2021年人教版数学八年级上册期末复习《等腰三角形解答题》专题练习（含答案）

这是一份2021年人教版数学八年级上册期末复习《等腰三角形解答题》专题练习（含答案），共23页。试卷主要包含了数学课上，张老师举了下面的例题等内容，欢迎下载使用。
1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积.
2.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？
（2）能围成一边的长为4cm的等腰三角形吗？
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明.
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△CEF是等腰三角形；
(2)若CD=2，求DF的长.
5.数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
6.直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.
(1)如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数；
(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC.
求证： △AEF是等腰三角形.
8.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长.
9.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
10.从①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可).
11.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD.
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.
12.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．

13.如图，已知等腰△ABC顶角∠A=36°．
（1）在AC上作一点D，使AD=BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
14.如图，△ABC和△AED为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BE、CD交于点O，连接AO
求证：
(1)△BAE≌△CAD；
(2)OA平分∠BOD.
15.已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上。

(1)如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；
(2)如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC。(提示：在FA上截取FM=AE，连接DM)
16.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线OB与∠ACB的角平分线OC相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N.
(1)请写出图中所有的等腰三角形，并给予证明；
(2)若AB+AC=14，求△AMN的周长.
17.如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
(1)求证：△ABE≌△ADC；
(2)若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
(3)如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上.
求证：AC∥BE.
18.已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上.
(1)请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由.
(2)如果∠B=60°，证明：CD=3BD.
19.(1)问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
20.如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．
（1）求∠ACN的度数．
（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？（直接写出结论即可）


21.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.
(1)求证：DF=EF.
(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.
22.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F.
(1)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由.
(2)若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由.
23.已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.
参考答案
1.解：如图：等边△ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm
作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm

在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64
∴AD=8 cm
∴S△ABD=0.5BC·AD=0.5×12×8=48(cm2)
2.解：（1）腰长为7.2cm，底边长为3.6cm；
（2）能围成底边长为4cm的等腰三角形
3.解：△AEF是等腰三角形.证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵EG∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD，
∴∠E=∠EFA，
∴△AEF是等腰三角形.
4.解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB，
∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=30°
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF.
∴△CEF为等腰三角形.
(2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC=2.
又∵CE=CF，
∴CF=2.
∴DF=DC+CF=2+2=4.
5.解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B=（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
6.解：(1)根据翻折不变性可知：∠AFE=∠DFE=65°，
∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∵∠C=90°，
∴∠CDF=90°﹣50°=40°.
(2)∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD， AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，解得：x=22.5°.此时∠B=2x=45°；
见图形(1)，说明：图中AD应平分∠CAB.
②当BD=BE时，则∠B=(180°﹣4x)°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x，
解得x=37.5°，此时∠B=(180﹣4x)°=30°.
图形(2)说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°.
③DE=BE时，则∠B=()°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，此方程无解.
∴DE=BE不成立.
综上所述∠B=45°或30°.
7.解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.
∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD=180°，
∠BAC＋∠ABE＋∠BEA=180°，
∴∠BFD=∠BEA.
∵∠BFD=∠AFE，∴∠BEA=∠AFE.
∴△AEF是等腰三角形.
8.证明：
9.解：（1）如图所示：
BD即为所求；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴BD=BC，
∴△DBC是等腰三角形．
10.解：选择的条件是：③∠B=∠C ④∠BAD=∠CDA(或①③，②③, ①④)；
证明：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA(AAS)，
∴∠BDA=∠CAD
∴△AED是等腰三角形
11.（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；
（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；
②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；
即∠BAD的度数是60°或30°.
12.证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE．
13.解：（1）如图所示：
（2）连结BD，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=72°，
又DB=DA，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．
14.证明：(1)过点A分别作AF⊥BE于F，AG⊥CD于G.
如图所示：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
(2)连接AO并延长交CE为点H，
∵△BAE≌△CAD，
∴BE=CD，
∴AF=AG，
∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，
∴OA平分∠BOD，
∴∠AOD=∠AOB，
∵∠COH=∠AOD，∠EOH=∠AOB，
∴∠COH=∠EOH.
∴OA平分∠BOD.
15.证明：(1)∵∠BAC=∠EDF=60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，
在△BCE和△ACD中
SKIPIF 1 < 0
∴△BCE≌△ACE(SAS)，
∴AD=BE，
∴AE+A=AE+BE=AB=AF：
(2)在FA上截取FM=AE，连接DM，
∵∠BAC=∠EDF，
∴∠AED=∠MFD，
在△AED和△MFD中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AED≌△MFD(SAS)，
∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，
即∠ADM=∠EDF=∠BAC，
在△ABC和△DAM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABC≌△DAM(SAS)，
∴AM=BC，
∴AE+BC=FM+AM=AF．
即AF=AE+BC．
16.解：(1)△MBO和△NOC是等腰三角形，
∵OB平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MO=MB，
同理可证：ON=NC，
∴△MBO和△NOC是等腰三角形；
(2)∵OB平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MO=MB，
同理可证：ON=NC，
∵△AMN的周长=AM+MO+ON+AN，
∴△AMN的周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC=14.
17. (1)证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC
∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中
∴，
∴△ABE≌△ADC；
(2)由(1)知△ABE≌△ADC
∴∠AEB=∠ACD
∵∠ACD=15°
∴∠AEB=15°；
(3)同上可证：△ABE≌△ADC
∴∠AEB=∠ACD
又∵∠ACD=60°
∴∠AEB=60°
∵∠EAC=60°
∴∠AEB=∠EAC
∴AC∥BE.
18.解：(1)AB+BD=DC，
证明：∵AB=AE，AD⊥BC，
∴BD=DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC；
(2)证明：∵AB=AE，AD⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴2BD=AB，
∵DC=AB+BD=2BD+BD=3BD，
∴DC=3BD.
19.解：(1)∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
20.证明：
21.证明：

22.解：(1)BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC＋∠5=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC＋∠C=90°，
∴∠5=∠C.
∵AD平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠5＋∠3，∠ADB=∠C＋∠4，∠5=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE垂直平分AD.
(2)△ABD是等边三角形.
证明：由(1)知，△ABD是等腰三角形，
∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，
∴∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
23.（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）.
∴AN=BM.
（2）证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB.
又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE.
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）.
∴CE=CF.
∴△CEF为等腰三角形.
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形.
（3）解：如图，
∵△CMA和△NCB都为等边三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
结论1成立，结论2不成立.