们研究了平面图形水平放置的直观图画法，即斜二测画法。画水平放置的平面图形还有其他的方法吗？在画圆的直观图时我们用了直观图的另一种画法正等测画法。这里对于正等测画法我就不做过多的介绍，有兴趣的同学可以查阅资料做探究性学习。一般情况下，我们把圆的直观图画成椭圆，我们用尺子中的椭圆模板就可以画出美观的水平放置圆的直观图了。掌握了这些水平放置平面图形的画法，在下节课里我们在此基础上会继续学习空间图形中多面体和旋转体的直观图的画法。

总结：这节课我们学习了斜二测画法的主要步骤和原理。在画图的过程中要注意画图的规范性，以培养严谨的学习习惯。

课后作业：一个边长为4，内角为60度的菱形水平放置并且较长的对角线成横向，试用斜二测画法画这个菱形的直观图。

从生活实践和生产实践入手，引入空间几何体的画法，即斜二测画法。

给出定义，明确空间几何体的直观图的概念  

以长方体例，在观察长方体时体会长方体的直观图的几何特征。

观察直观图中长方体的底的法。引导学生初步了解水平放置的平面图形的直观图的画法。 

通过生活实践进一步验证矩形的水平放置的直观图是平行四边形。

通过平行投影的知识解释为什么水平放置的矩形的投影为平行四边形。 

利用画正方形的直观图来介绍斜二测画法。

学生体会斜二测画法中图形的哪些元素会发生变化，哪些不变。

总结斜二测画法的步骤和画法。

解释建立坐标系在斜二测画法中的重要性。以及建系方法可以有多种选择。

通过画比正方形复杂的正六边形的直观图来理解和掌握斜二测画法。并总结画法。

强调规范作图

理解和掌握斜二测画法的核心要领。

通过例二说明放置的方向不同，相同的平面图形的直观图有所不同。进一步说明从不同角度观察图形，直观图不同。

斜二测画法辨析与巩固。

由直观图反推平面图形，巩固斜二测画法。

说明直观图只和图形放置方向有关，和放置的位置无关。

通过斜二测画法画直观图，进而求直观图的面积问题，进一步强化斜二测画法。

利用斜二测画法画不规则图形的直观图。引导学生通过做平行坐标轴的辅助线给点定位。    

  拓展知识，开拓视野

总结提升

课后作业巩固知识