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山东省济宁市金乡县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(word版含答案)
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这是一份山东省济宁市金乡县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市金乡县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共330分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，﹣2）
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0
3．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
4．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
7．如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是（ ）
A．3 B． C． D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
12．设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则代数式x12+x22的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
14．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕O点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕O点连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，则点A2021的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知y＝（m﹣2）x+3x+6是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2三点的坐标；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
18．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
19．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得：x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得：x＝5，所以原方程的解：x1＝2，x2＝5．
请利用这种方法求方程（2x+5）2﹣7（2x+5）+12＝0的解．
20．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
21．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，探究：是否存在点Q，使得MN＝MC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请求出点E的坐标．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共330分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
解：点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣4，2）．
故选：A．
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义对各方程的根的情况进行判断，从而得到正确选项．
解：A．原方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C．原方程化为x2﹣2x+1＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数解，所以C选项符合题意；
D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞，方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】易得原抛物线的顶点为（1，2），根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
解：∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移3个单位后，得到的顶点为（﹣2，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝（x+2）2+2．
故选：C．
4．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是＝，
故选：A．
5．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．
解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：A．
7．如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据题意求出OC，再由垂径定理得CD＝CE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可求解．
解：∵直径AB＝15，
∴OD＝OB＝，
∵OC：OB＝3：5，
∴OC＝，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CE，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：C．
8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
9．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是（ ）
A．3 B． C． D．4
【分析】将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程．
解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则：＝6π，其中r＝6
∴n＝180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，
∴BD＝＝＝3（米）
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3米，
故选：B．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP＝t，AQ＝2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
解：由题意得：AP＝t，AQ＝2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S△APQ＝AP•AQ＝＝t2，
故选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S△APQ＝AP•AB＝＝4t，
故选项B不正确；
故选：A．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 5 ．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
解：根据题意得：
这个多边形的边数是360°÷72°＝5，
故答案为：5．
12．设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则代数式x12+x22的值为 13 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故答案为：13．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
14．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 20 ．
【分析】解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣9x+20＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故答案为：20．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕O点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕O点连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，则点A2021的坐标为 （﹣，﹣） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），A4（0，﹣），A5（﹣，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252……5，
∴点A2021的坐标为（﹣，﹣）．
故答案为（﹣，﹣）．
三、解答题（本大题共7小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知y＝（m﹣2）x+3x+6是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．
【分析】（1）根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列方程求出m即可，
（2）将抛物线解析式化为顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标．
解：（1）由题意可知：，
解得：m＝﹣1；
（2）∵m＝﹣1，
∴y＝﹣3x2+3x+6＝﹣3（x﹣）2+，
∴此抛物线的对称轴是直线x＝，顶点坐标是（，）．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2三点的坐标；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；A2，B2，C2三点的坐标分别为（﹣3，﹣5），（﹣2，﹣1），（﹣5，﹣2）；
（3）根据图形可知：旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
18．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
19．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得：x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得：x＝5，所以原方程的解：x1＝2，x2＝5．
请利用这种方法求方程（2x+5）2﹣7（2x+5）+12＝0的解．
【分析】先设2x+5＝y，则方程即可变形为y2﹣7y+12＝0，解方程即可求得y即（2x+5）的值．
解：设2x+5＝y，则原方程可化为y2﹣7y+12＝0，
所以 （y﹣3）（y﹣4）＝0
解得y1＝3，y2＝4．
当y＝3时，即2x+5＝3，
解得x＝﹣1；
当y＝4时，即2x+5＝4，
解得x＝﹣，
所以原方程的解为：x1＝﹣1，x2＝﹣．
20．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．
（2）首先证明S阴＝S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOC＝∠BOC，
在△CDO和△CBO中，
，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴CB是⊙O的切线．
（2）∵∠ECB＝60°，CD，CB是⊙O的切线，
∴∠OCB＝∠OCD＝30°，
∵∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠ECB＝30°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠DOA＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OF，∵∠GOF＝∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG＝S△FOG，
∵AB＝6，
∴⊙O的半径r＝3，
∴S阴＝S扇形ODF＝＝π．
21．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），
＝﹣20x2+3600x﹣130000，
w＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，
答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，探究：是否存在点Q，使得MN＝MC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请求出点E的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，由点Q的坐标可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度，结合点C的坐标可得出MC的长度，由MN＝MC进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取正值），进而可得出点Q的坐标；
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，利用面积法可求出点O到直线BC的距离，结合EF＝可得出点P1为线段OC的中点，进而可得出点P1的坐标，由CP1＝CP2可得出点P2的坐标，结合BC的解析式可求出直线EP的函数表达式，联立直线EP和抛物线的函数表达式组成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）存在，理由如下：
如图1，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：
，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3，
∵点Q的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴NM＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
∵点C的坐标为（0，3），
∴CM＝＝m，
∵MN＝MC，
∴﹣m2+3m＝m，
解得：m1＝0（舍去），m2＝，
∴点Q的坐标为（，0），
∴存在点Q（，0），使MN＝MC；
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，如图2所示．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵S△OBC＝BC•点O到直线BC的距离＝OB•OC，
∴点O到直线BC的距离为＝，
∵以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，
∴点E到直线BC的距离为，
∴点P1为线段OC的中点，
∴点P1的坐标为（0，），
∵CP1＝CP2，
∴点P2的坐标为（0，），
∵直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3，
∴直线EP的函数表达式为y＝﹣x+或y＝﹣x+，
联立直线EP和抛物线的函数表达式成方程组，得：或，
解得：，，，，
∴点E的坐标为（2﹣，）或（2+，﹣）或（2﹣，3+）或（2+，3﹣）．
2021-2022学年山东省济宁市金乡县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共330分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，﹣2）
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0
3．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
4．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
7．如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是（ ）
A．3 B． C． D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
12．设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则代数式x12+x22的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
14．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕O点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕O点连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，则点A2021的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知y＝（m﹣2）x+3x+6是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2三点的坐标；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
18．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
19．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得：x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得：x＝5，所以原方程的解：x1＝2，x2＝5．
请利用这种方法求方程（2x+5）2﹣7（2x+5）+12＝0的解．
20．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
21．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，探究：是否存在点Q，使得MN＝MC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请求出点E的坐标．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共330分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
解：点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣4，2）．
故选：A．
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义对各方程的根的情况进行判断，从而得到正确选项．
解：A．原方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C．原方程化为x2﹣2x+1＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数解，所以C选项符合题意；
D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞，方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】易得原抛物线的顶点为（1，2），根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
解：∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移3个单位后，得到的顶点为（﹣2，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝（x+2）2+2．
故选：C．
4．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是＝，
故选：A．
5．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．
解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：A．
7．如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据题意求出OC，再由垂径定理得CD＝CE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可求解．
解：∵直径AB＝15，
∴OD＝OB＝，
∵OC：OB＝3：5，
∴OC＝，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CE，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：C．
8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
9．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是（ ）
A．3 B． C． D．4
【分析】将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程．
解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则：＝6π，其中r＝6
∴n＝180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，
∴BD＝＝＝3（米）
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3米，
故选：B．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP＝t，AQ＝2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
解：由题意得：AP＝t，AQ＝2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S△APQ＝AP•AQ＝＝t2，
故选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S△APQ＝AP•AB＝＝4t，
故选项B不正确；
故选：A．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 5 ．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
解：根据题意得：
这个多边形的边数是360°÷72°＝5，
故答案为：5．
12．设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则代数式x12+x22的值为 13 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故答案为：13．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
14．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 20 ．
【分析】解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣9x+20＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故答案为：20．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕O点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕O点连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，则点A2021的坐标为 （﹣，﹣） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），A4（0，﹣），A5（﹣，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252……5，
∴点A2021的坐标为（﹣，﹣）．
故答案为（﹣，﹣）．
三、解答题（本大题共7小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知y＝（m﹣2）x+3x+6是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．
【分析】（1）根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列方程求出m即可，
（2）将抛物线解析式化为顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标．
解：（1）由题意可知：，
解得：m＝﹣1；
（2）∵m＝﹣1，
∴y＝﹣3x2+3x+6＝﹣3（x﹣）2+，
∴此抛物线的对称轴是直线x＝，顶点坐标是（，）．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2三点的坐标；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；A2，B2，C2三点的坐标分别为（﹣3，﹣5），（﹣2，﹣1），（﹣5，﹣2）；
（3）根据图形可知：旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
18．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
19．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得：x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得：x＝5，所以原方程的解：x1＝2，x2＝5．
请利用这种方法求方程（2x+5）2﹣7（2x+5）+12＝0的解．
【分析】先设2x+5＝y，则方程即可变形为y2﹣7y+12＝0，解方程即可求得y即（2x+5）的值．
解：设2x+5＝y，则原方程可化为y2﹣7y+12＝0，
所以 （y﹣3）（y﹣4）＝0
解得y1＝3，y2＝4．
当y＝3时，即2x+5＝3，
解得x＝﹣1；
当y＝4时，即2x+5＝4，
解得x＝﹣，
所以原方程的解为：x1＝﹣1，x2＝﹣．
20．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．
（2）首先证明S阴＝S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOC＝∠BOC，
在△CDO和△CBO中，
，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴CB是⊙O的切线．
（2）∵∠ECB＝60°，CD，CB是⊙O的切线，
∴∠OCB＝∠OCD＝30°，
∵∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠ECB＝30°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠DOA＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OF，∵∠GOF＝∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG＝S△FOG，
∵AB＝6，
∴⊙O的半径r＝3，
∴S阴＝S扇形ODF＝＝π．
21．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），
＝﹣20x2+3600x﹣130000，
w＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，
答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，探究：是否存在点Q，使得MN＝MC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请求出点E的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，由点Q的坐标可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度，结合点C的坐标可得出MC的长度，由MN＝MC进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取正值），进而可得出点Q的坐标；
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，利用面积法可求出点O到直线BC的距离，结合EF＝可得出点P1为线段OC的中点，进而可得出点P1的坐标，由CP1＝CP2可得出点P2的坐标，结合BC的解析式可求出直线EP的函数表达式，联立直线EP和抛物线的函数表达式组成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）存在，理由如下：
如图1，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：
，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3，
∵点Q的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴NM＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
∵点C的坐标为（0，3），
∴CM＝＝m，
∵MN＝MC，
∴﹣m2+3m＝m，
解得：m1＝0（舍去），m2＝，
∴点Q的坐标为（，0），
∴存在点Q（，0），使MN＝MC；
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，如图2所示．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵S△OBC＝BC•点O到直线BC的距离＝OB•OC，
∴点O到直线BC的距离为＝，
∵以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，
∴点E到直线BC的距离为，
∴点P1为线段OC的中点，
∴点P1的坐标为（0，），
∵CP1＝CP2，
∴点P2的坐标为（0，），
∵直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3，
∴直线EP的函数表达式为y＝﹣x+或y＝﹣x+，
联立直线EP和抛物线的函数表达式成方程组，得：或，
解得：，，，，
∴点E的坐标为（2﹣，）或（2+，﹣）或（2﹣，3+）或（2+，3﹣）．
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