数学人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算课堂教学ppt课件

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类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
结合律：
分配律：
数的乘法的交换律：
因为 ，
数的乘法的结合律：
思考 设a，b，c是向量， 一定成立吗？为什么？
思考 设a，b是向量，λ是实数，成立吗？为什么？
(1)当 时， ，
(1)当 时， ，
所以，当 时， 成立．
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时， 与a同向， 与b同向，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
(3)当 时， 与a方向相反， 与b方向相反.
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
设向量e为与向量c方向相同的单位向量.
向量a+b在向量c上的投影向量
向量a在向量c上的投影向量
向量b在向量c上的投影向量
如图，任取一点O，作 ，
如图，任取一点O，作 ， ，
如图，任取一点O，作 ， ，
如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
设向量a，b，a + b与c的夹角分别为 ， ，，它们在向量c上的投影向量分别为 ， ， ，与c方向相同的单位向量为e，则
是 在向量c上的投影向量，
两向量相等，对应投影向量相等.
因为 ，
所以 ，
证明：如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
总结 数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
已知实数a，b，c ，则 .
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推出 吗？
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
但向量a，c大小方向都不一定相同，
所以由 不一定能推出
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
解：因为 ，
变式 已知 ， ， ，求a与b的夹角θ．
因为 ，
所以 ．
则 ．
又因为 ，
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即 ．
因为 ， ，
所以 ．
也就是说，当 时，
与 互相垂直．